PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này. Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất . Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 môn Toán ở trường THPT Đức Hợp tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu sâu sắc các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất. Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức.Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2010-2011 và 2011- 2012 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán xác suất, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và các bài toán xác suất nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao hơn trong các giờ lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”. Với mong muốn ấy Tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải bài toán xác suất ở trường THPT Đức Hợp ”. Nội dung đề tài gồm ba bài toán: 1 Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài toán tính xác suất. Bài 2: Sử dụng quy tắc cộng, qui tắc nhân giải các bài toán tính xác suất. Bài 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến xác suất trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học. 2. Mục đích yêu cầu -Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất - Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm do ban chuyên môn trường phát động - Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp. - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc tính xác suất, các bài toán tính xác suất. - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK môn toán lớp 11. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất bằng sơ đồ tư duy b) Hướng dẫn học sinh giải các bài toán tính xác suất . 2 5.Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp hợp lý các phương pháp dạy học tích cực b) Đánh giá trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán. 3 PHẦN II: NỘI DUNG Bài toán 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT 1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể : Yêu cầu học sinh tư duy lại các kiến thức cơ bản về xác suất theo sơ đồ: 4 Xác suất Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Ký hiệu T Biến cố Không gian mẫu: Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Ký hiệu: Ω. Số phần tử của không gian mẫu ký hiệu: n(Ω) Xác suất của biến cố Định nghĩa cổ điển của xác suất: Gỉa sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A Ω là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của biến cố A là một số ký hiệu là P(A) ( ) ( ) ( ) A n P A n Ω = Ω Các biến cố đặc biệt: − Biến cố không: Tập hợp φ được gọi là biến cố không − Biến cố chắc chắn: Tập hợp Ω được gọi là biến cố chắc chắn Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T. Tập hợp các kết quả thuận lợi của A ký hiện là Ω A . Số kết quả thuận lợi của biến cố A ký hiện là n( A Ω ) Bài 1: Đại học Đà Nẵng 1997 Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai con súc sắc. 1. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 2. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3. Hướng dẫn học sinh: Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’ Mô tả không gian mẫu: (1,1),(1,2),(1,3), (1,6) (2,1),(2,2),(2,3), (2,6) (6,1),(6,2),(6,3), (6,6)       Ω =         => n(Ω)=6.6=36 phần tử 1. Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.” Tập A Ω các kết quả thuận lợi của A : { } (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) A Ω = ⇒ ( ) 5 A n Ω = Xác suất của biến cố A: ( ) 5 ( ) 36 A A n P n Ω = = Ω 2. Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 1 số lẻ hoặc chia hết cho 3.” (1,2);(1,4);(1,5);(1,6) (2,1);(2,3);(2,4);(2,5) (3, 2);(3,3);(3,4);(3,6) (4,1);(4,2);(4,3);(4,5) (5,1);(5,2);(5,4);(5,6) (6,1);(6,3);(6,5);(6,6) B         Ω =           ( ) 24 ( ) 24 2 ( ) ( ) 36 3 B B n n P B n ⇒ Ω = Ω ⇒ = = = Ω Bài 2: Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau. Máy bay rơi khi có 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn. 5 Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp: a/ 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn b/ Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và máy bay trúng hai viên đạn Hướng dẫn học sinh: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu. a/ Đánh số 4 bộ phận A,B,C,D là 1,2,3,4 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)     Ω =       ⇒ n( Ω )= 4.4=16 phần tử Xét biến cố A: máy bay rơi. Tập A Ω các kết quả thuận lợi của A : { } (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3) A Ω = ⇒ ( ) 10 A n Ω = Xác suất của A: ( ) 5 ( ) ( ) 8 A n P A n Ω = = Ω Hướng dẫn học sinh: mô tả không gian mẫu dưới dạng khái quát để cho các em tiếp cận với các không gian mẫu trừu tượng hơn Chia bộ phận A thành 2 phần A 1 , A 2 có diện tích bằng các phần B, C, D. b/ Đánh số 4 bộ phận A 1 , A 2 ,B,C,D là 1,2,3,4,5 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: { } ( , ):1 5;1 5; ,x y x y x N y N Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ∈ ( )n⇒ Ω = 5.5=25 phần tử Xét biến cố A: máy bay rơi. Tập A Ω các kết quả thuận lợi của A : { } { } { } { } ( , ) :1 5, ( , 1):1 4, ( 1, ) :1 4, (1,3),(3,1) A x x x x N x x x x N x x x x N Ω = ≤ ≤ ∈ ∪ + ≤ ≤ ∈ ∪ + ≤ ≤ ∈ ∪ ⇒ ( ) 5 2.4 2 15 A n Ω = + + = 6 Xác suất của biến cố A: 15 3 ( ) 25 5 P A = = Bài học kinh nghiệm: Để giải các bài toán về tính xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể cần: - Liệt kê các phần tử của không gian mẫu, đếm số phần tử của không gian mẫu - Liệt kê các khả năng thuận lợi của biến cố, tính số khả năng thuận lợi của biến cố - Thay vào công thức tính xác suất. 2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài toán tính xác suất có không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn : Bài 3: Một tổ có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Chọn một nhóm lao động gồm 6 học sinh. Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn. Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh từ 12 học sinh’’ ⇒ Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 6 của 12 phần tử 6 10 ( )n C Ω = Xét biến cố A: “Có 4 nam và 2 nữ được chọn.”. Để chọn được 4 nam và 2 nữ ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp: Công đoạn 1: Chọn 4 nam từ 8 nam có 4 8 C Công đoạn 2: Chọn 2 nữ từ 4 nữ có 2 4 C ⇒ có 4 2 6 4 .C C cách chọn ra 4 nam và 2 nữ ⇒ 4 2 6 4 ( ) . A n C CΩ = Xác suất của A: 4 2 8 4 6 12 . 5 ( ) 17 C C P A C = = Cho học sinh giải bài tập sau : 7 Bài 4: Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. Hướng dẫn học sinh: Tìm số phần tử cua không gian mẫu: Phép thử T: ‘‘Xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu 4 toa’’ Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 4 4 cách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa ⇒ không gian mẫu: gồm 4 4 phần tử 4 ( ) 4n⇒ Ω = Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.” Xét 2 công đoạn liên tiếp: − Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn 3 1 4 4 . 16C C ⇒ = − Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách 1 3 3C ⇒ = (Cách) ( ) 16.3 48 A n ⇒ Ω = = 4 48 3 ( ) 4 16 P A ⇒ = = Bài 5: Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm xác suất để số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu: Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: 1 2 3 4 5 a a a a a trong đó i j a a ≠ với i ≠ j a 1 0≠ ⇒ Có 9 cách chọn a 1 Mỗi cách chọn a 1 có 9 cách chọn a 2 Mỗi cách chọn a 1 , a 2 có 8 cách chọn a 3 8 Mi cỏch chn a 1 , a 2 , a 3 cú 7 cỏch chn a 4 Mi cỏch chn a 1 , a 2 , a 3 , a 4 cú 6 cỏch chn a 5 ( ) 9.9.8.7.6n = = Xột bin c A: S cú nm ch s ly ra tho món ch s ng sau ln hn ch s ng trc. Vỡ ch s 0 khụng th ng trc bt k s no nờn xột tp hp: X= { } 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Mi b gm 5 ch s khỏc nhau ly ra t X cú mt cỏch sp xp theo th t tng dn 5 9 ( ) A n C = 126 1 ( ) 27216 216 P A = = Bi hc kinh nghim: tớnh c s phn t ca khụng gian mu c mụ t tru tng hn cn phõn tớch bi v vn dng toỏn T hp. Yờu cu hc sinh v nh gii cỏc bi tp: Bi 1: Gieo ng thi ba con sỳc sc. Tớnh xỏc sut tng s chm trờn mt xut hin ca ba con sỳc sc bng 10. Bi 2: Mt chic hp ng 6 qu cu trng, 4 qu cu xanh v 2 qu cu en. Chn ngu nhiờn 6 qu cu. Tớnh xỏc sut chn c 3 qu cu ly ra cựng mu. Bi 3: ( i hc Ti chớnh k toỏn H Ni 1997) Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Tính xác suất để lấy đợc : a. 3 bóng tốt ? b. ít nhất 2 bóng tốt ? c. ít nhất 1 bóng tốt ? Bài 4: Một đợt xổ số phát hành 20000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải t và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một ngời mua 3 vé, trúng 1 giải nhì và 2 giải khuyến khích Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, trong đó gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Ngời ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự 9 §¹i héi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó chän ®îc : a. Ba häc sinh ®îc chän ®Òu lµ häc sinh giái ? b. Cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái ? c. Kh«ng cã häc sinh trung b×nh ? 10 [...] .. . I: Mở đầu 1 Mc Trang 1 2 Lý do chọn đề tài 1 3 Mục đích yêu cầu 2 4 Đối tợng, phạm vi nghiên cứu 2 5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2 6 Phơng pháp nghiên cứu 3 7 Phần II: Nội dung 4 8 Bài toán 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài 4 9 toán tính xác suất Bài toán 2: sử dụng qui tắc tính xác suất giải các bài toán tính xác 11 10 suất Bài toán 3: Sử dụng kết hợp các qui tắc tính xác suất để giải .. . bin c A 3 Hng dn hc sinh s dng bin c i trong cỏc bi toỏn tớnh xỏc sut: Bi 4: Cú 5 hc sinh lp A, 4 hc sinh lp B, 3 hc sinh lp C Chn ngu nhiờn 4 hc sinh Tớnh xỏc sut 4 hc sinh c chn thuc vo khụng quỏ hai trong 3 lp Hng dn hc sinh: 4 Khụng gian mu : n()= C12 phn t 14 Gi A l bin c 4 hc sinh c chn thuc c lp A, lp B, lp C 1 1 1 2 1 1 1 n(A ) = C52C4C3 + C5C4 C3 + C5C4C32 A l bin c : 4 hc sinh c chn thuc vo .. . 6 hc sinh lp B, 5 hc sinh lp C Chn ngu nhin 8 hc sinh Tớnh xỏc sut 8 hc sinh c chn thuc vo khụng quỏ hai trong 3 lp Hng dn hc sinh: Khụng gian mu gm 8 C19 phn t 8 Gi A l bin c 8 hc sinh c chn u thuc lp A, khi ú n( A ) = C8 = 1 8 Gi B l bin c 8 hc sinh c chn thuc lp A v B khi ú n( B ) = C14 1 8 Gi C l bin c 8 hc sinh c chn thuc lp A v C khi ú n(C ) = C13 1 8 Gi D l bin c 8 hc sinh c chn thuc lp C .. . tp tớnh xỏc sut nõng cao cho hc sinh Gi m cho hc sinh nhng hng phỏt trin, m rng bi toỏn thụng qua ú hc sinh gii mt cỏch sỏng to v thớch thỳ hncacs bi toỏn tớnh xỏc sut trong chng trỡnh THPT v lm nn tng hc sinh hc lờn i hc Trờn õy l mt s kinh nghim nh ca tụi qua quỏ trỡnh ging dy Bi toỏn tớnh xỏc sut lp 11 THPT c Hp Rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh ti ny c hon thin hn na Xin .. . C Tớnh xỏc sut mỏy bay ri nu mỏy bay trỳng 3 viờn n Hng dn hc sinh: Gi A l bin c mỏy bay khụng ri khi mỏy bay trỳng 3 viờn n A chớnh l bin c cú 1 viờn trỳng B, 2 viờn trỳng C A = ( B1 B2 C ) ( B1 C B2 ) (C B1 B2 ) P( A) = 3P( B1 ).P ( B2 ) P (C ) = 3.0 ,55 2.0 , 3 A l bin c mỏy bay ri khi mỏy bay trỳng 3 viờn n P( A) = 1 3.0 ,55 2.0 ,3 = 0,728 Bi hc kinh nghim: Trong nhng bi toỏn m cỏc kt qu thun .. . hỡnh hng dn hc sinh phõn tớch v gii bi toỏn T ú rỳt ra cho hc sinh cỏc bi hc kinh nghim khi gii cỏc bi toỏn tớnh xỏc sut Bc 3: Rốn luyn k nng gii cỏc bi tp cho hc sinh thụng qua mt s bi tp b sung nõng cao v cỏc thi Gi m cho hc sinh nhng hng phỏt trin, m rng bi toỏn 3 Kt qu sau khi thc hin ti: Sau khi thc hin ti lp 11A2, 11A3 trng THPT c Hp nm hc 2011- 2012 Tụi ó kho sỏt cht lng ca hc sinh thụng qua .. . tắc tính xác suất giải các bài toán tính xác 11 10 suất Bài toán 3: Sử dụng kết hợp các qui tắc tính xác suất để giải các bài 16 11 toán tính xác suất Phần III: Thực nghiệm, giải pháp 19 12 Khảo sát thực tế 19 13 Các bớc thực hiện đề tài 19 14 Kết quả sau khi thực hiện đề tài 20 15 Giải pháp đề nghị 21 22 .. . tớnh xỏc sut c in bng s t duy Sau ú hng dn hc sinh tớnh xỏc sut ca bin c bng cỏch s dng cụng thc xỏc sut c in 2 H thng li cỏc qui tc tớnh xỏc sut , hng dn hc sinh phõn tớch bi tip cõn bi toỏn s dng cỏc cụng thc ny tớnh xỏc sut trong mt s bi toỏn in hỡnh, phõn tớch cho hc sinh khi no s dng qui tc cng khi no s dng qui tc nhõn xỏc sut T ú ruta ra cho hc sinh nhn xột v cỏch s dng cỏc qui tỏc ny mt cỏch .. . P( A1 ) = C3 0, 2.0 , 252 Gi A2 l bin c 2 viờn trỳng vũng 10, 1 viờn trỳng vũng 9, A2 l bin c hp ca 1 1 C3 bin c con, P( A2 ) = C3 0, 2 2.0 , 25 Gi A3 l bin c 2 viờn trỳng vũng 10, 1 viờn trỳng vũng 8, A3 l bin c hp ca 1 1 C3 bin c con, P ( A3 ) = C3 0, 2 2.0 ,15 Gi A4 l bin c 3 viờn trỳng vũng 10, P( A4 ) = 0, 008 A = A1 A2 A3 A4 l bin c x th t ớt nht 28 im P ( A) = 0, 0935 Yờu cu hc sinh gii cỏc bi .. . li ỳng c 4 im, mi cõu tr li sai b tr 1 im Mt hc sinh lm bi bng cỏch chn ngu nhiờn Tớnh xỏc sut anh ta b im õm 4 5 1 5 4 5 1 5 4 5 0 12 1 11 2 2 10 ỏp s: P = C12 ( ) + C12 ( ).( ) + C12 ( ) ( ) = 0,5583 18 PHN III: THC NGHIM - GII PHP 1 Kho sỏt thc t: Trc khi thc hin ti , nm hc 2010- 2011 tụi ỏ kho sỏt cht lng ca hc sinh lp11 hai lp 11B5, 11B6 Trng THPT c Hp, cú trỡnh nhn thc v s s l tng ng nhau,thụng . của xác suất giải các bài toán tính xác suất. Bài 2: Sử dụng quy tắc cộng, qui tắc nhân giải các bài toán tính xác suất. Bài 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất. . tính xác suất để giải các bài toán tính xác suất Bài toán 3: Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất. Kết quả số học sinh làm đạt được như sau: Lớp Sĩ số Bài toán 1 Bài. “Vì sao nghĩ và làm như vậy”. Với mong muốn ấy Tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải bài toán xác suất ở trường THPT Đức Hợp ”. Nội dung đề tài gồm ba bài toán: 1 Bài 1: Sử dụng