I - PHẦN MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài: Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh trung học cơ sở, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và không thể thiếu được. 1 Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trung học cơ sở tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: trong chương trình Toán trung học cơ sở "Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này nhất là các em trong đội tuyển. Ở trung học cơ sở học sinh chưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống. 2) Mục đích của đề tài: Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhận thấy: phần “ Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường trung học cơ sở. Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số ở trường trung học cơ sở không theo một 2 phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán này, các em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác. Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với trách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này. 3) Phạm vi đề tài: Đề tài này đề cập đến đối tượng học sinh khá giỏi khối 9. 4) Phương pháp nghiên cứu: Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm ở trường sư phạm. 3 4 II - PHẦN NỘI DUNG 1) Cơ sở lý luận. Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất. 5 1.1) Lý thuyết cơ bản về dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S mà ta có: P(x 0 , y 0 , z 0 ) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x 0 , y 0 , z 0 ) ≤ P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) trên miền S. P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S còn gọi là P đạt cực đại tại (x 0 , y 0 , z 0 ) hoặc Pmax tại (x 0 , y 0 , z 0 ) .Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 , z 0 ) hoặc Pmin tại (x 0 , y 0 , z 0 ) . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S. 1.2. Nguyên tắc chung tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là: 6 *) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. *) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên. Ví dụ : Cho biểu thức A = x + (x – 2) Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau: Ta có x ≥ 0 ; (x – 2) ≥ 0 nên A ≥ 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0. Lời giải trên có đúng không? Giải: 7 Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời: x = 0 và (x – 2) = 0 . Lời giải đúng là: A = x + (x – 2) = x + x – 4x + 4 = 2x – 4x + 4 = 2(x – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1) + 2 Ta có: (x – 1) ≥ 0 , ∀x ⇒ 2(x – 1) + 2 ≥ 2 ∀ x ⇒ A ≥ 2 ∀x Do đó A = 2 ⇔ x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1. 1.3 Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức. b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc: 8 * a ≥ 0, tổng quát: a ≥ 0 (k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0 * – a ≤ 0, tổng quát: – a ≤ 0 (k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0 * ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * – ≤ a ≤ . (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * + ≥ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0) * – ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0) * a + ≥ 2 ,∀a >0 và a + ≤ – 2 , ∀ a <0 * ≥ ≥ ab ; ∀a,b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b) * a ≥ b, ab >0 ⇒ ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b) 2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trong đội tuyển nắm kiến thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở. 9 Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết thực hiện như thế nào. Qua việc khảo sát việc nắm bắt dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức” trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi lớp 9 đầu HK I năm học 2011 - 2012 Số HS điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5 SL % SL % Sl % SL % 15 01 6,7% 2 13,3% 5 33,3% 7 46,7% Sau khi kiểm tra tôi thấy số học sinh chưa năm được kiến thức dạng này dẫn tới kết quả thấp 7em chiếm tỉ lệ 46,7% ;số học sinh nắm phương pháp còn mơ hồ kết quả chưa cao 5 em chiếm tỉ lệ 33,3%, một số học sinh nắm phương pháp và biết phân dạng nhưng kỹ năng còn chậm 2em chiếm tỉ lệ 13,3% ;1em thực sự có hứng thú với dạng toán này (có năng lực suy luận, tư duy sáng tạo), chiếm tỉ lệ 6,7% . 10 [...]... LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1) Kết luận Với đề tài “ Rèn kỹ năng cho học sinh khá giỏi lớp 9 biết phân dạng và tìm lời giải cho bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán nâng cao 9 Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn học. .. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường gặp : DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = x– 4x+1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về dạng A(x) ≥ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và. .. Vậy khi x = thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a > 0) hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0) DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO: Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x+ x + 1) Hướng dẫn giải: (?) Ta nhận thấy A = (x + x + 1) ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có phải bằng 0 hay không? Vì sao? Trả lời : Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải... tìm giá trị nhỏ nhất của x + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A? Trả lời: Ta có x+ x +1 = x + 2x + – + 1 = (x+ ) + ≥ Vậy giá trị nhỏ nhất của x + x + 1 bằng với x = – Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = – Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của : x – 6x + 10x – 6x + 9 Hướng dẫn giải: Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x) ≥ 0 - Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất. .. toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng như trước.Quá trình rèn luyện khả năng tư duy đã giúp các em không những phân dạng được mà còn nắm bắt được phương pháp phù hợp để giải từng dạng Chính vì thế mà trong học 23 tập của học sinh do bản thân tôi phụ trách hầu hết các em nắm chắc kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Kết... số: A nhỏ nhất = khi x = 1 Cách 2: Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A Lời giải: A= = = A= A= + 21 A = + [] ≥ Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x – 1=0 ⇒ x =1 Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1 DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ≥ 0 (HOẶC ≤ 0) ĐƯA VỀ DẠNG Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất. .. B(x) lớn nhất = với x = – Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax + bx + c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0 Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao cho P = a.A(x) + k Sau đó xét với từng trường hợp a > 0 hoặc a – Như vậy từ –3 < 1 không thể suy ra – > Vậy từ a < b chỉ suy ra được > khi a và b cùng dấu DẠNG 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Cách... Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3 +3 = (x – 3x) + (x –3) ≥ 0 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi: 15 x – 3x = 0 x=0  x–3=0 x=0  x=3 x= 3 x–3=0 x–3=0 x=3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 6: Tìm giá. .. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = + Hướng dẫn giải: Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A Nếu A ≥ 0 = – A Nếu A ≤ 0 16 Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A Lời giải . số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường gặp : DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất. có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a > 0) hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0) DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO: Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3 DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ