Một số phơng pháp giải toán cực trị SNG KIN KINH NGHIỆM “Một số phương pháp giải toán cực trị” MỞ ĐẦU I - CƠ SỞ THƯC TIỄN Bất kể lĩnh vực sống có yếu tố vượt trội, cá nhân điển hình hay thành tích cao hay kỷ lục mà khơng vượt qua "nhất".Trong tốn học lĩnh vực lại có đại lượng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" người ta thường gọi toán cực trị, toán phổ biến đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào trường Cao đẳng, Đại học đề thi học sinh giỏi nhiều năm… Nội dung toán cực trị phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức cách hợp lý, nhiều độc đáo bất ngờ Ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) làm quen với loại toán với dạng chuyên đề Tuy nhiên, tìm hiểu thêm số đồng nghiệp thấy khơng dễ dàng với học sinh Với lí tơi tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phương pháp giải tốn cực trị” Với mong muốn trình bày vài kinh nghiệm giảng dạy để đồng nghiệp tham khảo, mong đóng góp chân thành để đề tài phát huy hiệu II - NHIỆM VỤ CỦA SÁNG KIẾN: 1/ Đối tượng phương pháp nghiên cứu: Mét sè ph¬ng pháp giải toán cực trị - i tng nghiờn cu: Học sinh THCS (chủ yếu học sinh lớp 8, 9) - Phương pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, với nhóm chun mơn thực + Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề + Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 2/ Nhiệm vụ sáng kiến: - Đưa kiến thức giá trị cực trị, sai lầm thường mắc phải - Đề xuất số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tịi lời giải - Lựa chọn phương pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tập để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng toán cực trị III - NỘI DUNG SÁNG KIẾN: Chương I: Một số kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ Những sai lầm thường mắc phải giải tốn cực trị Chương II: Một số phương pháp tìm cực trị 1/ Phương pháp tam thức bậc hai Một số phơng pháp giải toán cực trị 2/ Phng pháp miền giá trị 3/ Phương pháp bất đẳng thức CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN I - ĐỊNH NGHĨA: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D , ta nói M giá trị lớn f ( x, y, ) D điều kiện sau thoả mãn: i) Với x, y thuộc D f ( x, y, ) ≤ M với M số ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, ) = M 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định miền D , ta nói m giá trị nhỏ f ( x, y, ) D điều kiện sau c tho món: Một số phơng pháp giải toán cùc trÞ i) Với x, y thuộc D f ( x, y, ) ≥ m với m số ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, ) = m Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải làm loại toán này, ta cần nhấn mạnh khắc sâu điều kiện định nghĩa: Rèn phản xạ sau: + Chứng tỏ f ( x, y, ) ≤ M f ( x, y, ) ≥ m ) với x, y, thuộc D + Chỉ tồn x0 , y thuộc D để f ( x, y, ) đạt cực trị Chú y đến miền giá trị biến Ta ký hiệu MaxA giá trị lớn A, MinA giá trị nhỏ A II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ: 1/ Tính chất 1: Giả sử A ⊂ B ta có: a/ Max f ( x) ≤ max f ( x) x∈ A x∈B b/ Min f ( x) ≥ f ( x) x∈ B x∈ A 2/ Tính chất 2: Nếu f ( x, y ) ≥ với x thuộc D , ta có: a/ Max f ( x) = max f ( x) x∈D x∈D Min f ( x) = f ( x) x∈D x∈D 3/ Tính chất 3: a / Max f ( x) + g ( x)) ≤ Max f ( x) + Max f ( x) (1) b / Min f ( x) + g ( x)) ≤ Min f ( x) + Min f ( x) (2) x∈D x∈D x∈D1 x∈D1 x∈D2 x∈D2 Mét sè phơng pháp giải toán cực trị Du bng (1) xẩy có điểm x0 mà f (x) g (x) đạt giá trị lớn Tương tự tồn x0 thuộc D mà f , g đạt giá trị nhỏ (2) có dấu 4/ Tính chất 4: Max f ( x) = − ( − f ( x)) x∈D1 x∈D 5/ Tính chất 5: Nếu đặt M = Max f (x) , m = f ( x) Max f ( x) = Max{ M , m } x∈D x∈D x∈D x∈D 6/ Tính chất 6: Giả sử D1 = { x ∈ D; f ( x) ≤ 0} D2 = { x ∈ D; f ( x) ≥ 0} Min f ( x) = Min{ − max f ( x); f ( x)} x∈D x∈D1 x∈D2 Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức tránh đợc sai lầm vận dụng giải tập Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f (x) xét hai TXĐ khác nói chung giá trị lớn tương ứng khác Để cho phù hợp với chương trình lớp phổ thơng sở, ta giả thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp III - NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ: 1/ Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biu thc: Một số phơng pháp giải toán cực trÞ A= 4x − 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: x − x + = (2 x − 1) + ≥ 4, ∀x 3 ≤ , ∀x 4x − 4x + ⇒ Max A = ⇔ x = ⇒ Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai khẳng định “ A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ta đưa ví dụ: Xét biểu thức B = x − Với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ − x = , ta đến: max B = − không 1 phải giá trị lớn B , chẳng hạn với x = ≥ − Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: x − x + = (2 x − 1) + ≥ nên tử mẫu A số dương Hoặc từ nhận xét suy A > , A lớn A nhỏ ⇔ x − x + nhỏ 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + y biết x + y = Lời giải sai: Một số phơng pháp giải toán cực trị 2 Ta có: A = x + y ≥ xy 2 Do A nhỏ ⇔ x + y = xy ⇔x= y=2 Khi MinA = 2 + 2 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) , chưa chứng minh f ( x, y ) ≥ m với m số Ta đưa vị dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức 2 x ≥ x − suy ra: x nhỏ ⇔ x = x − ⇔ ( x − 2) = ⇔ x = Dẫn đến: Minx = ⇔ x = Dễ thấy kết phải là: x = ⇔ x = Cách giải đúng: Ta có: ( x + y ) = ⇔ x + xy + y = 16 (1) Ta lại có: ( x − y ) ≥ ⇒ x − xy + y ≥ (2) 2 2 Từ (1) , (2) : 2( x + y ) ≥ 16 ⇒ x + y ≥ Vậy MinA = ⇔ x = y = 2/ Sai lầm chứng minh điều kiện 2: VD1: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + x Lời giải sai: 1  1  A = x+ x = x+ x + − =  x +  − 4  2  Vậy MinA = − Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f ( x) ≥ − , chưa trng hp Một số phơng pháp giải toán cùc trÞ xẩy dấu đẳng thức f ( x) ≥ − Xẩy dấu đẳng thức x =− , vô lý Lời giải đúng: Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + x ≥ Min A = ⇔ x = VD2: Tìm giá trị lớn của: A = xyz ( x + y )( y + x)( z + x ) Với x, y, z ≥ x + y + z = Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ (a + b) 4( x + y ) z ≤ ( x + y + z ) = 4( x + z ) x ≤ ( y + z + x ) = 4( x + x) y ≤ ( z + x + y ) = Nhân vế (do hai vế không âm) 64 xyz ( x + y )( y + x) z + x ) ≤ MaxA = 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Điều kiện để A = 64 là: x + y = z y + z = x   z + x = y x + y + z =1  x, y , z ≥  x = y = z =  x + y + z =1 x, y , z ≥  mõu thun Một số phơng pháp giải toán cực trị ⇔ Cách giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) ≥ 3.3 ( x + y )( y + z )( z + x) (2) Nhân vế (1) với (2) vế không âm) 2 ≥ A ⇒ A ≤   9 2 MaxA =   ⇔ x = y = z = 9 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 1/ Phương pháp tam thức bậc hai I - NỘI DUNG: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phương biểu thức chứa biến số hạng tự II - CÁC VÍ DỤ: Mét sè phơng pháp giải toán cực trị Dng 1: Tỡm cc trị tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ A = x − x + 2/ Tìm giá trị nhỏ B = x − x + 3/ Tìm giá trị có C = −3x − x + 4/ Cho tam thức bậc hai P = ax + bx = c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < HD giải: Nhận xét: Các biểu thức dạng tam thức bậc hai 2 1/ A = x − x + = ( x − 4) − 15 ≥ −15 ⇒ A = −15 ⇔ x = 2 2/ B = x − x + = 2( x − 1) − ≥ −1 ⇒ B = −1 ⇔ x = 2 7  3/ C = −3x − x + = −3 x −  + ≤ 3 3  ⇒ max C = ⇔ x = 3 c b  b − 4ac  b  4/ P = ax + bx + c = a x + x +  = a x −  − a a 2a  4c   b − 4ac b ⇔x= + Nếu a > : P = − 4a 2a b − 4ac b ⇔x= + Nếu a < : max P = − 4a 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhỏ đa thức bậc cao: 2 VD1: Tìm giá trị nhỏ A = ( x + x + 1) 10 Một số phơng pháp giải toán cực trị HD: MinA ⇔ Min( x + x + 1) 2k Bài toán dạng đặc biệt toán sau: B = [ f ( x)] (k ∈ N ) VD2: Tìm giá trị nhỏ C = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) HD: Dùng phương pháp đổi biến Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức mà có tử số, có mẫu tam thức bậc hai VD: Tìm giá trị lớn M = x − x + Dạng phải ý đến dấu tử thức Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức có mẫu bình phương nhị thức: x2 + x +1 P= VD: Tìm giá trị nhỏ ( x + 1) 1 HD: P = − x + + ( x + 1) 2 1 3 , có P = y − y + =  y −  + ≥   x +1 2 4  MinP = ⇔ y = ⇔ x = Đặt y = Cách 2: Viết N dạng tổng số với biểu thức không âm: 4x − 4x +  x −  P= = +  2( x +  ≥   4( x + 1)  MinP = ⇔ x = Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức quan hệ biến: VD: Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3xy − x − y 11 Một số phơng pháp giải toán cực trị Biết x, y nghiệm phương trình: x + y = 10 Giải: 10 − x ⇒ A = (−59 x + 160 x − 100) 59  160  = − x2 +  − 25  59  59   80  6400  = −  x −  +  − 25   59  3481    Ta có: x + y = 10 ⇔ y = 59  80  1600 − 25 x −  +  59  59 125 59  80  125 ⇔ A= − x −  ≤ 59  59  80 59   x = 59 125  Vậy max A = 59 ⇔  95 y =  59  =− III - MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1/ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) biểu thức sau: a/ A = x − 20 x + 35 b/ B = −2 x + 3x + 2/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a/ A = ( x − 1)( x − 2( x − 3)( x − 5) b/ B = x − 2x + y + y + P = x + y với ·−3 y = Q = a + b + ab với a + b = IV - TIU KT: 12 Một số phơng pháp giải toán cực trÞ Loại tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp tam thức bậc hai nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi toán dạng khác dạng tam thức bậc hai 2/ Phương pháp miền giá trị hàm số: I - NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Xét toán sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) với x ∈ D Gọi y giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho, tức hệ phương trình (ẩn x ) sau có nghiệm: f ( x) = y (1) x∈D (2) Tuỳ dạng hệ (1) , (2) mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trường hợp, điều kiện đưa dạng a ≤ y ≤ b (3) Vì y giá trị f (x) từ (3) ta thu được: Min f ( x ) = a Max f ( x) = b x ∈ D Như thực chât phương pháp đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện ∆ ≥ II - CÁC VÍ DỤ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: x2 − x +1 A= x + x +1 Giải: 13 Mét sè phơng pháp giải toán cực trị Biu thc A nhn giá trị a phương trình ẩn x · sau có nghiệm: x2 − x +1 (1) a= x + x +1 Do x + x + ≠ nên (1) ⇔ ax + ax + a = x − x + ⇔ )(a − 1) x + (a + 1) x + (a − 1) = 0(2) + TH1: Nếu a = (2) có nghiệm x = + TH2: Nếu a ≠ để (2) có nghiệm, cần đủ ∆ ≥ , tức là: (a + 1) − 4( a − 1) ≥ ⇔ (a + + 2a − 2)(4 + − 2a + 2) ≥ ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ ⇔ ≤ a ≤ (a ≠ 1) Với a = a = nghiệm (2) là: x= − (a + 1) (a + 1) = 2(a − 1) 2(1 − a ) Với a = x = 1, với a = x = −1 Gộp hai trường hợp ta có: MinA = ⇔ x =1 MaxA = ⇔ x = −1 Cách khác: A= 3x + x + − x − x − 2( x + 1) = 3− ≤3 x2 + x +1 x + x +1 ⇒ max A = ⇔ x = −1 14 Mét sè ph¬ng pháp giải toán cực trị A= 3x 3x + x2 + x +1 2( x − x + 1) 2( x − 1) = + = + ≥ 2 2 3x + x + 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) ⇒ MinA = ⇔ x =1 Mở rộng: Bài tốn cịn cho dạng khác, là: 1/ Chứng minh: x2 − x +1 ≤ ≤3 x2 + x +1 2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vơ nghiệm): x2 − x +1 −m =0 x2 + x +1 2 3/ Cho phương trình: ( 3m + 2m + 1) x − (2m + 10m + 3) x − = có nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn tổng x1 + x2 III - BÀI TẬP TỰ GIẢI: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: x2 + x +1 a/ y = x2 +1 x2 + x +1 b/ y = x2 +1 IV - TIỂU KẾT: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biểu thức đưa hàm số phương pháp miền giá trị thường đưa phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Phương pháp có ưu điểm tìm cực trị thơng qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thơng qua việc giúp cho học sinh rèn kỹ giải phương trình 3/ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 1/ Nôi dung phương pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 15 Một số phơng pháp giải toán cực trị f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D M = Maxf ( x) ⇔  ∃x0 ∈ D : f ( x0 = M  f ( x) ≥ M , ∀x ∈ D m = Min f ( x) ⇔  ∃x0 ∈ D : f ( x = m Như vậy, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) miền D đó, ta tiến hành theo hai bước: + Chứng minh bất đẳng thức + Tìm x0 ∈ D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm trở thành đẳng thức Nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi, Trêbưsep, Bunhia cơpxki điểm thường tìm thấy nhờ phần cách phát dấu đẳng thức ấy, cần có nhận xét thích hợp 2/ Các bất đẳng thức thường dùng: 2k 1/ a ≥ Tổng quát a ≥ 0, k nguyên dương Xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = 2k 2/ − a ≤ Tổng quát (−a) ≤ 0, k nguyên dương Xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = 3/ a ≥ Xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = 4/ − a ≤ a ≤ a Xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = 5/ a + b ≤ a + b Xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a − b ≥ a + b Xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ (a, b dấu) a + b + c ≤ a + b + c Xẩy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0; ac ≥ ; 1 6/ a ≥ b; ab ≥ ⇒ a ≤ b Xẩy dấu đẳng thức a = b 16 Một số phơng pháp giải toán cực trị a b 7/ b + a với a, b dấu Xẩy dấu đẳng thức ⇔ a = b 8/ Bất đẳng thức Côsi: + Đối với số dương a, b a+b ≥ ab 2 (hoặc a + b ≥ 2ab) Xẩy dấu đẳng thức ⇔a=b + Đối với ∀a1 ≥ 0; i = 1, , n : a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n 9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki: Nếu (a1 , a , a n ) (b1 , b2 , bn ) số tuỳ ý, ta có: 2 2 2 (a1 + a +, + a n ) (b1 + b2 +, + bn ) ≥ (a1b1 + a b2 + + a n bn ) a a j i Dấu xẩy ⇔ b = b (với quy ước = bi = ) i j 10/ Bất đẳng thức Trêbưsép + Nếu a1 ≥ a ≥ ≥ a n b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn n(a1b1 + a b2 a n bn ) ≥ (a1 + a + a n ).(b1 + b2 + bn ) Dấu xẩy ⇔ = a j bi = b j ; , b j tuỳ ý + Nếu a1 ≥ a ≥ ≥ a n b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn n(a1b1 + a b2 a n bn ) ≥ (a1 + a + a n ).(b1 + b2 + bn ) 17 Mét sè phơng pháp giải toán cực trị Du bng xy ⇔ = a j bi = b j ; , b j tuỳ ý III - CÁC VÍ DỤ: VD1: Cho biểu thức xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki ( x, y, z ) ( y, z , x) = ( xy + yz + zx) ≤ ( x + y + z )( y + z + x ) ⇒ ≤ ( x + y + z ) (1) 2 Mặt khác, (1, 1, 1) x , y , z ), ta có: (1.x + y + 1.z ) ≤ (12 + 12 + 12 ) ( y + z + x ) (2) 4 Từ (1) (2) suy ra: ≤ 3( y + z + x ) = 3P ⇒ P ≥ x y z y = x = x  MinP = ⇔  1 = = Vậy  y2 x2 z2  VD2: Tìm giá trị lớn của: a/ A = x − + y − biết x + y = b/ B = x −1 + x y−2 y Giải: a/ Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 18 ⇒x=y=z Một số phơng pháp giải toán cực trị a+b ab Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng: Ở lại muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức: a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2( x − + y − 2) = x − = y − MaxA = ⇔  x + y =  x = 1,5 ⇔  y = 2,5 Cách khác: Xét A dùng bất đẳng thức Côsi b/ Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội tích: ab ≤ a+b Ta xem biểu thức: x − 1, y − tích: x − = 1.( x − 1) y−2 = 2.( y − 2) Theo bất đẳng thức Côsi: 1.( x − 1) + x − 1 x −1 = ≤ = x x 2x y−2 2( y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 x − = x = 2 2+ MaxB = + = ⇔ ⇔ 4 x − = y = VD3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − + x − Giải: Ta có: A = x − + x − ≥ x − + − x = 19 Một số phơng pháp giải toán cực trị ⇒ MinA = ⇔ ( x − 2)(3 − x ) ≥ ⇔≤ x ≤ Chú ý: Giải toán linh hoạt biến đổi x − = − x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị x VD4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x − + x − + + x − 2000 Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a + b ≤ a + b 1000 cặp giá trị tuyệt đối Ta có: y = ( x − + x − 2000 ) + ( x − + x − 1999 ) + + ( x − 999 + x − 1000 ) [ y1 = ( x − + x − 2000 ) ≥ 1999 ⇒ y1 = 1999 ⇔ x ∈ ; 2000 ] [ y = ( x − + x − 1999 ) ≥ 1997 ⇒ y = 1997 ⇔ x ∈ ; 2000 [ Y1000 = ( x − 999 + x − 1000 ) ≥ ⇒ Y1000 = ⇔ x ∈ 999, 1000 ] ] Vậy Min y = + + + + 1999 = 1000 = 1000000 Mở rộng: Từ tốn ta tốn sau: 1/ Tìm miền giá trị hàm số: y = x − + x − + + + x − 2004 2/ Chứng minh bất đẳng thức: 20 Một số phơng pháp giải toán cực trị y = x − + x − + + x − 2004 ≥ 10 3/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x − + x − + + x − 2002 III - BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1/ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = (1 − x) (1 − x) với x ≤ HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi với số không âm: 1− x 1− x 1+ x 1+ x 1+ x ; ; ; ; 2 3 2/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = 3x + − x HD: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x; − x ) 3/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 51 − x − 4/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N = x + x − 5/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a/ A = x − x + + x − x + b/ B = x + − x + x +1− x IV - TIỂU KẾT: Sử dụng bất đẳng thức địi hỏi tính linh hoạt cao, có nét riêng biệt, khơng có quy tắc chung để vận dụng Vì cần cho học sinh làm quen với nhiều loại tập này./ 21 Một số phơng pháp giải toán cực trị KT QUẢ ÁP DỤNG Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, phần chuyên đề “Tốn cực trị” phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh - học sinh khơng cịn cảm thấy ngại mà ngược lại hứng thú gặp toán cực trị Kết thể sau: Khi chưa áp dụng: Đối với 9B năm học 2006 - 2007 số học sinh đạt điểm giỏi mơn tốn 9B đạt 30% Những khố học trước HSG huyện mơn tốn lớp đạt đến em Năm học 2005 - 2006, lớp 9B tơi dạy mơn tốn có đến 60% số học sinh đạt điểm giỏi em đạt HSG huyện Đây kết đáng ghi nhận địa bàn giáo dân xã Sơn Tiến 22 ... Một số kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ Những sai lầm thường mắc phải giải toán cực trị Chương II: Một số phương pháp tìm cực trị 1/ Phương pháp tam thức bc hai Một số phơng pháp giải toán cực. .. IV - TIU KT: 12 Một số phơng pháp giải toán cực trị Loi toỏn tỡm giỏ tr ln nhất, nhỏ phương pháp tam thức bậc hai nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách... thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp III - NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ: 1/ Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị ln nht ca biu thc: Một số phơng pháp giải toán