I -Giải tích tổ hợp 1) Từ địa điểm A đến địa điểm B có đường đi; từ địa điểm B đến địa điểm C có đường Hỏi từ A đến B C có cách Hướng dẫn giải: Đi từ A C có hai cơng đoạn : (a) (b) Đi từ A đến B có : cách Đi từ b đến C có : cách Theo Ngun lý tích, từ A C có : 4.5 = 20 cách 2) Có số có chữ số thiết lập từ số 0,1,2,…,9 Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: có 10 cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị: có 10 cách chọn Vậy có 9.10.10= 900 số có chữ số 3) Có số có chữ số khác thiết lập từ số 0,1,2,…,9 Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có cách chọn Vậy có 9.9.8= 648 số có chữ số khác 4) Có số có chữ số khác thiết lập từ số 0,1,2,…,9 số số chẵn Hướng dẫn giải: a) Chọn chữ số hàng trăm : có cách chọn b) Chọn chữ số hàng chục: cách chọn c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có cách chọn, Vậy có 9.9.5= 401 số chẵn có chữ số khác 5) Có hành khách cần xếp lên toa tàu khác Hỏi có cách xếp: a) Sao cho hành khách xếp lên toa b) Sao cho toa có tối đa hành khách Hướng dẫn giải: a) a,b,c,d,e hành khách; xếp cho hành khách (a) có cách chọn; xếp chỗ cho người có cách chọn Vậy số cách xếp 9.9.9.9.9 = 95 b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có cách chọn; xếp chỗ chọ hành khách (b) cách chọn, xếp chỗ cho hành khách ( c) cách chọn,… Vậy số cách chọn 9.8.7.6.5 = 15.120 cách xếp 6) Người ta phát hành vé số có chữ số Hỏi phát hành vé : a) Vé có chữ số lẻ khơng thiết khác nhau? b) Vé có số tận 25 Hướng dẫn giải: a) Mỗi dãy số vé chỉnh hợp lặp chập 10 phần tử 0,1,…9; 105 = 100.000 vé b) Mỗi dãy số vé có chữ số lẻ khơng thiết khác lấy từ tập gổm chữ số 1,3,5,7,9 Vậy số vé gồm chữ số lẻ số chỉnh hợp lặp chập chữ số nói trên; 55 vé c)Một vé số có chữ số tận 25 chữ số trước chỉnh hợp lặp 10 Vậy có 103 vé có hai chữ số cuối 25 7) Lớp học có 30 sinh viên, cần cử ban cán lớp gồm lớp trưởng, hai lớp phó, phụ trách học tập, phụ trách đời sống.Hỏi người lớp giữ vai trị trên, có cách lựa chọn Hướng dẫn giải: Mỗi cách chọn gồm người có phân biệt vị trí phần tử nên cách chọn chỉnh hợp chập 30; Vậy số cách chọn = 30 A 30! 30! = = 28.29.30 (30 − 3)! 27! 8) Có số có chữ số khác từ chữ số 1,2,3,4,5 Hướng dẫn giải: Mỗi số có chữ số chỉnh hợp chập Vậy số số nguyên có chữ số số chỉnh hợp chập phần tử = A 5! 1.2.3.4.5 = = 3.4.5 = 60 (5 − 3)! 1.2 9) Có số có chữ số khác chia hết cho từ chữ số 0,1,2,3,4,5 Hướng dẫn giải: • Chọn số hàng nghìn có cách chọn, số hàng chục hàng trăm chỉnh hợp chập phần tử (0,1,2,3,4,5); số hàng đơn vị chỉnh hợp chập phần tử ( 0,5) Vậy số có bốn chữ số : A5 A 2 10) Có số có chữ số khác từ chữ số 1,2,3,4 Hướng dẫn giải: Mỗi số có chữ số hoán vị phần tử P = 4! = 1.2.3.4 = 24 11) Có cách xếp sách lên giá hàng ngang có vị trí Hướng dẫn giải: Mỗi cách xếp hoán vị phần tử P = 5! = 1.2.3.4.5 = 120 38) Bệnh nhân bệnh viện có 30% tỉnh A, 40%tỉnh B cịn lại tỉnh C Biết tỉ lệ giáo viên bệnh nhân tỉnh A 2%, tỉnh B 3%, tỉnh C 5% Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân, người khơng giáo viên, tìm xác suất Khả bệnh nhân thuộc tỉnh nào? Hướng dẫn: Gọi X, Y ,Z biến cố bệnh nhân chọn thuộc tỉnh A,B,C P(A) =30%,P(B)=40%,P(C)= 30%, A,B,C lập thành hệ đầy đủ P(X/A)=98%; P(Y/B)=97%; P(Z/C) = 95% Áp dụng cơng thức xác suất tồn phần, E biến cố người bị bệnh không giáo viên P(E)= 0,3.0,98+0,4.0,97.+0,3.0,95=0,967 Áp dụng công thức Bayes P(X/E)=0,30403; P(Y/E)=0,41241; P(Z/E)= 0,294726 Khả bệnh nhân thuộc tỉnh B Phép thử Bernoulli- Công thức xác suất nhị thức  Phép thử Bernoulli Dãy phép thử Gi ; i=(1,n) phép thử tương ứng với không gian biến cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, gọi dãy phép thử Bernoulli a) b)  Dãy phép thử độc lập Xác suất xẩy biến cố A không đổi p Xác suất nhị thức Dãy pháp thử Bernoulli ( n,p) P  k n (k ) = C n p (1− p) k m−k k Khả : -Nếu (n+1)p nguyên2 k =(n +1) p k = (n+1)p-1 (k ) ( 1; ) = n n - Nếu (n+1)p khơng ngun k =[(n+1)p ] k1 P k k ∑P 39) Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối đồng chất 10 lần Tìm xác suất : 1)Có lần xuất mặt sấp 2)Có lần xuất mặt sấp Giải : a Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=10 p = ½ Theo cơng thức xác suất nhị thức : b Khi k= ; P (k=0)=(0,5)10k 10 − 10 10 k k (k ) = 10 = 10 ⇒ k = 2; 10 Xác suất để xuất lần mặt sấp P 10 p C 0,5 (1−0,5) k ( 1≤ k) = 1- (0,5) 10 C 0,5 p 10 10 (2) = C 10.0,5 40) Một lơ hàng có tỉ lệ phế phẩm 0,02 Cần chọn mẫu cỡ để xác suất có phế phẩm xác suất không thấp 0,95 Giải : Giả sử cỡ mẫu n; toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với p=0,02; q = 0,98 Gọi A biến cố có phế phẩm mẫu chọn : P(A)= 1- P(Ā) = Giải bất phương trình mũ ta có: n≥ [ln(0,05):ln(0,98)]=148,2837 Vậy lơ mẫu phải lớn 148 1− C nP 0,98 n n = − 0,98 ≥ 0, 95 41) Gieo đồng tiền cân đối đồng chất lần Khả số lần xuất mặt sấp Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=5 p=0,5 q= 0,5 Xét (n+1)p = (5+1) 0,5 = 3;khả lần (n+1) p – = 3-1 = Số lần xuất mặt sấp khả lần gieo có đến lần xuất mặt sấp 42)Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên phát vào bia, biết xác suất trúng bia 0,7 a) b) Tìm xác suất bắn trúng nhiều viên vào bia Khả trúng bia nhiều nhiều phát nói Giải : Bài tốn thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=4 p=0,7;q=0,3 • Áp dụng cơng thức xác suất nhị thức ta có: P(1≤x≤ 2) = • Xét (4+1)0,7 = 0,7 = 3,5; số viên đạn trúng bia nhiều viên C 4.0,8 0,3 + C 4.0,8 0,3 2 43)Mức tiêu thụ điện ngày nhà máy khơng vượt q p=0,75 Tính xác suất ngày có ngày lượng điện khơng vượt định mức quy định Hướng dẫn giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=6 p=0,75; q= 1-p = 0,25 • Áp dụng cơng thức xác suất nhị thức ta có: P(x= 4) = C 0,0,75 0,25 = 0, 44) Xác suất nẩy mầm lô hạt giống 97% Phải chọn mẫu cỡ bao nhiên để lơ mẫu có hạt không nẩy mầm với xác suất không nhỏ 95% Giải : Giả sử mẫu chọn n, toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli: n; p=0,03; q=0,97 Gọi P (x) xác suất có hạt không nẩy mầm n − C n.0,03 0,97 ⇔ 0, 05 ≥ 0,97 n ≥ 0, 95 n ⇔ ln 0, 05 ≥ n ln 0, 97 ln 0, 05 ⇔ n ≥ = 98, 35227 ⇔ n ≥ 98 ln 0, 97 45) Một người tập bắn, bắn liên tiếp phát, xác suất trúng mục tiêu 0,2 Để hạ mục tiêu phải bắn trúng viên Tìm xác suất để hạ mục tiêu Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=5 p=0,2; q= 1-p = 0,8 • Áp dụng cơng thức xác suất nhị thức ta có: P 5(3≤x) = Vậy để hạ mục tiêu xác suất P = 0,0579 C 0,2 0,8 + C 0,2 0,8 + C 0,2 0,8 5 5 = 0, 0579 46) Một vùng dân cư khả loại bệnh truyền nhiễm 0,2 Khám 500 người thuộc khu vực dân cư nói trên: a) Tìm xác suất để có nhiều người bị bệnh b) Số người mắc bệnh khả lớn nhất, xác suất tương ứng Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=500 p=0,2; q= 1-p = 0,8 • Áp dụng công thức xác suất nhị thức, xác suất để nhiều người mắc bệnh • Ta có (n+1) p = 501.0,2= 100,2 nên số người mắc bệnh nhiều 100 Xác suất tương ứng C 1 0,2 0,8 499 500 p + C 500.0,2 0,8 500 100 (100) = C 500.0,2 100 498 + C 500.0,2 0,8 0,8 400 497 47) Tỉ lệ cận thị học sinh trường 0,1 Lấy mẫu để học sinh bị cận với xác suất tương ứng 0,95 Giải : Giả sử cho mẫu có cỡ n, tốn thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n p= 0,01; q= - 0,01= 0,99 Gọi A biến cố có học sinh bị cận P(A) = Giải bất phương trình mũ ta có : n − C n.0,01 0,99 ≥ 0, 95 Cỡ mẫu cần chọn không nhỏ 298 n 0, 05 ≥ 0,99 ⇔ ln 0, 05 ≤ n ln 0, 99 ⇔ ln 0, 05 ≤ n ⇔ n ≥ 298 ln 0, 99 48) Người ta trồng hàng có cây, xác suất trồng sống 0,8; chết người ta trồng lại.Khả trồng lại nhiều cây, xác suất tương ứng Hướng dẫn giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n= p= 0,8; q= - 0,8 = 0,2 Ta có (n+1)q= 10.0,2=2 nên số chết nhiều đến cây, xác suất tương ứng : P 10 ( ≤ x≤ 2) = C 0,2 0,8 10 + C 10.0,2 0,8 49) Có 12 máy dệt, thời gian t chúng cần bảo dưỡng với xác suất p= 1/3 Tìm xác suất: a) Trong thời gian t có máy cần bảo dưỡng b) Trong thời gian t có từ đến máy cần bảo dưỡng Hướng dẫn giải : a) Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=12; p=1/3; q= 2/3 b) P12(4) = C 12 28 3 i 12 − i (3 ≤ x ≤ 6) = ∑ C 12(1 ).( 212−i ) P12 3 i =3 i 50) Một hộp đựng 20 viên bi trắng 10 bi đỏ đồng chất khối lượng.Lấy viên lần lấy hồn lại sau lấy viên tiếp theo.Tìm xác suất để viên có viên trắng Hướng dẫn giải : Bài toán thỏa mãn tiêu chuẩn Bernoulli với n =4, p = 2/3; q= 1/3; 2 P (2) = C ( ) ( ) 3 4 51) Tung đồng tiền cân đối đồng chất lần Tìm xác suất : a) Có lần sấp b) Khơng lần sấp Giải : Bài toán thỏa mãn tiêu chuẩn Bernoulli với n =7, p = 1/2; q= 1/2; a) b) P P (4) = C 70,5 0,5 = C 70,5 ( x ≤ 3) = i ∑ C 0,5 Chu ý : Phân biệt biến cố A= Không lần sấp B= Sấp không 7 ... 103 C C Xác suất, tính chất, cơng thức xác suất • Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển m P ( A) = ( m khả thuận lợi xuất biến cố A, n khả có n ( đồng khả năng) thể) • Định nghĩa xác suất theo... + 0,25.0,01 +0,35.0,02 =0, 0115 2 Xác suất để sản phẩm thuộc nhà máy 1: P(A/X) = = 0,173 611 Bảng 31 0, 002 0, 0115 2 35) Hai công nhân sản xuất chung lô sản phẩm Xác suất người người thứ làm phế... Hướng dẫn giải : a b c Số khả 36, số khả thuận lợi 18 Xác suất p = Số khả 36, số khả thuận lợi Xác suất p = Số khả 36, số khả thuận lợi Xác suất p = 18 36 36 36 20) Hai hộp dựng bi; hộp có bi trắng,