Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A2TÀI LIỆU THAM KHẢO1.Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP. HCM.2.Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ĐHCN TP. HCM.3.Toán cao cấp A2 – Đỗ Công Khanh – NXBĐHQG TP.HCM.4.Toán cao cấp A2 – Nguyễn Đình Trí – NXB Giáo dục.5.Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết Đông – NXB Giáo dục.6.Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – Lê Sĩ Đồng – NXB Giáo dục.7.Bài tập Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A (HỆ ĐẠI HỌC) GVHD: ThS PHAN MINH CHÍNH KHOA:………………….Lớp:…… Nhóm 1: Nguyễn Như Ngọc (08881771) Bùi Văn Tiệp (08267261) Thành phố Hồ Chí Minh, 06/2009 KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A (HỆ ĐẠI HỌC) GVHD: ThS PHAN MINH CHÍNH KHOA:………………….Lớp:…… Nhóm 1: Nguyễn Như Ngọc (08881771) Bùi Văn Tiệp (08267261) Thành phố Hồ Chí Minh, 06/2009 Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ 0xy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: a) Phần thực z -2 b) Phần thực z thuộc khoảng (-1;2) c) z = d) 1< z ≤ Giải: Ta có: z = a+bi a phần thực b phần ảo a) Phần thực z -2 ⇒ z = -2+bi với b ∈ R Tập hợp điểm biểu diễn số phức z = -2+bi đường thẳng có phương trình x = -2 biểu diễn đồ thị: (y) x = -2 (x) -2 O Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực -2 đường thẳng có phương trình x = -2 b) Phần thực z thuộc khoảng (-1;2) Tương tự câu a ta ta có nhận xét: • Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực -1 đường thẳng có phương trình x = -1 • Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực đường thẳng có phương trình x = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực thuộc khoảng (-1,2) phần mặt phẳng giới hạn đường thẳng x = -1 x = đồ thị: (y) x=-1 x=2 -1 (x) c) z = Ta có r = a +b ⇒ 2 a +b = z =1 = ⇔ a + b2 = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức có độ lớn đường trịn (0,1) biểu diễn hình vẽ: (y) (x) -1 -1 d) < z ≤ Ta có r = a +b = z Suy ra: < z ≤ ⇔ 1< a +b ≤ ⇔ < a + b2 ≤ Tương tự câu c ta có nhận xét: • Tập hợp điểm biểu diễn số phức có độ lớn đường trịn (0,1) • Tập hợp điểm biểu diễn số phức có độ lớn đường trịn (0,2) Do tập hợp điểm biểu diễn số phức có độ lớn thỏa mãn < z ≤ phần mặt phẳng bên giới hạn đường tròn (0,1) (0,2) bao gồm điểm nằm đường tròn (0,2) theo hình vẽ đây: (y) (x) -2 -1 -1 -2 Câu 3: Thực phép tính sau: a) A = 2+i − 2i + 3i f) F = − 2i 21 Giải: ( + i ) (3 + 2i) = + 7i + 2i = + 7i 2+i = a) A = − 2i ( − 2i ) ( + 2i ) − 4i 13 ( 21 )( ) + 3i + 3i + 2i = f) F = − 2i − 12i ( ) 21 + 18i + 13i − 13 + 13i = = 13 − 12i 21 = −1+ i Đặt A = -1 + i ⇒ F = A21 Viết A = -1 + i dạng lượng giác: Modun: r = ( − 1) + ( ) =2 −1 cosϕ = 2π ⇒ϕ = + k 2π Argument: 3 sin = ϕ 2π Lấy giá trị ϕ = 2π 2π + i sin Suy dạng lượng giác A là: A = cos 3 21.2π 21.2π 21 21 ⇒ F = A21 = 221 cos + i.sin ÷ = (1 + 0) = 3 21 + 3i 21 Vậy F = − 2i = Câu 5a: Giải phương trình sau tập hợp số phức: -3z + 2z – = Giải: Ta có : ∆' = 12 – = -2 = 2i Do phương trình cho có nghiệm: − b ' − ∆' − − 2i + i = = a −3 ' ' −b + ∆ − + 2i −1+ i X2 = = = a −3 −3 X1 = 21 Câu 5f: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z4 +z2 +1 = (1) Giải: Đặt X = z2 suy (1) ⇔ X2 + 2X +1 =0 (2) −b = −1 = i2 2a ⇒ z2 = X12 = i2 ⇔ z = ± i Ta có: ∆ (2) = 22 - 4.1.1 = ⇒ X12 = Vậy (1) có nghiệm z = ± i Câu 7a: Viết theo dạng lượng giác z = 1+i Giải: Modun: r = (1) + ( 3) =2 a cos ϕ = r = sin ϕ = b = r Argument z: π Lấy giá trị ϕ = π ⇒ ϕ = + k 2π 3 Suy dạng lượng giác z là: z = cos Câu 7f: Viết theo dạng lượng giác z = π π + i sin 3 1+ i 1+ i Giải: z = 1+ i ⇒ z= = 1+ i z Đặt z z * Viết z1 = + i dạng lượng giác: Modun: r1 = (1) + ( 3) =2 a1 = cosϕ = r ⇒ ϕ = π + k 2π 3 sin = b1 = ϕ1 r1 Argument z1: π Lấy giá trị ϕ = (1) π π + i sin 3 Suy dạng lượng giác z1 là: z1 = cos (2) * Viết Z2 = + i dạng lượng giác: Modun: r2 = 12 + 12 = a2 = cosϕ = r2 sin b2 = ϕ2 = r2 Argument z2: π Lấy giá trị ϕ = 2 ⇒ϕ = Suy dạng lượng giác z2 là: z2 = Thay (2) (3) vào (1) ta được: z = 2(cos π + isin π ) = z= π π z 2(cos + isin π π +isin ) 12 12 π π Vậy z = (cos +isin ) 12 12 = ) π + k 2π π π cos + i.sin ÷ 4 [cos( π π π π - ) +isin( - )] 4 (cos −1 + i −1 − i ; z2 = 2 n n Tính z = (z1 ) + ( z2 ) (n số nguyên dương) Câu 9: Đặt z1 = Giải: (−1+i 3) = z ⇒ (−1−i 3) = z −1 + i ⇒ Ta có: z1 = −1 − i z2 = n (1) n n n (2) n n Từ (1) (2) suy ra: z = (z1 ) n + ( z2 ) n = = n [ (−1+ i (−1+i 3) n n + n (−1−i 3) 3) + (−1−i 3) Với A = -1 + i B = -1 - i • A = -1 + i n n n ]= n (An+Bn) (3) (3) Modun: r1 = ( − 1) + ( ) =2 −1 2π ⇒ϕ = + k 2π 3 2π Lấy giá trị ϕ = 2π 2π + i sin Suy dạng lượng giác A là: A = cos 3 2nπ 2nπ ⇒ An = 2n cos + i sin (*) 3 • B = -1 - i cosϕ = Argument: sin ϕ1 = Modun: r2 = ( − 1) + ( − ) =2 −1 cosϕ = − 2π ⇒ϕ = + k 2π Argument: − sin ϕ2 = − 2π Lấy giá trị ϕ = − 2π − 2π + i sin Suy dạng lượng giác B là: B = cos 3 2π 2π − i sin = cos 3 2nπ 2nπ ⇒ Bn = 2n cos − i sin (**) 3 Thay (*) (**) vào (3) ta được: 1 2nπ 2nπ n 2nπ 2nπ + i sin − i sin +2 cos ] z = n (An+Bn) = n [2n cos = n 2 2n.( cos = cos 3 2nπ 2nπ 2nπ 2nπ + i sin − i sin + cos ) 3 3 2nπ Vậy z = cos 2nπ Câu 10: Đặt z1 = Giải: 1+ i Tính z = (z1)n với n số nguyên dương + i z2 = (*) với z2= 1+i 2 Viết z2= 1+i dạng lượng giác: Môđun: r2 = 12 + ( )2 = r = cos ϕ = ⇔ ϕ = π + k2 π Argument z2: 3 sin ϕ = Lấy giá trị ϕ = π Đặt z1 = Từ có dạng lượng giác z2 là: z2 = 2(cos π +isin π ) Thay vào (*) ta được: 2(cos π + i sin π ) 3 = cos π + i sin π z1= z = 3 2 Do đó: z= (z1) = ( cos π + i sin π )n = cos nπ + isin nπ với n số nguyên dương Vậy: z = cos nπ + isin nπ với n số nguyên dương n • Với n = z0 = 1 +i Với n = z2 = - + i • Với n = z1 = • • Với n = z3 = -1 3 2 Với n = z5 = - i 2 • Vơí n = z4 = - - i • • Với n = z6 = chu kì lặp lại Câu 11: Tìm tất số phức u bậc ba z = (1 + i) Giải: z = (1 + i) = z1 (*) với z1 = 1+i Viết z1 = 1+I dạng lượng giác: Mođun: r2 = 12 + 12 = r = ⇒ a = (-1).1+1.(-1) + (-1).1+ +1.(-1) = -100 Vậy a = -100 Câu 123d: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp phụ đại số: D= Giải: D= d = −5 d1 + d d = −3 d1 + d → ⇒ det D = (-1)1+1 = 33 ≠ ⇒ Ma trận D khả nghịch Ta có D = + Dp − ⇒D = = det D 33 + − + − 0 ÷ 1÷ 5÷ ÷ − 1÷ ÷ 5÷ + 0÷ 3 + −1 ÷ = −15 24 ÷ = 33 ÷ −15 −1 33 11 ÷ 33 −15 ÷ 33 11 ÷ 11 −5 ÷ ÷ 11 33 33 −1 11 ÷ 33 33 Vậy D= ⇒ D = 11 −511 811 ÷ ÷ −5 ÷ ÷ 33 11 33 0 0 Câu 125: Tính ma trận A = 1 −1 0 −1 Giải: −1 2 3 0 1 −2 1 0 −1 −1 0 0 Đặt A1 = 1 −1 0 2 3 0 A2 = 1 −2 1 0 0 0 A1 = = 1 −1 1 1 = −1 = 1 2 2 0 0 2 1 −1 2 3 0 A2 = = 1 −2 1 0 2 0 = = 1 −4 3 0 2 −2 1 0 −1 −1 −1 −1 Suy A = A1A2 Áp dụng tính chất (X.Y)-1 = Y-1.X-1 cho A1 A2 ta được: −1 −1 (1) −1 = −1 −1 −1 (2) −1 = −1 (3) Thay (2) (3) vào (1) ta được: 1 A = A1A2 = = 1 0 2 12 Câu 182: Giải biện luận hệ phương trình với m tham số 3 x − y + z = 2 x + y − z = m x − y + 4z = Giải: Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận mở rộng ma trận A: 3 −1 − m d 1↔→ =2 d3 A 1 − 4 1 − 4 − m 2 3 −1 4 1 − 1 − d 2↔ d − 10 m − → − 10 − → 0 0 − 10 − − 10 m − d = −2 d 1+ d d 3= −3 d 1+ d 1 − − 10 − ( I ) → 0 0 m + 1 d 3= − d + d Dựa vào ma trận mở rộng ta thấy r(A) = ∀m Ta biện luận trường hợp xảy ra: • Hệ có nghiệm ⇔ r(A) = r( A ) = = số ẩn hệ (Khơng xảy r(A) = ∀m ) • Hệ có vơ số nghiệm ⇔ r(A) = r( A ) ≠ = số ẩn hệ ⇔ r(A) = r( A ) = ⇔ m +1 = ⇔ m = -1 x = x = ⇔ Từ ( I ) suy 10 z − y = 2z − y = 10a − Hệ có vơ số nghiệm dạng: (x, y, z) = ( , , a) ∀a ∈ R 5 • Hệ vơ nghiệm ⇔ r( A ) ≠ r(A) = ⇔ r( A ) = (Vì r( A ) nhận hai giá trị 3) ⇔ m +1 ≠ ⇔ m ≠ -1 10a − Vậy: m = -1 hệ có vơ số nghiệm dạng (x, y, z) = ( , , a) ∀a ∈ R 5 m ≠ -1 hệ vô nghiệm Câu 214: Xác định tham số m để vecto phụ thuộc tuyến tính: u=( m;1;3;4) v=(m;m;m+2,6) w=(2m;2;6;m+10) Giải: Các vecto cho phụ thuộc tuyến tính tồn số thực a, b, c cho: m.a + m.b + 2m.c = 1.a + m.b + 2.c = a.u+b.v+c.w=(0;0;0) ⇔ 3.a + (m + 2).b + 6.c = 4.a + 6.b + (m + 10).c = m 1 ÷ m+10 ÷ 4 Xét ma trận: A= → (m + 2) ÷ ÷ m 2m m 1 m 1 m ÷ ÷ d =−4 d 1+ d 6-4m m+2 ÷ d 3= −2 d + d 6-4m m+2 ÷ d 3=−3 d 1+ d m d =− md 1+ d → 2-2m → ÷ 0 ÷ ÷ ÷ 2 m m m ÷ m ÷ Ta bỏ dịng khơng ma trận dạng ma trận sau: ÷ 1 m m 1 ÷ ÷ −m ÷ − m m + ÷ d 3= m m d + d − m m+2 6− → ÷ 0 ÷ m− ÷ (m + 2)(m − m) ÷ m ÷ − 4m Để vector phụ thuộc tuyến tính r(A) Vậy theo định lý Sylvester f ( x, y ) = -x2 + 2xy - 4y2 xác định dấu âm c) f ( x, y, z ) = -11x2 - 6y2 -6z2 + 12xy - 12xz + 6yz Ta có ma trận ứng dạng tồn phương là: C = Ta có định thức C là: D = = -11< 0, D = = 30 > 0, D = = -81 < Vậy theo định lý Sylvester f ( x, y, z ) = -11x2 - 6y2 -6z2 + 12xy - 12xz + 6yz xác định âm d) f ( x, y, z ) = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz Ta có ma trận ứng với dạng tồn phương là: D = Ta có định thức D là: D = = > 0, D = = 18 > 0, D = = -99 < Ta thấy D × D < (Có đan xen dấu định thức cấp lẻ) Theo định lý Sylvecter f ( x, y, z ) = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz không xác định dấu Vậy f ( x, y, z ) = 9x2 + 6y2 + 12xy - 10xz - 2yz không xác định dấu Câu313: Tìm tham số m để dạng tồn phương sau xác định tính dương, âm: a) f ( x, y , z ) = 2x+6xy+2xz-6y-4yz+mz xác định tính âm b) f ( x, y, z ) = 5x+4y+mz+6xy+2xz+2yz xác định tính dương Giải: a) f ( x, y , z ) = 2x+6xy+2xz-6y-4yz+mz xác định tính âm f ( x, y, z ) =2x+6xy+2xz-6y-4yz+mz ⇒ A= Gọi D ,D,D định thức ma trận A f x, y, z xác định âm ⇔ Tất định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm Dễ thấy D= > định thức cấp lẻ mà lại dương Do khơng có giá trị m để dạng tồn phương cho xác định tính âm b) f ( x, y, z ) =5x+4y+mz+6xy+2xz+2yz xác định tính dương ( ) f ( x, y, z ) =5x+4y+mz+6xy+2xz+2yz ⇒A = Gọi D ,D,D định thức A f x, y, z xác định dương ⇔ Tất định thức dương ( ) Ta có: D = > (Thỏa mãn) D =11 > (Thỏa mãn) D= Dể D3 > ⇔ (20m + + 3) – (4 + + 9m) > ⇔ 11m – > ⇔ m> Vậy với m> dạng tồn phương cho xác định dương 11 11 Câu 314: Viết dạng tắc phương pháp Lagrange: a) f ( x1 , x , x3 ) = x2 + x2 - 4x2 + 2xx - xx Ta có: f ( x1 , x2 , x3 ) = x2 + x2 - 4x2 + 2xx - xx = (x2 + xx - xx) + 5x2 - 4x2 = x2 + 2x(x - 2x) + (x - 2x)2 - (x - 2x)2 + 5x2 - 4x2 = (x + x - 2x)2 - x2 + 4xx - 4x2 +5x2 - 4x2 = (x + x - 2x)2 +4x2 - 4x + 4xx - 4x = (x + x - 2x)2 + 4(x -x)(x +x) + 4x(x -x ) = (x + x - 2x)2 + 4(x -x )(x +2x ) x1 = y1 − y + y3 x1 + x − x3 = y1 ⇔ X= PY Đặt: x − x3 = y − y ⇔ x2 = y − y3 x + 2x = y + y 3 2 x3 = y Lúc f ( y1 , y , y ) = y + 4(y -y )(y +y ) ⇔ f ( y1 , y , y ) = y + 4y - 4y3 Tọa độ cũ = P.Tọa độ Do vậy: P = Thử lại: A= PAP = = = Vậy f ( y1 , y , y ) = y + 4y - 4y3 c) f ( x1 , x , x3 ) = 4x + x +x -4xx -3xx + 4xx Ta có: f ( x1 , x2 , x3 ) = 4x + x + x - 4xx - 3xx + 4xx = (4x - 4xx + 4x x ) + x + x - 3xx = 4x -4x (x -x ) + (x -x) - (x -x) + x22 + x - 3xx = (2x + x - x ) - x + 2xx - x + x + x - 3xx = (2x + x - x ) - xx 2 x1 + x3 − x = y1 Đặt: x = y − y x = y + y x1 = y1 − y ⇔ x2 = y − y3 x = y + y Lúc này: f = ( y1 , y , y ) = y12 – y22 + y32 ⇔ X=PY Tọa độ cũ = P tọa độ ⇒ P= Thử lại: A= P A.P= = = Vậy f = ( y1 , y , y ) = y12 – y22 + y32 dạng tắc cần tìm Câu 315c: Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương sau dạng tắc Viết dạng tắc phân loại dạng toàn phương: f(x1, x2, x3) = 2x12 + 5x22 + 2x32 – 4x1x2 + 4x2x3 – 2x1x3 Giải: f(x1, x2, x3) = 2x12 + 5x22 + 2x32 – 4x1x2 + 4x2x3 – 2x1x3 2 ⇒ A = − −1 −2 − 1 2−λ −2 −1 5−λ Đa thức đặc trưng P = A − λI = − −1 2−λ 2−λ −2 −1 −d + 5−λ = −2 ( d 3= d → ) 2 (λ − 1) 1− λ = (1- λ )( λ -7)( λ -1) (Tính theo Sarius) Trị riêng nghiệm phương trình: λ = λ = P = ⇔ (1- λ )( λ -7)( λ -1) = ⇔ • (Với λ =1 nghiệm kép λ =7 nghiệm đơn) λ 1=1 ứng với vectơ riêng u1(x, y,z) nghiệm hệ: (A-1.I).u1=0 − 2y − z = x ⇒ ⇒ x - 2y - z = − x + y + z = Suy u1=(2a+b, a, b)= (2a, a, 0)+ (b, 0, b) với a2+b2 ≠ • Có sở: x1(2,1,0) va x2(1,0,1) λ 2=7 ứng với vectơ riêng u2(x, y,z) nghiệm hệ: (A–7I) u2=0 − x − y − z = x = − z ⇔ − x − y + z = ⇒ y = 2z + y − 6z = Suy u2=(-c, 2c, c) với c ≠ có sở (-1,2,1) Ta có hệ sở: x1=(2,1,0) x2=(1,0,1) x3=(-1,2,1) Dễ thấy =2 ≠ nên hệ cho chưa trực giao Trực giao hóa hệ vecto x1,x2,x3 ta được: y1=x1=(2,1,0) y2= x2 - y1=(1,0,1) - y3= x3 - y2 - −2 (2,1,0) = ( , ,1) 5 y1= (-1,2,1) - (0,0,0) - (0,0,0) = (-1,2,1) Trực chuẩn hóa y1,y2,y3 ta được: Do ma trận truc giao S làm chéo hóa ma trận A chọn sau: 2 S= 0 −2 30 30 30 6 ⇒ S-1 = ST = −1 2 30 −1 −2 30 30 2 -1 D = S AS = −1 1 = 0 0 30 1 −2 30 30 2 − −1 −2 2 − 1 0 30 −2 30 30 6 −1 0 0 7 2 2 Ta có ma trận tương ứng với dạng tồn phương là: A = − −1 −2 Dạng tồn phương cho có dạng tắc là: Q = y + y + y Phân loại dạng toàn phương: − 1 Giá trị định thức xuất phát từ ma trận A là: D1 = > D2 = −2 =6>0 −2 −2 −1 D3 = −2 = > −1 2 Tất định thức xuất phát từ ma trận A dương ma trận tồn phương xác định dương TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Tốn cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP HCM Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ĐHCN TP HCM ... điểm biểu diễn số phức có phần thực -1 đường thẳng có phương trình x = -1 • Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực đường thẳng có phương trình x = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần. .. KHẢO Giáo trình Tốn cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ĐHCN TP HCM Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ĐHCN TP HCM 3 Toán cao cấp A2 – Đỗ Cơng Khanh – NXBĐHQG TP.HCM Tốn cao cấp A2 – Nguyễn Đình Trí... biểu diễn số phức z = -2+bi đường thẳng có phương trình x = -2 biểu diễn đồ thị: (y) x = -2 (x) -2 O Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực -2 đường thẳng có phương trình x = -2 b) Phần