Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 2:Bài Toán đối ngẫu,chứa đầy đủ các dạng của bài toán đối ngẫu,có ví dụ và cách giải cụ thể cho mỗi dạng,cuối chương co bài tập để các bạn cô động lại kiến thức
1 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1 Chương 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu 2.2 Giải bài toán đối ngẫu 2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu 2 2 2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu Xét bài toán sảnxuấttối ưu: Có một đốitácđặtvấn đề mua toàn bộ nguyên liệucủactyA.Hãylập bài toán định giá mua ng/liệurẻ nhất. 12 3 123 123 12 3 234 max 2 3 10000 2 3 3 50000 (2.1.1) 2 3 4 30000 0, 1,2,3 j Zxx x xxx xxx xx x xj 3 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu Gọiy i , i=1,2,3 là giá mua 1 đ/vị nguyên liệu đường, sữa, bộttương ứng. Bài toán (2.1.1)’ gọilàBTĐNcủa (2.1.1). 123 123 123 12 3 10000 50000 30000 min 2 2 2 2 3 3 3 (2.1.1) 3 3 4 4 0, 1,2,3 i Zyyy yyy yyy yy y yi 4 3 Lập bài toán đối ngẫu Bài toán xuất phát(ĐNgẫu) Bài toán đối ngẫu (X.phát) 5 11 max nn Zcx cx 11 min mm Zby by 1 ,( 1, ) n ij j i j ax b i m 0 0,( 1,) tuøy yù j x jn 1 ,( 1, ) m ij i j i ay c j n 0 0,( 1,) tuøy yù i y im RBD ngược dấu RBC RBC cùng dấu RBD x j Lập bài toán đối ngẫu Ví dụ 2.1.1a Xét bài toán QHTT 6 12 3 123 123 12 3 28max 7 4 2 28 3 3 10 2 3 15 0, 1,3 j Zxxx xxx xxx xx x xj 123 12 3 12 3 12 3 13 BTDN 28 10 15 min 7 3 2 2 4 3 1 2 3 8 0, 0 Zyyy yy y yy y yy y yy 4 Lập bài toán đối ngẫu b) 7 123 12 3 123 12 13 12 23 min 2 2 2 4 3 2 4 2 5 , 0 Zx x x xx x xxx xx xx xx 1234 123 4 12 3 12 4 13 24 2345 max 2 2 1 2 2 2 4 3 , 0; , 0 Zyyyy yyy y yy y yy y yy yy BTĐN Cặp ràng buộc đối ngẫu Trong mộtcặp bài toán đốingẫu, ta gọihairàng buộcbất đẳng thức trong hai bài toán cùng tương ứng vớimộtchỉ số(quy định dấulẫn nhau) là một cặpràngbuộc đốingẫu. 8 5 Cặp ràng buộc đối ngẫu Ví dụ 2.1.2 Ở ví dụ 2.1.1a thì có 5 cặp ràng buộc đối ngẫu sau: 9 1123 2123 3123 123 1 12 3 3 0 7 3 2 2 0 4 3 1 0 2 3 8 742 28 0 23 15 0 xyyy xyyy xyyy xxx y xx x y Các định lý đối ngẫu Định lý đốingẫuyếu: Nếu x*là phươngántùyýcủabàitoángốc(P) và y*làphươngántùyýcủabàitoánđốingẫu (D) thì Z(x*) ≤ Z’(y*). Hệ quả 1: Nếumột trong hai bài toán (củacặpbàitoánđối ngẫu) có phương án tối ưu thì bài toán còn lại cũng có phương án tối ưu. 10 6 Các định lý đối ngẫu Hệ quả 2: 11 Nếu x 0 là PA của (P) y 0 là PA của (D) và Z(x 0 ) = Z’(y 0 ) x 0 là PATƯ của (P) y 0 là PATƯ của (D) Các định lý đối ngẫu Định lý đối ngẫu mạnh: 12 Nếu x * là PATƯ của (P) y * là PATƯ của (D) * () (*) Z xZy 7 Các định lý đối ngẫu Định lý độ lệch bù yếu: Điềukiệncầnvàđủ để PA x 0 của bài toán (P) và PA y 0 của bài toán (D) là là 2 PA tối ưulà: 13 00 1 00 1 0,( 1, ) 0,( 1, ) m jijij i n ij j i i j x ay c j n ax b y i m Các định lý đối ngẫu Hoặc phát biểutương đương: Đkcầnvàđủ để x 0 và y 0 là PATƯ của bài toán (P) và (D) tương ứng là trong từng cặpràngbuộc đối ngẫucủacặpbàitoánđó: nếumộtràngbuộc(của bài toán này) thỏamãnvớidấubất đẳng thứcthực sự (thỏa mãn lỏng) thì ràng buộc còn lại(củabài toán kia) phảithỏamãnvớidấu đẳng thức(thỏa mãn chặt), i.e., 14 8 Các định lý đối ngẫu . 15 00 0 0 11 - Neáu 0 hay 0 thì jjjmjmj x xayayc 00 0 11 - Neáu + +a >(<) thì 0 iinnii ax x b y 00 0 0 11 - Neáu 0 hay 0 thì iii inni y yaxaxb 00 0 11 - Neáu ( ) thì 0 ( 1, ; 1, ) jmjmjj ay ay c x imjn 2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc Cho bt QHTT (P) và một PATƯ x 0 . Cần giải btdn (D) của (P)? Bước 1: Lập btđn (D) của (P) Bước 2: Lập hệ pt tối ưu cho biến bt (D). (dựa vào đlý độ lệch bù yếu) -Giải hệ này tìm nghiệm y 0 . Bước 3: Kết luận lời giải cho bt (D) -Nếu y 0 thỏa các Rb còn lại của (D) thì nó là PATƯ cần tìm của (D). 16 9 2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc Vi dụ 2.2.1: Có phương án tối ưu la x 0 =(7,0,-9) . Hãy lập và giải bài toán đối ngẫu của bài toán trên? 17 123 123 123 123 12 3 34 min 32415 2 5 8 4 2 2 10 (2.2.1) , 0; 0 Zx xx xxx xxx xx x xx x 2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc BTĐN của bt (2.2.1) là: 123 123 123 123 12 3 34 min 32415 2 5 8 4 2 2 10 (2.2.1) , 0; 0 Zx xx xxx xxx xx x xx x 18 1 2 3 y y y 12 3 15 8 10 maxZyyy 123 3243yyy 123 2 2 4yyy 123 4521yy y 123 ,, 0yyy 10 2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc Do x 0 =(7,0,-9) là PATƯ của bt (2.2.1) nên theo đlý đ.l.b.y ta có hệ: Ta thấyy 0 =(1/5, 0, 9/10) thỏacácRBcủabtđn nên nó là PATƯ củabtdnvà 19 123 123 2 324 3 4521 0 yyy yy y y 1 2 3 1/5 0 9/10 y y y max 12Z 2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu 2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu. 2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA. 2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT 20 . TOÁN ĐỐI NGẪU 1 Chương 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu 2.2 Giải bài toán đối ngẫu 2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu 2 2 2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu . toán đối ngẫu 2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu. 2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA. 2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT 20 11 2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu Cho bt. định lý đối ngẫu Định lý đốingẫuyếu: Nếu x*là phươngántùyýcủabàitoángốc(P) và y*làphươngántùyýcủabàitoánđốingẫu (D) thì Z(x*) ≤ Z’(y*). Hệ quả 1: Nếumột trong hai bài toán (củacặpbàitoánđối ngẫu)