NGUY ỄN TRUNG KIÊN 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ h ơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - tanb c B= , tanc b C= , 2 .AH HB HC= - 2 2 2 2 2 1 1 1 .AB AC AH AH AB AC AB AC = + ⇒ = + ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - .S p r= (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - 4 abc S R = H C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 2 ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B h= Ph ần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. - Lo ại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn n ội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc ,SB SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức + óp 1 . 3 ch V B h= + . LT V B h= Ta xét các ví d ụ sau: Ví d ụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 ,AB AD a CD a= = = . Góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp SABCD . HD giải: D ấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc v ới đáy ABCD’’ www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 3 Vì 2 mặt phẳng ( )SBI và ( )SCI cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( )SBI và ( )SCI có giao tuy ến là SI nên ( )SI ABCD⊥ . Kẻ IH BC ⊥ ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( )SCB ABCD là 0 ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 2 IBC S IH BC ∆ = = 3 3 5 a . Từ đó tính được 3 3 15 5 SABCD V a= . Ví d ụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , , ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn ' ' B C , I là giao điểm của BM và ' B C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’ I nằm trong mặt bên ( ' ') BCC B vuông góc với đáy ( )ABC ’’ Ta có: - ' ' 'ABCA B C là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. ( ' ) I B BC ⊂ ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH BC ⊥ thì ( ) IH ABC ⊥ và I chính là trọng tâm tam giác ' ' BB C 2 4 ' ' 3 3 IH CI a IH BB CB ⇒ = = ⇒ = H I S D C B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 4 Có 2 2 2 2 2 2 AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a ′ ′ = − = = = ⇒ = − = 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 IABC a V IH dt ABC a a a= = = ( đvtt) Ví d ụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2,AB a AD a SA a= = = và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) SAC vuông góc với mặt phẳng ( ) SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . Lời giải: +) Chứng minh ( ) ( ) SAC SMB⊥ . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3; 4 2 a a AC AB BC a a a BM AB AM a= + = + = = + = + = Gọi O AC BD= ∩ ;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm của tam giác ABD . Theo tính ch ất trọng tâm của tam giác ta có: 2 1 3 2 6 ; 3 3 3 3 3 a a AI AO AC BI BM= = = = = A M O B I H C C' B' A' www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 5 Nhận xét: 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a AI BI a AB+ = + = = , suy ra tam giác AIB vuông tại I . Do đó BM AI ⊥ (1) Mặt khác: ( ) SA ABCD⊥ nên SA BM⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) BM SAC ⊥ +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng ( )SAC vuông góc v ới đáy ( )ABCD ’’ Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: / / NO SA và 1 2 2 a NO SA= = Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB Diện tích tam giác đều AIB là: 2 1 1 3 6 2 . . 2 2 3 3 6 AIB a a a S AI BI= = = Thể tích khối tứ diện ANIB là: 2 3 1 1 2 2 . . 3 3 6 2 36 AIB a a a V S NO= = = N M I D C B A S O www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 6 Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với 3 , 2AB AC a BC a= = = . Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: D ấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ đó ta có lời giải sau: Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ) ABC và , , I H J lần lượt là hình chiếu của O trên , ,AB BC CA . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: , ,SI AB SJ AC SH BC⊥ ⊥ ⊥ Suy ra:    , ,SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( ) ( ) ( ) , ,SAB SAC SBC và mặt đáy Theo gi ả thiết ta có:    0 60SIO SJO SHO= = = Các tam giác vuông , ,SOI SOJ SOH bằng nhau nên OI OJ OH= = Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra , ,A O H thẳng hàng và H là trung điểm của BC Tam giác ABH vuông tại H , ta có: 2 2 2 2 9 2 2AH AB BH a a a= − = − = Diện tích tam giác ABC là: 2 1 1 . .2 .2 2 2 2 2 2 ABC S BC AH a a a= = = Ngoài ra: ABC S pr= , với ( ) 1 4 2 p AB AC BC a= + + = và r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC∆ . 2 2 2 2 4 2 ABC S a a r OH p a ⇒ = = = = www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 7 Tam giác SOH vuông tại O , ta có: 0 6 tan 60 2 a SO OH= = Thể tích khối chóp SABC là: 3 2 1 1 6 2 3 . .2 2. 3 3 2 3 ABC a a V S SO a= = = Ví d ụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A 3,AB a AC a= = . Biết đỉnh 'C cách đều các đỉnh , ,A B C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (C’AC) bằng 6 15 a .Tính thể tích khối chóp ' 'A ABC theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng ( ' ')ABB A và mặt phẳng đáy ( )ABC . Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh 'C cách đều các đỉnh , ,A B C ⇔ ' ' 'C A C B C C= = ’’ J H I S O C B A N H M C C' B' A' I K B A www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 8 - Hạ ' ( ) ' ' 'C H ABC C HA C HB C HC HA HB HC⊥ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ ⇔ = = Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . Ta có: /( ') /( ') 2 B ACC H ACC d d= . Hạ /( ') /( ') 1 3 , ' ( ') 2 15 H ACC B ACC a HM AC HN C M HN ACC d HN d⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = = . Ta có: 1 3 ' 3 2 2 a HM AB C H a = = ⇒ = từ đó tính được ' 2 .CC a= Có 3 ' ' 1 1 1 1 ' . ( ) . 3. . 3. 3 3 3 2 2 A ABC LT a V V C H dt ABC a a a= = = = - H ạ ' ( )A K ABC⊥ thì ' 'C HKA là hình chữ nhật . Gọi I HK AB = ∩ thì 1 / / 2 OI AC= suy ra I là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI AB ⊥ ⇒ Góc tạo bởi ( ' ')ABB A và đáy ( )ABC là  'A IK Ta có:  cos ' ' IK A IK A I = . Tính được  2 2 1 13 13 ; ' ' cos ' 2 2 2 ' 13 a a IK IK HK A I IK A K A IK A I = = = + = ⇒ = = Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành  0 2 , , 60AB a AD a BAD= = = SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng ( )SCD . Tính thể tích khối chóp SABCD biết 15 5 a HK = và điểm K nằm trong tam giác SCD Giải: Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở. D ấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là: ’’ SAB là tam giác đều Tức là ''SA SB= www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 9 Gọi E là trung điểm của ,CD F là trung điểm của ED Với giả thiết SA SB= ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( )ABCD thuộc đường thẳng chứa HF Hạ ( ) HK SF HK SCD ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 2 . ( ) 3 SABCD SHCD V V HK dt SCD= = Ta c ần tính diện tích tam giác SCD Ta có: 1 ( ) . ; 2 dt SCD SF CD= Mà 2 2 2 2 ; ;SF SK KF SK SH HK KF HF HK= + = − = − SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: 3,SH a HF= là đường cao tam giác đều HDE suy ra: 3 2 a HF = Thay số ta có: 3 15 10 a SF = Vậy: 3 2 . 3 1 3 15 3 . . .2 3 2 10 5 5 SABCD a a a V a= = 120° A H K E F D C B S www.VNMATH.com NGUY ỄN TRUNG KIÊN 10 Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a và   0 90SAB SCB= = . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . Gi ải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp. H ạ ( )SH ABCD⊥ vì ( ) AB SH AB SHA AB HA AB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Chứng minh tương tự ta có BC HC HABC ⊥ ⇒ là hình vuông. Ta có HC BC ⊥ kẻ ( ) 2 HK SC HK SBC HK a ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Mặt khác ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 . 6 HK HC SH a HK HC HS HC HK = + ⇒ = = − Thể tích khối chóp 2 3 1 1 3 6 . 6. 3 3 2 2 SABC ABC a a V SH S a ∆ = = = Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= = , 2SD a= và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: K S C B A H www.VNMATH.com [...]... = = SB a 3 3 3 2 3 =a a2 1 AB .( BC + AD ) 1 dt ( BCD ) = dt ( ABCD ) − dt ( ABD ) = − AB AD = ; 2 2 2 1 dt ( SCD ) = SC.CD = a 2 2 2 V( SHCD ) SH SC.SD 2 1 1.a 2.a 2 2 3 = = ;V( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = = a 3 3.2 6 V( SBCD ) SB.SC.SD 3 V( SHCD ) = 3V( SHCD ) 2 3 1 a 2 3 a 3 2 = = a Ta có d ( H /( SCD )) = dt ( SCD ) 9 9 a 2 3 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA... giải như sau: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và ABCD là SBA = 600 Ta có SA = SB.tan 60 = a 3 Từ đó suy ra SM = SA − AM = a 3 − a 3 2 3 SM SN 2 =a ⇒ = = 3 3 SA SD 3 Dễ thấy V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) ; V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 13 www.VNMATH.com ⇒ V( SMBCN ) V( SABCD ) = = V( SMBC ). .. ∩ BD ; do BD / / MN nên ta có: = = = ⇒ 3 CI CJ CK 3  CJ = CD   2 Vì P là trung điểm của SC nên ta có: d ( P, ( ABC ) ) = 1 d ( S , ( ABC ) ) 2 1 1 1 Do đó: VPCIJ = SCIJ d ( P, ( ABC ) ) = CI CJ sin BCD.d ( P, ( ABC ) ) 3 3 2 1 3 3 1 = CB CD.sin BCD d ( S , ( ABC ) ) 6 2 2 2 9 1  9 =  CB.CD.sin BCD.d ( S , ( ABC ) )  = VSABCD 16  3  16 VIBEM IB IE IM 1 1 1 1 = = = 3 2 3 18 VICPJ IC IP... ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P )) NGUYỄN TRUNG KIÊN 27 www.VNMATH.com Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình. .. = = V( SMBC ) + V( SMCN ) V( SABCD ) = V( SMCN ) 2V( SABC ) + V( SMCN ) 2V( SACD ) 1.SM SB.SC 1.SM SC.SN 1 2 5 + = + = 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD 3 9 9 1 1 2 3 3 Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a 2a = a 3 3 3 ⇒ V( SMBCN ) = 10 3 3 a 27 S N M D A O B C Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp... A' A = 2 2 Thay (2 ) ,(3 ) vào (1 ) ta có: VABCD A ' B 'C ' D ' = AM 2 − A ' M 2 = a 6 (3 ) 3 3a 2 9 2a 3 a 6 = 2 2 Ta có d N /(C ' MA) = d K /(C ' MA) với K là trung điểm của DD ' (Vì K và N đối xứng nhau qua trung điểm O của AC ' ) Từ K hạ KH vuông góc với AM thì 1 KH ⊥ ( AC ' M ) ⇒ d K /( C ' MA) = KH ; KH AM = dt ( AA ' D ' D ) − dt ( AA ' M ) − dt ( MD ' K ) − dt ( AKD ) 2 3 3a 1 3a 1 a 6 3a 1 a... dG /( SCD ) = d M /( SCD ) = d N /( SCD ) = d A /( SCD ) = d A /( SCD ) 3 3 3 3 4 2 Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với ( SAC ) Hạ AH vuông góc với SC thì AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d A /( SCD ) = AH = SA.SC SA2 + SC 2 =a (Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH = a ) Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến ( SCD ) thành bài toán cơ bản là tính khoảng cách từ A đến ( SCD... phẳng ( SCD ) (TSĐH D 200 7) HD giải: Cách 1: Dựa vào tam giác ∆SHA ∼ ∆SAB ⇒ SH SA SH SA2 2 = ⇒ = = SA SB SB SB 2 3 Ta sẽ tìm cách quy khoảng cách từ H đến ( SCD ) thành khoảng cách từ A lên ( SCD ) Ta có d H /( SCD ) = 2 1 1 1 d B /( SCD ) Lại có BF = AF ⇒ d B /( SCD ) = d A /( SCD ) ⇒ d H /( SCD ) = d A /( SCD ) 3 2 2 3 Tính được AC = CD = a 2 ⇒ ∆ACD vuông tại C Ta kẻ AC AS a AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒... M B 1 2a 3 Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM dt ( SAM ) = AM MS sin 600 = a 3 dt ( SAC ) 3 3.2 16 3V 1 1 13 3 39a 2 3a = ⇒ d ( B, ( SAC ) = ( SABC ) = CN AS = a a= 2 2 4 2 16 dt ( SAC ) 13 NGUYỄN TRUNG KIÊN 22 www.VNMATH.com Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 , gọi H là hình chiếu của A lên... bên AA′ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA′B′C ′ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B ' C (TSĐH D200 8) HD giải V ( ABCA′B′C ) = S h = a 3 2 2 Tính khoảng cách Gọi N là trung điểm của BB ' ta có B ' C song song với ( AMN ) Từ đó ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))  BK ⊥ AM 1 1 1 1 1 1 Kẻ  mà ⇒ BH ⊥ ( AMN ) Ta có: = + = + 2 2 2 . NGUY ỄN TRUNG KIÊN 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong. NGUY ỄN TRUNG KIÊN 2 ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B h= Ph ần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại. rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính