Sở giáo dục và đào tạo Bình định Tr-ờng THPT An nhơn I Th.s Tô Văn Chánh Sáng kiến kinh nghiệm một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán cực trị An nhơn - 2010 1 Mục Lục 0.1. Mở đầu 2 0.2. Nội dung 3 0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra 3 0.2.2 . Ph-ơng pháp cân bằng hệ số 6 0.2.3. Thêm, ghép, tách một biểu thức 13 0.2.4. Biến đổi đồng bậc 17 0.2.5 . Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều 20 0.2.6. Đổi biến 22 0.2.7. Đ-a về bất đẳng thức một biến 26 0.2.8 . Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số 29 0.3. Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 2 0.1. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Có nhiều cách giải một bài toán cực trị. Trong ch-ơng trình THPT học sinh chỉ học bất đẳng thức Côsi. Vì vậy trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh những bài toán cực trị thông th-ờng chỉ áp dụng bất đẳng thức Côsi. Mặt khác bài toán cực trị là một bài toán khó đối với học sinh nên học sinh ngại học bất đẳng thức. Vấn đề đặt ra là làm cho học sinh hiểu và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Côsi. Do đó tôi chọn đề tài một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị để giúp cho học sinh giải quyết thành thạo vấn đề trên trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đây cũng là tài liệu để giáo viên dạy cho học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học và bồi d-ỡng học sinh giỏi và cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. 2. Mục đích, phạm vi và ph-ơng pháp nghiên cứu Thông qua giảng dạy học sinh lớp 10, dạy luyện thi đại học và bồi d-ỡng học sinh giỏi, qua s-u tầm nghiên cứu các đề thi tuyển sinh Đại học, đề thi học sinh giỏi, giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh. Qua đó tôi tổng kết đ-ợc một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị. Mục đích của đề tài làm sao đ-a ra các ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị giảng dạy cho học sinh có hiệu quả nhất Trong khuôn khổ của đề tài, dù biết rằng không thể đề cập hết các ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị, nh-ng tôi vẫn hy vọng đây là một tài liệu giảng dạy bổ ích cho học sinh và cũng là tài liệu bổ ích cho thầy cô giáo. Mặc dù đã cố gắng hết sức, nh-ng khả năng và thời gian có hạn, chắc chắn đề tài có nhiều thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp trong tổ góp ý kiến để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn và đ-ợc áp dụng rộng rãi cho giáo viên và học sinh của tr-ờng. 3 0.2. Nội dung 0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra Bài toán 0.1. Cho các số không âm a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b 3 + c 3 , biết rằng a. a + b + c =3 b. a + b + c =1 Chứng minh. a. Ta có: a 3 +1+1 3a b 3 +1+1 3b c 3 +1+1 3c Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1. b. Ta có: a 3 + 1 27 + 1 27 1 3 a b 3 + 1 27 + 1 27 1 3 b c 3 + 1 27 + 1 27 1 3 c Suy ra min P = 1 9 , khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 . Nhận xét: Chắc hẳn, đối với học sinh khi đọc qua cách giải trên sẽ thắc mắc rằng: tại sao câu a thì ta thêm vào số 1 để đánh giá, còn câu b thì ta thêm vào số 1 27 để đánh giá; đó là do trong câu a, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1a = b = c = 1 3 ; còn lý do vì sao ta thêm vào hai số nh- vậy là để Côsi ba số thì a 3 tính đ-ợc qua a. Để minh họa cách giải trên ta xét tiếp bài toán sau: Bài toán 0.2. Cho các số không âm a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b 3 + c 3 , biết rằng a. a 2 + b 2 + c 2 =3 b. a 2 + b 2 + c 2 =1 4 Chứng minh. a. Ta có: a 3 + a 3 +1 3a 2 b 3 + b 3 +1 3b 2 c 3 + c 3 +1 3c 2 Suy ra min P =3, khi và chỉ khi a = b = c =1. b. Ta có: a 3 + a 3 + 1 3 3 a 2 b 3 + b 3 + 1 3 3 b 2 c 3 + c 3 + 1 3 3 c 2 Suy ra min P = 1 3 , khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 3 . Nhận xét: Lý do thêm số 1 và số 1 3 3 là để đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, còn ở bài toán này ta chỉ thêm một số 1 và hai số a 3 là để Côsi ba số thì ta tính đ-ợc a 3 theo a 2 . Ngoài ra, ta còn tách một số hạng thành nhiều số hạng để đảm bảo đẳng thức xảy ra. Ta xét bài toán sau: Bài toán 0.3. (Thi học sinh giỏi tỉnh, khối 11, năm học 2003-2004) Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x 2005 + y 2005 + z 2005 =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2 Chứng minh. Phân tích - Dự đoán đẳng thức xảy ra: x = y = z =1 - Cần đánh giá x 2005 qua x 2 . Do đó biểu thức thêm vào để đánh giá qua x 2 và để đẳng thức xảy ra: 2x 2005 ,và2003 số 1. 2x 2005 + 2003.1 2005x 2 . 2y 2005 + 2003.1 2005y 2 . 2z 2005 + 2003.1 2005z 2 . 5 Cộng ba bất đẳng thức này ta đ-ợc: P 3. Suy ra max P =3, đẳng thức xảy ra x = y = z =1. Tổng quát ta có bài toán sau Bài toán 0.4. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x n +y n +z n =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x k + y k + z k , với 0 <k<n. Bài toán 0.5. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x n +y n +z n =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x m + y m + z m , với m>n. Bài toán 0.6. Cho ba số không âm x, y, z thõa mãn điều kiện: x+2y +3z 14. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =6x +8y +9z + 4 x + 16 y + 27 z . Chứng minh. Ta có: P =2(x +2y +3z)+(4x + 4 x )+4y +( 16 y )+(3z + 27 z 28 + 8 + 16 + 18 = 70 Suy ra min P =70 x =1,y =2,z =3. Nhận xét: Do đẳng thức xảy ra x =1,y =2,z =3nên ta ghép 4x với 4 x ,để đẳng thức xảy ra khi hai số này bằng nhau và bằng 4. T-ơng tự cho các số 4y và 16 y . 3z và 27 z . Qua các bài toán mở đầu trên, ta thấy để chứng minh một bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Côsi ta phải: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào Thêm vào một biểu thức thích hợp Tách một số hạng thành nhiều số hạng. Ta xét thêm bài toán một: Cho các số không âm a, b, c: a + b + c =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 + b 3 + c 3 . 6 ở đây hệ số của a, b, c bằng nhau; còn nếu bài toán yêu cầu: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ka 3 + lb 3 + mc 3 thì bài toán trở nên phức tạp hơn vì các hệ số của a, b, c khác nhau. Trong tr-ờng hợp này ta phải cân bằng các hệ số. Bây giờ ta xét các bài toán dạng này 0.2.2. Ph-ơng pháp cân bằng hệ số Bài toán 0.7. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 3 +64y 3 + z 3 . Chứng minh. Gọi k, l > 0 và do hệ số x, z nh- nhau, nên ta phân tích x 3 +64y 3 + z 3 =(x 3 + k 3 + k 3 ) + (64y 3 + l 3 + l 3 )+(z 3 + k 3 + k 3 ) 4k 3 2l 3 3k 2 x +12l 2 y +3k 2 z 4k 3 2l 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = z = k,4y = l, x + y + z =1,k 2 =4l 2 . Suy ra: 2k + l 4l =1,k =2l. Từ đó ta có k = 8 17 ,l = 4 17 Suy ra min P = 5120 4913 x = z = 8 17 ,y = 4 17 Bài toán 0.8. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x 3 + y 3 + z 3 =10. Tìm giá trị lớn nhất của P = x +4y + z. Chứng minh. Gọi k, l > 0 và do hệ số x, z nh- nhau, nên ta phân tích x 3 + y 3 + z 3 =(x 3 + k 3 + k 3 )+(y 3 + l 3 + l 3 )+(z 3 + k 3 + k 3 ) 4k 3 2l 3 3k 2 x +3l 2 y +3k 2 z 4k 3 2l 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = z = k,y = l, x 3 + y 3 + z 3 =10, 4k 2 = l 2 . Suy ra: k =1,l=2. Suy ra max P =10 x = z =1,y =2 Bài toán 0.9. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x 2 + y 2 + z 2 = 129. Tìm giá trị lớn nhất của P = x 3 +8y 3 + z 3 . 7 Chứng minh. Do vai trò x, z nh- nhau, nên ta phân tích 2(x 3 +8y 3 + z 3 )=x 3 + x 3 + k 3 +(2y) 3 +(2y) 3 + l 3 + z 3 + z 3 + k 3 2k 3 l 3 3kx 2 +3.4.ly 2 +3kz 2 2k 3 l 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = z = k,2y = l, x 2 + y 2 + z 2 = 129,k =4l. Suy ra: k =8,l =2. Suy ra max P = 1088 x = z =8,y =1. Bài toán 0.10. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =10a 2 +10b 2 + c 2 Chứng minh. Ta tách 10 = x + (10 x), x>0: (10 x)a 2 + c 2 2 2(10 x)ac (10 x)b 2 + c 2 2 2(10 x)bc xa 2 + xb 2 ) 2xab Cộng ba bất đẳng thức: 10(a 2 + b 2 )+c 2 2(10 x)(ac + bc)+2xab Ta chọn x, sao cho 2x = 2(10 x). Suy ra x =2 Từ đó ta có cách giải sau: 8a 2 + c 2 2 4ac 8b 2 + c 2 2 4bc 2a 2 +2b 2 ) 4ab Cộng ba bất đẳng thức: 10(a 2 + b 2 )+c 2 4(ab + bc + ca)=4 Suy ra P =10a 2 +10b 2 + c 2 4 Do đó: min P =4khi a = b = 1 3 ,c = 4 3 Tổng quát ta có bài toán sau Bài toán 0.11. Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xa 2 + xb 2 + c 2 ,x> 0 8 Chứng minh. Ta tách x = y +(x y), y>0: (x y)a 2 + c 2 2 2(x y)ac (x y)b 2 + c 2 2 2(x y)bc ya 2 + yb 2 ) 2yab Cộng ba bất đẳng thức: x(a 2 + b 2 )+c 2 2(x y)(ac + bc)+2yab Ta chọn y, sao cho 2y = 2(x y). Suy ra 2y 2 + y = x, y = 1+ 1+8x 4 Suy ra P = xa 2 + xb 2 + c 2 1+ 1+8x 2 Do đó: min P = 1+ 1+8x 2 Bài toán 0.12. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3. Tìm giá trị lớn nhất của P = xy +2 yz + zx. Chứng minh. Do vai trò y, z nh- nhau, nên ta phân tích xy +2 yz + zx = kx 1 k y +2 yz + 1 l zlx ( kx + 1 k y 2 )+(y + z)+ lz + 1 l x 2 ) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi kx = 1 k y, y = z, 1 l z = lz, x + y + z =3. Suy ra k = 3 1,l = 3+1 2 Vậy max P = 3( 3+1) 2 Bài toán 0.13. Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x 2 + y 2 + z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của P =6xy +6yz + zx Chứng minh. Ta có hệ số của x, z bằng nhau nên 6xy =6ax 1 a y 36a 2 x 2 + 1 a 2 y 2 2 6yz =6az 1 a y 36a 2 z 2 + 1 a 2 y 2 2 zx z 2 + x 2 2 9 Chọn a, sao cho 1+36a 2 = 2 a 2 . Suy ra a = 2 3 . Cộng ba bất đẳng thức: max P = 9 2 x = z = 3 22 ,y = 4 22 Tổng quát ta có bài toán sau: Bài toán 0.14. Cho các số d-ơng x, y, z thõa mãn x 2 + y 2 + z 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất của P = kxy + kyz + zx Chứng minh. Ta có hệ số của x, z bằng nhau nên kxy = kax 1 a y k 2 a 2 x 2 + 1 a 2 y 2 2 kyz =6az 1 a y k 2 a 2 z 2 + 1 a 2 y 2 2 zx z 2 + x 2 2 Chọn a, sao cho 1+k 2 a 2 = 2 a 2 . Suy ra a = 1+ 1+8k 2 2k 2 . Cộng ba bất đẳng thức: max P = k 2 a 2 +1 2 . Bài toán 0.15. Cho ba số d-ơng a, b, c, d sao cho ab + bc + cd + da =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =5a 2 +4b 2 +5c 2 + d 2 Chứng minh. Ta tách 5=x +(5 x), x>0: xa 2 +2b 2 2 2xab 2b 2 + xc 2 2 2xbc (5 x) c 2 + d 2 2 2(5 x)cd (5 x) a 2 + d 2 2 2(5 x)da Cộng bốn bất đẳng thức: 5a 2 +4b 2 +5c 2 +d 2 2 2x(ab + cd)+ 2(5 x)( cd +da) Ta chọn x, sao cho 2 2x = 2(5 x). Suy ra x =1 Suy ra: min P =5a 2 +4b 2 +5c 2 + d 2 =2 2 a 2 = c 2 = 1 5 2 ,b 2 = 1 10 2 ,d 2 = 4 2 5 . Bài toán 0.16. Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + y 2 + z 3 . [...]... một biến Trong nhiều bài toán vai trò các tham số có mặt trong bất đẳng thức nh- nhau Trong tr-ờng hợp này ta đ-a bài toán về bài toán chứng minh bất đẳng thức một biến Sau đó ta thay biế x bởi các tham số có mặt trong bài toán, để minh họa ph-ơng pháp này ta xét các bài toán sau 1 2 1 1 1 Chứng minh + + 27 a(2b + 2c 1) b(2c + 2a 1) c(2a + 2b 1) Bài toán 0.85 Cho 0 < a, b, c < , sao cho a + b +... pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị 2 Hiệu quả sử dụng: học sinh sử dụng thành thạo, chứng minh đ-ợc nhiều bất đẳng thức nên kết quả học sinh của tr-ờng trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi đại học đều làm đ-ợc bài toán cực trị Do đó hằng năm học sinh của tr-ờng đều đạt học sinh giỏi cấp tỉnh Kết quả trong năm có 9 học sinh đạt học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó có hai học... giá trị lớn nhất biểu thức Bài toán 0.99 y2 y z x + + x+1 y+1 z+1 Cho ba số d-ơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 + z 2 = 12 1 1 1 + + 3 3 y+1 x+1 z+1 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 3 Bài toán 0.100 Cho ba số d-ơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + 2zx + 3yz = 2010xyz Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 4 4 3 + + y+zx z+xy x+yz 32 0.3 Kết luận 1 Đề tài đã tập trung sử dụng một số ph-ơng pháp sử dụng bất. .. minh Bài toán 0.55 3 b c3 1 a + + b + 2c c + 2a a + 2b 3 Bài toán 0.56 3 Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c = 1 Chứng minh b3 c3 1 a3 + + 2 2 2 (c + a) (c + a) (c + a) 4 20 Bài toán 0.57 Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1 Chứng minh 2 a b2 c2 a+b+c + + 2 2 2 4 1+a 1+b 1+c 0.2.5 Kỷ thuật Côsi ng-ợc chiều Nhiều bài toán nếu ta sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta đ-ợc bất đẳng thức. .. 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = Bài toán 0.33 xy + yz + 3 xyz x + xy + 3 xyz Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = x + yz Bài toán 0.34 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = 2x + 3y 2 + 4yz Trong nhiều bài toán cực trị ta gặp những bài toán dạng phân thức Trong tr-ờng hợp này ta cần thêm vào biểu thức thích... x = y = z 1 1 1 + + x y z , (4) Bốn bất đẳng thức trên th-ờng đ-ợc sử dụng, ta tam gọi là bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số 0.2.8 Bất đẳng thức đồng bậc cộng mẫu số Bài toán 0.92 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2005-Khối A Cho ba số d-ơng x, y, z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 + + = 4 Chứng minh x y z 1 1 1 + + 1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Chứng minh Từ bất đẳng thức (2): 1 1 1 2x + y + z (x + y)... thức ng-ợc chiều với bài toán đã cho trong tr-ờng hợp này ta biến đổi dấu tr-ớc biểu thức cần Côsi để đ-ợc bất đẳng thức cùng chiều Bài toán 0.58 Cho ba số d-ơng a, b, c sao cho a + b + c = 3 Chứng minh b c 3 a + + 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 Chứng minh Phân tích: Nếu ta sử dụng Côsi thì ta đuợc bất đẳng thức ng-ợc chiều: b c 3 b c a a + + ? + + 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2b 2c 2a 2 Đối các bài toán này ta có thể... a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + + b+c c+a a+b Bài toán 0.83 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài toán 0.84 3 2 Cho các số d-ơng a, b, c thõa mãn điều kiện a + b + c 3+ 1 1 + a b 3+ 1 1 + b c 3+ 1 1 + c a Cho các số d-ơng a, b, c thõa mãn điều kiện a + b + c = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a + 1 + 3b + 1 + 4c + 1 0.2.7 Đ-a về bất đẳng thức một biến Trong nhiều bài toán vai trò... cos = 3 21 21 21 Bài tập Bài toán 0.21 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của P = 2xy + 3yz + 4zx Bài toán 0.22 Cho bốn số d-ơng a, b, c, d sao cho a + b + c + d = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3 + 8b3 + 8c3 + d3 12 Bài toán 0.23 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = x(y + z) Bài toán 0.24 Cho các số d-ơng x, y, z... Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + 16yz + zx Bài toán 0.25 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y 4 + z 6 Bài toán 0.26 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x3 + 8y 3 + 8z 3 Bài toán 0.27 Cho các số d-ơng x, y, z sao cho x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = x2 + 4y 2 + z 2 Bài toán 0.28 Cho các số d-ơng . kết đ-ợc một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị. Mục đích của đề tài làm sao đ-a ra các ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị giảng. vận dụng thành thạo bất đẳng thức Côsi. Do đó tôi chọn đề tài một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các bài toán cực trị để giúp cho học sinh giải quyết thành thạo vấn đề trên trong. nghiệm một số ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán cực trị An nhơn - 2010 1 Mục Lục 0.1. Mở đầu 2 0.2. Nội dung 3 0.2.1. Sử dụng điều kiện đẳng thức xảy ra 3 0.2.2 . Ph-ơng pháp