1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Phần một: Các dạng hệ cơ bản I . Hệ phương trình ñối xứng. 1.Phương trình ñối xứng loại 1. a)Định nghĩa Một hệ phương trình ẩn x, y ñược gọi là hệ phương trình ñối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta ñổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình ñó không ñổi b) Tính chất Nếu ( ) 00 , yx là m ộ t nghi ệ m thì h ệ ( ) 00 ,xy c ũ ng là nghi ệ m c) cách gi ả i    = += yxP yxS . ñ i ề u ki ệ n PS 4 2 ≥ Ta bi ế n ñổ i ñư a h ệ ñ ã cho (1) v ề h ệ 2 ẩ n S, P (2) (x;y) là nghi ệ m c ủ a (1) khi và ch ỉ khi (S,P) là 1 nghi ệ mc c ủ a (2) tho ả i mãn ñ i ề u ki ệ n: 04 2 ≥− PS v ớ i m ỗ i (S;P) tìm ñượ c ta có (x;y) là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 0 2 =+− PSXX . Gi ả s ử ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m là X 1 , X 2 . + N ế u 0 > ∆ thì 21 XX ≠ nên h ệ (1) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t ( ) 21 ; XX ; ( ) 12 ; XX + N ế u 0 = ∆ thì 21 XX = nên h ệ có nghi ệ m duy nh ấ t ( ) 21 ; XX . + H ệ có ít nh ấ t m ộ t nghi ệ m tho ả mãn 0 ≥ x khi và ch ỉ khi h ệ (2) có ít nh ấ t 1 nghi ệ m (S;P) tho ả mãn.      ≥ ≥ ≥−=∆ 0 0 04 2 P S PS VD 1: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình    =++ =++ 5 7 22 xyyx xyyx H ệ có nghi ệ m là (1;2), (2;1) VD2: Đị nh m ñể h ệ sau có nghi ệ m    =+ =++ myx mxyyx 22 Đ S: 80 ≤ ≤ m 2) Hệ phương trình ñối xứng loại 2 . -M ộ t h ệ ph ươ ng trình 2 ẩ n x, y ñượ c g ọ i là ñố i x ứ ng lo ạ i 2 n ế u trong h ệ ph ươ ng trình ta ñổ i vai trò x, y cho nhau thì ph ươ ng trình tr ở thành ph ươ ng trình kia. VD:      =+ =+ xxyy yyxx 10 10 23 23 b) Tính ch ấ t. - N ế u ( ) 00 ; yx là 1 nghi ệ m c ủ a h ệ thì ( ) 00 ;xy c ũ ng là nghi ệ m c) Cách gi ả i 2 - Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược một phương trình có dạng ( ) ( ) [ ] 0; =− yxfyx ( )    = =− 0; 0 yxf yx Ví dụ : Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau: 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 x x y y y x  = +   = +   HD: Tr ừ hai ph ươ ng trình c ủ a h ệ ta thu ñượ c 3 3 2 2 2 2 3( ) ( ) ( )[3( ) ] 0 x y x y x y x y xy x y − = − − ⇔ − + + + + = H ệ ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i 3 2 2 2 2 3 2 2 0 ( ) 3 2 3( ) 0 ( ) 3 2 x y I y y x x y xy x y II y y x  − =    = +     + + + + =     = +    Gi ả i (I) ta ñượ c x=y=0 ho ặ c x=y=1 Xét (II) T ừ gi ả thi ế t ta suy ra x, y không âm . N ế u x, y d ươ ng thì h ệ vô nghi ệ m suy ta h ệ có nghi ệ m duy nh ấ t x=y=0 K ế t lu ậ n: H ệ có 2 nghi ệ m x=y=0 và x=y=1 3) Hệ phương trình vế trái ñẳng cấp bậc II a) Các d ạ ng c ơ b ả n. . 2 2 2 2 1 1 1 1 ax bxy cy d a x b xy c y d  + + =   + + =   b) Cách gi ả i. + Xét tr ườ ng h ợ p y=0 xem có ph ả i là nghi ệ m hay không + Đặ t x=ty thay vào h ệ r ồ i chia 2 ph ươ ng trình c ủ a h ệ cho nhau ta ñượ c ph ươ ng trình b ậ c 2 theo t. Gi ả i ph ươ ng trình tìm t sau ñ ó th ế vao m ộ t trong hai ph ươ ng trình c ủ a h ệ ñể tìm x,y Ph ươ ng pháp này c ũ ng ñ úng khi v ế trái là ph ươ ng trình ñẳ ng c ấ p b ậ c n. Ví dụ: Gi ả i h ệ 2 2 2 2 3 1 2 2 1 x xy y x xy y  − + = −   + − =   + D ễ th ấ y y=0 không ph ả i là nghi ệ m + Đặ t x=ty th ế vào h ệ ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 1 t y ty y t y ty y  − + = −   + − =   chia 2 ph ươ ng trình c ủ a h ệ cho nhau ta có 2 2 2 1 3 1 1 2 1 0 1 1 2 2 2 2 t x y t t t t t t t x y = =   − +   = − ⇔ − − = ⇒ ⇔   + − = − = −   t ừ ñ ó th ế hai tr ườ ng h ợ p vào m ộ t trong hai ph ươ ng trình c ủ a h ệ ñể gi ả i. 3 PHẦN HAI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯỜNG DÙNG TRONG GIẢI HỆ I) PHƯƠNG PHẤP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp này chủ yếu là dùng các kỹ năng biến ñổi phương trình cuả hệ ñể dưa về phương trình ñơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại ñể thế vào phương trình khác của hệ Ta xét ví dụ sau: Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc ẩn y. Khi ñó ta rút x theo y hoặc y theo x ñể thế vào phương trình còn lại Ví dụ 1) Giải ghệ phương trình 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1(1) 1 (2) x y x y x x xy y x  + + + = − +   + + =   HD: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) từ phương trình (2) ta có 2 1 1 x y x − + = thay vào phương trình (1) ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 2 1 1 3 4 1 1 2 2 1 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x    − − + = − + ⇔ − + − − = − −       ( ) ( ) 3 2 1 2 2 4 0 x x x x ⇔ − + − = Ví dụ 2) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 5 3 4 x y xy x y xy x y xy x y xy  + + + =   + + − =   Giải: Ta có x=y=0 là nghiệm. Các cặp số (x,y) với x=0, y ≠ 0 hoặc x ≠ 0, y=0 không là nghiệm. Xét xy ≠ 0. chia 2 vế phương trình cho xy ≠ 0 ta ñược 1 1 2 5 1 1 3 4 x y x y x y x y  + + + =     + + − =   Suy ra 1 1 5 2 4 3 2 1 x y y x x y x y − − = + = + − ⇔ = − Thay x=2y-1 vào ph ươ ng trình th ứ hai ta thu ñượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 5 3 4 2 1 3 1 10 11 3 8 4 y y y y y y y y y y y y y − + + − − = − ⇔ − + − + = − ( ) ( ) 3 2 2 10 19 10 1 0 1 10 9 1 9 41 9 41 1; ; 20 20 y y y y y y y y y ⇔ − + − = ⇔ − − + + − ⇔ = = = 4 Đáp số: ( ) 1; 1 9 41 41 1 ; 20 10 9 41 41 1 ; 20 10 y x y x y x = =   + − = =         + − − = =       Loại 2) Một phương trình của hệ có thể ñưa về dạng tích của 2 phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi ñó ta ñưa về giải 2 hệ phương trình tương ñương Ví dụ 1) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 2 2 2 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y  + + = −   − − = −   Đ i ề u ki ệ n là 0; 1 y x ≥ ≥ Ph ươ ng trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ừ ñ ó ta có 2 1 x y x y = −   = +  thay l ầ n l ượ t hai tr ườ ng h ợ p vào ph ươ ng trình (2) ñể gi ả i Ví dụ 2) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 2 2 1 (1) 1(2) x y x y x y x y  + + − = + −   + =   Giải: Đ i ề u ki ệ n 0 x y ≥ ≥ ( ) (1) ( 1) 1 0 x y x y ⇔ + − − − = H ệ ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i: 1 1 1 1 x y x y x y x y  + =     + =     − =      + =    gi ả i 1 1 0 1 x y x y x y + =  =   ⇔   = + =    và 0 1 x y =   =  gi ả i 1 1 0 1 x y x y x y − =  =   ⇔   = + =    Đ áp s ố : x=1,y=0 và x=0, y=1. Ví dụ 3) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 3 3 (1) 3(2) y x y x x x y x x −  + + + =    + + = +  Giải: Đ i ề u ki ệ n 0, 3 x y > ≥ Ta có: 3 3 (1) 3 y y x x y x − − ⇔ = + − +  V ớ i y=3 ta có 2 3 0 3 x x + = ⇔ = − (lo ạ i) 5  Với 3 y ≠ ta có 3 3 x y x x x y x x  + − + =   + + = +   Suy ra 3 3 x x x y x x + − = + = + + Suy ra 3 3 1 x x x + + = ⇔ = thay vào (2) ta ñược: 1 3 8 y y + = ⇔ = Đáp số: 1 8 x y =   =  Chú ý: Trong một số bài toán nhiều khi các em cần cộng hoặc trừ 2 phương trình của hệ sau ñó mới xuất hiện phương trình dạng tích Ví dụ 4) Giải hệ phương trình : ( ) 4 4 2 2 2 2 6 41 10 x y x y xy x y  + + =   + =   Giải: Sử dụng hằng ñẳng thức: ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 4 6 x y x y xy x y x y + = + + + + HD: Hệ ñã cho tương ñương với ( ) 4 4 2 2 2 2 6 41 4 40 x y x y xy x y  + + =   + =   cộng vế với vế 2 phương trình ta thu ñược: ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 4 6 81 81 3 x y xy x y x y x y x y + + + + = ⇔ + = ⇔ + = ± hệ ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 3 10 3 10 x y xy x y x y xy x y  + =     + =     + = −     + =     a) Xét ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 10 2 10 9 2 10 x y x y x y xy x y xy x y xy xy xy + =  + =  + =     ⇔ ⇔      + = − − = − =         b) Xét ( ) ( ) 2 2 3 3 10 9 2 10 x y x y xy x y xy xy + = −  + = −    ⇔   + = − =     Loại 3) Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn chẳng hạn x là ẩn. Khi ñó ta coi y như là tham số giải x theo y. Ví dụ 1) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 2 2 2 (5 4)(4 ) 5 4 16 8 16 0 y x x x y xy x y  = + −   − + − + − + =   ( ) ( ) 1 2 HD: Coi ph ươ ng trình (2) là ph ươ ng trình theo ẩ n y ta có (2) ⇔ y 2 –4(x+2)y- 5x 2 +16x+16=0 6 Giải y theo x ta có 5 4 4 y x y x = +   = −  thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình ta sẽ giải ñược các nghiệm của hệ Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 5 5 7 x xy y y xy x  + + =   + + =   Trừ hai phương trình của hê cho nhau ta có 2 2 2 5 2 0 x y xy y x − + + − + = ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 ( 5) 2 0; ( 5) 8( 2) (3 3) 2 2 y x x y x y y y y y y x y +  =  + − − + + = ∆ = − − − + + = − ⇒  = −  Thay lần lượt 2 trường hợp vào hệ ta giải ñược x, y II) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ẩn phụ u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau các phép biến ñổi Thông thường các phép biến ñổi thường xoay quanh việc cộng, trừ 2 phương trình của hệ hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ ñể tìm ra những phần chung mà sau ñó ta ñặt thành ẩn phụ Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 1 ( ) 4 1 2 x y y x y x y x y  + + + =   + + − =   (1) (2) HD: Ta thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y ta có hệ tương ñương sau 2 2 1 4 1 ( )( 2) 1 x x y y x x y y  + + + =    +  + − =   Đặt u= 2 1 x y + ; v=x+y-2 ta có h ệ sau 2 1 u v uv + =   =  Gi ả i h ệ tìm u,v sau ñ ó tìm x, y. Ví dụ 2) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) 2 2 2 3 4 4( ) 7 1 2 3 xy x y x y x x y  + + + =  +    + =  +  Đ i ề u ki ệ n x+y ≠ 0 Khi ñ ó ta có h ệ sau ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7 1 3 x y x y x y x y x y x y  + + − + =  +    + + + − =  +  Đặ t 1 ; u x y v x y x y = + + = − + V ớ i 2 u ≥ Thay vào ta có 2 2 3 13 3 u v u v  + =  + =  Gi ả i h ệ tìm u;v sau ñ ó thay vào tìm x; y 7 Ví dụ 3) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 0 2 3 3 0 x y x x y x y y xy y x  + + + + − + =   + + − − =   Giải: Hệ phương trình tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 1 2 1 2 3 1 x x y y x y y x  + + + =   + + = +   ñặt u=x+1 Ta có hệ mới 3 2 2 3 2 2 3 u uy y uy y u  + =   + =   Dễ thấy u=y=0 là một nghiệm Xét y 0 ≠ ñặt u=ty thế vào hệ sau ñó chia hai vế phương trình cho nhau ta ñược phương trình một ẩn t. ( Đây là một biến thể của hệ phương trình ñồng bậc) Ví dụ 4) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 18 1 208 x y xy xy x y x y x y  + + =   + + =   Giải: Ta có x=y=0 lànghiệm. Xét 0 xy ≠ . Hệ phương trình tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 18 1 1 208 x y xy x y x y    + + =           + + =       . Đặ t 1 1 ,u x v y x y = + = + ta ñượ c 2 2 18 208 u v u v + =   + =  Ví dụ 5) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) 1 1 5 1 4 x y xy xy xy    + + =         + =   Giải: Đ i ề u ki ệ n 0 xy ≠ . Đặ t 1 1 ,u x v y y x = + = + ta ñượ c h ệ 5 6 u v uv + =   =  Ví dụ 6) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 15 85 x y x y y x x y x y y x    + + =           + + =       Giải: Đặ t , x y u v x y y x = + = + .Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y u y x x y x y xy v xy + = − + = + − = − 8 2 2 2 2 . x y u u xy x y xy + = ⇔ = + Suy ra 2 2 . 2 2 v u xy v xy xy u = − ⇒ = + Suy ra 2 2 2 2 2 2 15 2 2 2 v uv v x y v u u u + = − = = + + + ( vì uv=15) Ta ñượ c h ệ ( ) 2 15 15 2 85 2 uv v u u =      − =    +    Ví dụ 7) Gi ả i h ệ : 2 2 2 4 1 1 3 x y y x xy x x xy y  + + =   + + =   Giải : Đ i ề u ki ệ n 0 xy ≠ . h ệ ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i 1 1 1 4 1 1 1 4 x x x y x x x y  + + + =         + + =           . Đặ t 1 1 1 ,u x v x x y = + = + ta ñượ c: 4 2 4 2 u v u uv v + = =   ⇔   = =   H ệ ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) 1 2 1, 1 1 1 2 x x x y x y  + =   ⇔ = =   + =   III) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại 1) Một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biết tập giá trị của x hoặc y. Từ ñó suy ra hàm f(x) ñơn ñiệu suy ra x=y Ví dụ 1) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 3 3 8 4 5 5 1 x x y y x y  − = −   + =   ( ) ( ) 1 2 T ừ ph ươ ng trình (2) ta suy ra , 1 x y ≤ Xét ph ươ ng trình 3 ( ) 5 f x x x = − v ớ i [ ] [ ] 2 1;1 ; '( ) 3 5 0 1;1 x f x x x∈ − = − < ∀ ∈ − nên f(x) là hàm ngh ị ch bi ế n suy ra x=y thay vào ph ươ ng trình (2) ta d ễ dàng gi ả i ñượ c nghi ệ m Loại 2) Hệ ñối xứng mà sau khi biến ñổi thừơng ñưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=0 trong ñó f là hàm ñơn ñiệu Ví dụ 1) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y − −  + − + = +   + − + = +   9 HD: Đặt x-1=u; y-1=v ta có hệ 2 2 1 3 1 3 v u u u v v  + + =   + + =   Trừ theo vế hai phương trình trên ta ñược 2 2 1 3 1 3 u v u u v v + + + = + + + Xét hàm số 2 2 ( ) 1 3 ; '( ) 1 3 ln3 0 1 x x x f x x x f x x x = + + + = + + > ∀ + u v ⇒ = . Thay vào (1) ta có ( ) 2 2 1 3 ln 1 ln3 u u u u u u+ + = ⇔ + + = ; 2 ( ) ln( 1) ln3 f u u u u= + + − ta có 2 2 2 1 1 1 '( ) ln3 ln3 0 1 1 u u f u u u u u + + = − = − < ∀ + + + ( ) f u ⇒ là hàm s ố ngh ị ch bi ế n. Ta có khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi ệ m duy nh ấ t ⇒ x=y=1 là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a h ệ ban ñầ u Ví dụ 2) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau: ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 log log 2011 1 2 y x x x y y x y x y x  − + = − −     − −   + = −      − −      Giải: Đặ t y=u-1 thay vào ph ươ ng trình (1) c ủ a h ệ ta có 3 2 3 2 3 3 x x u u − = − . Ta th ấ y bài toán xác ñị nh khi 0 1 0 2 2 1 y x x y  < <    < <    >    >    Trong c ả hai tr ườ ng h ợ p ta th ấ y hàm s ố 3 2 ( ) 3 '( ) 3 ( 2) f x x x f x x x = − ⇒ = − luôn ñơ n ñ i ệ u nên Ta có 1 x u x y = ⇔ = + thay vào ph ươ ng trình (2) c ủ a h ệ ta có x=2011 là nghi ệ m. Chú ý: Trong bài t ậ p này ta c ũ ng có th ể bi ế n ñổ i tr ự c ti ế p ph ươ ng trình ñầ u c ủ a h ệ v ề d ạ ng ( ) 3 3 2 2 3 1 3( 1) x x y y − = + − + Ví dụ 3) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau: ( ) 2 2 2 4 1 ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =   + + − =   HD: Đặ t 2 5 5 2 2 t y t y − − = ⇒ = thay vào ph ươ ng trình (1) c ủ a h ệ ta có 2 3 3 3 5 4 (3 ) 8 2 2 t x x t x x t t − + = − ⇔ + = + Xét 3 2 ( ) '( ) 3 1 f x x x f x x = + ⇒ = + suy ra hàm s ố ( ) f x luôn ñồ ng bi ế n t ừ ñ ó suy ra 2 5 4 2 5 2 2 2 x t x y x y − = ⇔ − = ⇔ = th ế vào ph ươ ng trình (2) c ủ a h ệ ta có 10 2 2 2 5 4 ( ) 4 2 3 4 7 0 2 x g x x x   − = + + − − =     với 3 0; 4 x   ∈     . Dễ thấy x=0 hoặc x=3/4 ñều không phải là nghiệm 2 2 5 4 4 '( ) 8 8 2 4 (4 3) 0 2 3 4 3 4 g x x x x x x x x   = − − − = − − <   − −   với 3 0; 4 x   ∈     Ta có 1 1 ( ) 0 ; 2 2 2 g x y = ⇒ = = là nghiệm duy nhất của hệ. IV) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm trong hệ, qua ñó vận dụng các bất ñẳng thức ñể ñánh giá Ví dụ 1) Giải hệ phương trình 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = +  − +    + = +  − +  HD:Cộng 2 vế của hai phương trình với nhau ta có 2 2 3 2 2 3 2 2 2 9 2 9 xy xy x y x x y y + = + − + − + Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ Có 3 2 2 2 2 3 2 9 ( 1) 8 2 2 ; 2 2 x x x VT xy x y xy VP xy − + = − + ≥ ⇒ ≤ + ≥ ⇒ ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1 Kết luận: Hệ có 2 ngiệm x=y=0 và x=y=1 Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau 3 3 3 4 2 6 2 y x x x y y  = − + +   = − −   Hệ ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( 1) ( 2) 2 2 1 ( 2) y x x x y y  − = − + −   − = + −   ( ) 1 (2) Nếu y > 2 từ (1) suy ra x<2. Nhưng ñiều này là vô lý vì (2) vô nghiệm Lập luận tương tự cho trường hợp y<2 Kết luận x=y=2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau: 2 4 7 2 4 7 (1 )(1 )(1 ) 1 (1 )(1 )(1 ) 1 x x x y y y y x  + + + = +   + + + = +   HD: Dễ thấy x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm Xét x>0 ta có 2 4 2 3 4 5 6 7 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 7 (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x y x y y y y y y y x x x x x x y y x y + + + = + + + + + + + > + ⇒ > ⇒ + + + + + + + > + + + + + + + > + ⇒ > Vậy hệ vô nghiệm. Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm Xét x<-1 7 1 0 1 0 1 x y y ⇒ + < ⇒ + < ⇒ < − [...]...Ta có 1 + ( x + x 2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x Tương t khi yy V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1 . biến ñổi phương trình cuả hệ ñể dưa về phương trình ñơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại ñể thế vào phương trình khác của hệ Ta xét ví dụ sau: Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc. y 0 ≠ ñặt u=ty thế vào hệ sau ñó chia hai vế phương trình cho nhau ta ñược phương trình một ẩn t. ( Đây là một biến thể của hệ phương trình ñồng bậc) Ví dụ 4) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2. là khi 2 phương trình của hệ có thể ñưa về dạng phương trình cùng bậc so cới x,y thì ta ñặt x=ty sau ñó ñưa về phương trình một ẩn số và giải như bình thường Ví dụ1) Giải hệ phương trình sau 2