www.k2pi.net DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www.k2pi.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC 2014 Hà Nội, tháng 1 năm 2014 www.k2pi.net Mục lục Lời nói đầu 3 1 Tuyển tập các bài toán 4 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Từ câu 41 đến câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Từ câu 61 đến câu 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Từ câu 81 đến câu 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6 Từ câu 101 đến câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.7 Từ câu 121 đến câu 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.8 Từ câu 141 đến câu 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.9 Từ câu 161 đến câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.10 Từ câu 181 đến câu 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.11 Từ câu 201 đến câu 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.12 Từ câu 221 đến câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.13 Từ câu 241 đến câu 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1.14 Từ câu 261 đến câu 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2 Bài tập tự luyện 144 www.k2pi.net Trang 2 www.k2pi.net Lời nói đầu Phương trình vô tỷ là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng. Dù nhiều khi nó không trực tiếp xuất hiện mà ẩn đằng sau những hệ phương trình, bất phương trình. Đây là câu phân loại học sinh rất tốt. Ta cũng biết rằng với sự sáng tạo không ngừng của những người học toán. Phương trình vô tỷ xuất hiện rất nhiều trên các diễn đàn, trên Google với những hình thức, ý tưởng mới mẻ và đặc sắc Topic Phương trình vô tỷ ôn thi Đại học 2014 do anh Phạm Kim Chung lập ra nhằm là nơi trao đổi, thảo luận các bài toán phương trình vô tỷ phục vụ cho việc ôn thi Đại học. Nó đã rất thành công khi rất nhiều bài toán đặc sắc được đưa ra thảo luận. Xin cảm ơn các thành viên đã tham gia thảo luận, đã đưa ra những bài toán đặc sắc cùng những lời giải ấn tượng Bản tổng hợp chia làm 2 phần chính, phần 1 là tuyển tập các bài toán cùng những lời giải, phần 2 là những bài tập rèn luyện cho bạn đọc. Bố cục của bản tuyển tập được trình bày rất công phu và khiến chúng ta cảm tưởng như đọc một cuốn sách vậy. Bạn đọc hoàn toàn có thể kích vào đường dẫn trong Mục lục để nhảy đến nơi cần xem. Quá thuận lợi phải không ? Tuyển tập được hoàn thành và ra mắt vào những này cuối tháng 1 năm 2014, tức là những ngày cuối của năm Quý Tỵ. Năm mới, năm Giáp Ngọ đang đến rất gần. Xin mạn phép thay mặt BQT diễn đàn k2pi, chúc anh chị em trên diễn đàn cùng bạn đọc một năm mới an khang thịnh vượng, vạn sự như ý, cùng đón một cái Tết thật ấm áp bên gia đình. Người tổng hợp Nguyễn Minh Tuấn (Popeye) Sinh viên K62CLC Khoa Toán Tin - Đại Học Sư Phạm Hà Nội www.k2pi.net Trang 3 www.k2pi.net Chương 1 Tuyển tập các bài toán 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 Giải phương trình sau : 2x − 3 + 3x − 1 √ 3 − 2x 2 + 2 − x = 0 ♥ Bài 1 ♥ Lời giải Điều kiện −  3 2 ≤ x ≤  3 2 . Có dạng phân thức thử nghĩ đến nhân liên hợp xem sao? Phương trình được viết lại dưới dạng 2x − 3 + (3x − 1)  √ 3 − 2x 2 − 2 + x  −3x 2 + 4x − 1 = 0 ⇔ 2x − 3 + √ 3 − 2x 2 + x − 2 1 − x = 0 ⇔  3 − 2x 2 − 2x 2 + 6x − 5 = 0 ⇔  3 − 2x 2 = 2x 2 − 6x + 5 Nhẩm được nghiệm x 0 = 1 nên ta cứ bình phương phương trình một cách bình thường ⇔    2x 2 − 6x + 5 ≥ 0 4x 4 − 24x 3 + 58x 2 − 60x + 22 = 0 ⇔    2x 2 − 6x + 5 ≥ 0 (x − 1) 2  4x 2 − 16x + 22  = 0 ⇔ x = 1 Đối chiếu thấy nghiệm thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.  Lời giải Đk:    3 − 2x 2 ≥ 0  3 − 2x 2 = 2 − x ⇔ −  3 2 ≤ x ≤  3 2 Nhận thấy + Nếu biến đổi tương đương ( quy đồng mẫu rồi bình phương ta sẽ thu được phương trình bậc cao, và khá dài. www.k2pi.net Trang 4 www.k2pi.net 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 5 Vậy ta hãy nghĩ đến cách khác) + Nếu đạt ẩn phụ, trong phương trình không có các nhóm số hạng giống hoặc biểu diễn qua nhau dẽ dàng vậy phương án này cũng không đặt nhiều hy vọng. + Do chứa mẫu có căn và nhìn khá phức tạp, ta thử nghĩ đến việc nhân liên hợp để làm đơn giản cái mẫu, cụ thể như sau (và thấy mọi chuyễn dường như dễ thở ) Do  3 − 2x 2 > x − 2 với mọi x ∈  −  3 2 ;  3 2  nên ta có: pt ⇔ 3 − 2x = (3x − 1)  √ 3 − 2x 2 − 2 + x  3 − 2x 2 − x 2 + 4x − 4 ⇔ 3 − 2x = (3x − 1)  √ 3 − 2x 2 − 2 + x  (3x − 1) (1 − x) ⇔ 2x 2 − 6x + 5 =  3 − 2x 2 Đến đây hơi bí, đầu tiên ta thử bình phương xem sao. ( Nếu không được có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II, phân tích các vế thành một bình phương ) Bình phương ta được: ⇔    2x 2 − 6x + 5 ≥ 0 4x 4 − 24x 3 + 58x 2 − 60x + 22 = 0 ⇔    2x 2 − 6x + 5 ≥ 0 (x − 1) 2  4x 2 − 16x + 22x  = 0 ⇔ x = 1 Kết hợp điều kiện bài toán ta có x = 1 là nghiệm của phương trình.  Giải phương trình sau : (2x − 5) √ 2x + 3 =  2 3 x + 1   2 3 x − 1 ♥ Bài 2 ♥ Lời giải Đk căn có nghĩa và 2 vế cùng dấu là x ≥ 5 2 . Khi đó : P t ⇔ 2x − 5 = 1 3  (2x + 3)  2 3 x − 1  ⇔ (2x − 5) 2 = 1 27  4x 2 − 9  ⇔ 104x 2 − 540x + 684 = 0 ⇔ x = 3(n)V x = 57 26 (l). Vậy Pt có 1 nghiệm x = 3.  Giải phương trình sau : 17x + 1 √ 3 − 2x 2 + 2 − x = 2x − 3 ♥ Bài 3 ♥ Lời giải www.k2pi.net Trang 5 www.k2pi.net 6 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Hình thức giống bài 1 nhưng ta lại không nhân liên hợp được nên cứ quy đồng xem sao? Viết lại phương trình dưới dạng 2x 2 + 10x + 7 = (2x − 3)  3 − 2x 2 Đặt u =  3 − 2x 2 ⇒ 2x 2 = 3 − u 2 và phương trình trở thành 3 − u 2 + 10x + 7 = (2x − 3) u ⇔ u 2 + (2x − 3) u − 10x − 10 = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được ∆ u = (2x − 3) 2 + 4 (10x + 10) = 4x 2 − 28x + 49 = (2x − 7) 2 Suy ra    u = 3 − 2x + 2x − 7 2 = −2 u = 3 − 2x − 2x + 7 2 = 5 − 2x . Do u ≥ 0 nên chỉ nhận nghiệm u = 5 − 2x ⇔  3 − 2x 2 = 5 − 2x ⇔    x ≤ 5 2 3 − 2x 2 = 4x 2 − 20x + 25 (vô nghiệm). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.  Giải phương trình sau : 8x 2 + 3x +  4x 2 + x − 2  √ x + 4 = 4 ♥ Bài 4 ♥ Lời giải P t ⇔  √ x + 4  2 +  4x 2 + x − 2  √ x + 4 + 8x 2 + 2x − 8 = 0,(1) ∆ √ x+4 =  4x 2 + x − 6  2 (1) ⇔     √ x + 4 + 2 = 0 (V N) √ x + 4 + 4x 2 + x − 4 = 0 ⇔  √ x + 4  2 − √ x + 4 − 4x 2 − 2x = 0, (2) ∆ √ x+4 = (4x + 1) 2 (2) ⇔     √ x + 4 = −2x √ x + 4 = 2x + 1 ⇔ ⇔       x = 1 − √ 65 8 x = −3 + √ 57 8  Lời giải ĐK: x ≥ −4 Phương trình viết thành: 2(4x 2 + x −2) + x + (4x 2 + x −2) √ x + 4 = 0 ⇔ (4x 2 + x −2)(2 + √ x + 4) + x = 0 (1) Nếu x = 0 ta thấy không thỏa mãn pt=> x = 0 không là nghiệm www.k2pi.net Trang 6 www.k2pi.net 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 7 Xét x = 0 phương trình (1) tương đương với: − x(4x 2 + x − 2) 2 − √ x + 4 + x = 0 ⇔ (4x 2 + x − 2) = 2 − √ 4 + x ⇔ ( √ x + 4) 2 − √ x + 4 − 4x 2 − 2x = 0(2) Đặt t = √ x + 4 ≥ 0 thì (2) thành: t 2 − t − 4x 2 − 2x = 0 ⇔ (t + 2x)(t + 2x −1) = 0 Với t = 2x ⇒ √ x + 4 = 2x ⇔      2x ≥ 0 4x 2 − x − 4 = 0 ⇔ x = 1 + √ 65 8 Với t = 1 − 2x ⇒ √ x + 4 = 1 − 2x ⇔      1 − 2x ≥ 0 4x 2 − 5x − 3 = 0 ⇒ x = 5 − √ 73 8 (TMĐK)  Giải phương trình sau : √ x − 3 √ 2x − 1 − 1 = 1 √ x + 3 − √ x − 3 ♥ Bài 5 ♥ Lời giải ĐK: x ≥ 3 Phương trình đã cho tương đương với:  x 2 − 9 −(x −3) = √ 2x − 1 −1 ⇔  x 2 − 9 − √ 2x − 1 −(x −4) = 0 (1) Nhận xét: Nhận thấy pt có nghiệm là x = 5 và x = 4 ta nghĩ đến cách tạo ra nhân tử chung là (x −4)(x −5) tuy nhiên muốn tạo ra nhân tử này thì thêm bớt nó rất lẻ. Do vậy ta làm như sau: (1) ⇔ x 2 − 2x − 8 √ x 2 − 9 + √ 2x − 1 − (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4)( x + 2 √ x 2 − 9 + √ 2x − 1 − 1) = 0 TH1: x = 4 thỏa mãn đk bài toán=>x = 4 là một nghiệm của pt TH2: Quy đồng ta được:  x 2 − 9 + √ 2x − 1 = x + 2(2) Đêm (1) cộng (2) ta được:  x 2 − 9 = x − 1 ⇔ x 2 − 9 = x 2 − 2x − 1 ⇔ x = 5 (TMĐK) Vậy pt có 2 nghiệm là x = 4; x = 5  Giải phương trình sau : 6x 3 + 15x 2 + x + 1 =  3x 2 + 9x + 1   x 2 − x + 1 ♥ Bài 6 ♥ Lời giải Đặt u =  x 2 − x + 1 khi đó phương trình trở thành u 2 −  3x 2 + 9x + 1  u + 6x 3 + 14x 2 + 2x = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là u và tham số là x ta được ∆ u =  3x 2 + 9x + 1  2 − 4  6x 3 + 14x 2 + 2x  =  3x 2 + 5x + 1  2 Suy ra    u = 3x 2 + 9x + 1 + 3x 2 + 5x + 1 2 = 3x 2 + 7x + 1 u = 3x 2 + 9x + 1 − 3x 2 − 5x − 1 2 = 2x . www.k2pi.net Trang 7 www.k2pi.net 8 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Với u = 2x ⇔  x 2 − x + 1 = 2x ⇔    x ≥ 0 x 2 − x + 1 = 4x 2 ⇔ x = −1 + √ 13 6 . Với u = 3x 2 + 7x + 1 ⇔  x 2 − x + 1 = 3x 2 + 7x + 1 ⇔    3x 2 + 7x + 1 ≥ 0 3x  3x 3 + 14x 2 + 18x + 5  = 0 . ⇔      3x 2 + 7x + 1 ≥ 0 3x  x + 5 3   3x 2 + 9x + 3  = 0 ⇔   x = 0 x = − 3 + √ 5 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm là x ∈  − 1 + √ 13 6 ; 0; − 3 + √ 5 2  .  Giải phương trình sau : (x − 3) √ 1 + x + x √ 4 − x = 2x − 3 ♥ Bài 7 ♥ Lời giải ĐK: −1 ≤ x ≤ 4 PT đã cho tương đương với: (x − 3)( √ 1 + x − 1) + x( √ 4 − x − 1) = 0 ⇔ (x − 3)x √ 1 + x + 1 − x(x − 3) √ 4 − x + 1 = 0 ⇔ x(x − 3) = 0(1) √ 1 + x + 1 = √ 4 − x + 1(2) Từ (1) ta có x = 0 hoặc x = 3 Từ (2) ta có x = 3 2  Lời giải Đk −1 ≤ x ≤ 4 Đặt u = √ x + 1 ⇒ u 2 = 1 + x v = √ 4 − x ⇒ v 2 = 4 − x có hệ    u 2 + v 2 = 5 (1) u 3 − v 3 − 4u + 4v = 2u 2 − 5 (2) từ(2) (u − v)  u 2 + uv + v 2  − 4 (u − v) = (u − v) (u + v) ⇐⇒ u = v ∨u 2 + uv + v 2 − 4 − u − v = 0(∗) lại có (u + v) 2 = 5 + 2uv phương trình (*) thành (u + v) 2 − 2 (u + v) − 3 = 0 ⇐⇒ u + v = 3 khi u=v ⇐⇒ x = 3 2 nhận khi u = 3 − v thế (1) ta có v = 1 ∨ v = 2 ⇐⇒ x = 3 ∨x = 0 vậy có 3 nghiệm x = 0, x = 3, x = 3 2  www.k2pi.net Trang 8 www.k2pi.net 1.1 Từ câu 1 đến câu 20 9 Giải phương trình sau : (x + 2)  x 2 − 2x + 4 = (x − 1)  x 2 + 4x + 7 ♥ Bài 8 ♥ Lời giải Phương trình đã cho tương đương với ⇔    (x + 2) (x − 1) ≥ 0 (x + 2) 2  x 2 − 2x + 4  = (x − 1) 2  x 2 + 4x + 7  ⇔    (x + 2) (x − 1) ≥ 0 3(x + 2) 2 = 3(x − 1) 2 Hệ phương trình cuối vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm.  Lời giải Thấy căn thử đặt xem sao, không ngờ nó ngon thật thầy ơi Đặt  x 2 − 2x + 4 = a;  x 2 + 4x + 7 = b (a; b > 0) Ta có: •x + 2 = b 2 − a 2 + 9 6 •x − 1 = b 2 − a 2 − 9 6 Khi đó phương trình đã cho trở thành:  b 2 − a 2 + 9 6  a =  b 2 − a 2 − 9 6  b ⇔  b 2 − a 2 + 9  a =  b 2 − a 2 − 9  b ⇔ (a + b) (a − 3 − b) (a + 3 − b) = 0 •a − 3 = b ⇔  x 2 − 2x + 4 =  x 2 + 4x + 7 + 3 ⇒  x 2 + 4x + 7 = −x − 2 ⇒    x ≤ 2 x 2 + 4x + 7 = x 2 − 4x + 4 ⇔    x ≤ 2 7 = 4(V L) •a + 3 = b ⇔  x 2 − 2x + 4 + 3 =  x 2 + 4x + 7 ⇒  x 2 − 2x + 4 = x − 1 ⇒    x ≥ 1 4 = 1(V L) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm  Giải phương trình sau : (2 √ 2x − 1 + x + 1) 2 − 9x 2 + 15 = 22x ♥ Bài 9 ♥ www.k2pi.net Trang 9 www.k2pi.net 10 Chương 1. Tuyển tập các bài toán Lời giải Điều kiện x ≥ 1 2 . Cứ rút gọn phương trình xem ta được gì? 2x 2 + 3x − 3 = (x + 1) √ 2x − 1 Nhẩm được nghiệm x = 1 nên bình phương hai vế ta được    2x 2 + 3x − 3 ≥ 0  2x 2 + 3x − 3  2 = (x + 1) 2 (2x − 1) ⇔    2x 2 + 3x − 3 ≥ 0 (x − 1)  2x 3 + 7x 2 + 4x − 5  = 0 ⇔ x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. P/s: Phương trình bậc ba chứng minh vô nghiệm trong điều kiện đó, hơi tắt chút các bạn hoàn thiện giúp mình Lời giải Điều kiện: x ≥ 1 2 Phương trình đã cho tương đương:  2 √ 2x − 1 + x + 1  2 = (x + 3) (9x − 5) Đặt căn tiếp nào! Đặt √ 2x − 1 = a (a ≥ 0) Ta có: •x + 1 = a 2 + 3 2 •x + 3 = a 2 + 7 2 •9x − 5 = 9a 2 − 1 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành:  2a + a 2 + 3 2  2 =  a 2 + 7 2  9a 2 − 1 2  ⇔  a 2 + 4a + 3  2 =  a 2 + 7  9a 2 − 1  ⇔ −8 (a − 1)  a 3 + 5a + 2  = 0 ⇔   a = 1 a 3 + 5a + 2 = 0 •a = 1 ⇔ √ 2x − 1 = 1 ⇒ 2x − 1 = 1 ⇒ x = 1 •a 3 + 5a + 2 = 0 Dễ thấy a > 0 nên a 3 + 5a + 2 > 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1  www.k2pi.net Trang 10 [...]... ŒK) Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = 1 ♥ Bài 33 ♥ Giải phương trình sau : www.k2pi.net √ x3 1 = −x 3+1 x x Trang 24 25 1.2 Từ câu 21 đến câu 40 Bài toán này khá đơn giản, nó dựa vào biến đổi: x3 1 √ = x3 + 1 − √ 3+1 3+1 x x Đến đây hàm số 1 phát là ra luôn ♥ Bài 34 ♥ Giải phương trình sau : Điều kiện x ≥ 0 2 1 √ =3 √ + x + 1 − x x + x2 + 1 k2 pi n √ Lời giải et Lời giải Viết lại phương trình dưới... điều kiện Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S = 1 ; −2; 2 4 ♥ Bài 53 ♥ Giải phương trình sau : (1 + x)3 + (1 − x)3 + 14 = (4 + x)3 + (4 − x)3 Lời giải Nhận thấy khi thay x bởi −x thì phương trình không đổi Vậy ta có, điều kiện : 0 ≤ x ≤ 4 √ √ √ √ Xét hàm số f (x) = (1 + x) 1 + x + (1 − x) 1 − x − (4 − x) 4 − x − (4 + x) 4 + x + 14 = 0 www.k2pi.net Trang 34 35 ♥ Bài 54 ♥ Giải phương trình sau : k2... − 2 + 2x + 9 = 0 ww w ♥ Bài 25 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải 2 Điều kiệnx ≥ 3 Nhẩm được nghiệm x0 = 2 nên thử liên hợp xem sao? Phương trình được viết lại dưới dạng (2x − 9) √ x+7−3 + √ 3x − 2 − 2 + 8 (x − 2) = 0 2x − 9 3 +√ +8 =0 x+7+3 3x − 2 + 2 2x − 9 3 2 +√ + 8 > 0, ∀x ≥ nên phương trình tương đương với x = 2 Mặt khác √ 3 x+7+3 3x − 2 + 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 ⇔ (x − 2)... liên hợp xem sao? ww w Viết lại phương trình dưới dạng √ ⇔√ 1 1 23 −√ = 3x2 − x + 11 2 x−1 2x − 3 11 x−2 √ √ = (x − 2) 3x − 2 x − 1 2x − 3 x − 1 + 2x − 3   ⇔ √ x=2 √ 1 11 √ √ √ = 3x − (1) 2 x − 1 2x − 3 x − 1 + 2x − 3 Phương trình (1) dễ thấy chuyển vế ta được một hàm đơn điệu vậy cái ta cần là tìm được một nghiệm nữa của phương trình và đó chính là x = 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2... x= (loi) 2 √ 3+ 5 Vậy Pt có 1 nghiệm : x = 2 k2 pi n et Pt ⇔ ♥ Bài 39 ♥ Giải phương trình sau : 3+ Lời giải √ 3 7x − 6 3+x √ = 7−x 4 + 7 − 3x 7 3 TH 1 : Với x = −3 thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy x = −3 là một nghiệm của pt Điều kiện : x ≤ TH 2 : Với x = −3 ww w Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình √ 3 √ 7x − 6 (3 + x)(4 − 7 − 3x) = 7−x 9 + 3x √ √ 3 3 + 7x − 6 (4 − 7 −... ⇔ a = 2 ⇒ x = 2    a = −1(l) 1.3 Từ câu 41 đến câu 60 ♥ Bài 41 ♥ Giải phương trình sau : x+1 √ + 3x − 2 ww w Lời giải √ 3 3x + 2 √ = 3x − 2 4 2 3 √ √ Phương trình đã cho tương đương với : 3 3x + 2 3x − 2 = 8x − 12 (∗) 3 Để phương trình (*) có nghiệm : 8x − 12 > 0 ⇒ x > 2 √ 5 Đặt : 3x − 2 = a a > 2 Điều kiện : x > Phương trình đã cho trở thành : a Hàm số : f (a) = 3 3 3 a2 + 4 = 8 a2 + 2 4 20 3... Chương 1 Tuyển tập các bài toán ♥ Bài 22 ♥ Giải phương trình sau : x2 + x = 3x2 + 4x + 1 et x2 + 4x + 3 + Lời giải đk x ≤ −3 ∨ x ≥ 0,x = −1 Phương trình thành x (x + 1) = xét x = −1 thoả mãn x ≥ 0, phương trình thành √ √ √ x + 3 + x = 3x + 1 (x + 1) (3x + 1) k2 pi n (x + 1) (x + 3) + √ −8 + 76 ⇐⇒ 3x + 16x − 4 = 0, x ≥ 2 ⇐⇒ x = loại 3 TH: x ≤ −3 2 phương trình thành √ √ √ −x − 3 + −x = −3x − 1 ⇐⇒ 3x2... x + 1 + x > 3 = V P , phương trình vô nghiệm Nếu 0 ≤ x ≤ 1 Xét hàm số f (x) = 2 √ x+1+ Ta có √ x + x2 + 1 − x − 3 1 1 x 1 1 x f (x) = √ + √ +√ −1= √ −1 + √ +√ > 0, ∀x ∈ (0; 1] 2+1 x x x+1 x+1 x+1 x Do đó f (x) là hàm đồng biến trên [0; 1] Nhận thấy f (0) = 0 nên suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình √ √ 6x − 4 2x + 4 − 2 2 − x = √ x2 + 4 ww w ♥ Bài 35 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải ĐK... 4(x + 4) x − 1 vô nghiệm do đk x ≥ 2 2 =1 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 2 ww w Lời giải Tạm thời chưa nghĩ ra cách khác đành dùng cách trâu bò nhất Điều kiện x ≥ 2 Viết lại phương trình dưới dạng x−2 + x−1 Đặt    u=    v=  Mặt khác x = 1 x−2 x+2 2 =1 +1 x−2 x − 1 , (0 ≤ u, v < 1) khi đó phương trình trở thành x−2 x+2 u+ 1 =1 (v + 1)2 2 1 + v2 2 − u2 = Vì vậy ta có hệ phương trình 1 − u2 1 −... 2x − 1 = 0 et ♥ Bài 10 ♥ Giải phương trình sau : Lời giải Điều kiện: x≥ 1 2 k2 pi n Phương trình đã cho được viết lại thành: √ x3 + 22x2 − 11x = (6x2 + 12x − 6) 2x − 1 Bình phương 2 vế lên xem sao Khi đó, ta được: (x − 1)2 x2 − 18x + 9 x2 − 8x + 4 = 0   x=1 x=1   √ ⇔  x2 − 18x + 9 = 0 ⇔  x = 9 ± 6 2   √ x2 − 8x + 4 = 0 x=4±2 3 Đối chiếu với điều kiện Vậy phương trình đã cho có nghiệm:  x=1 . sắc Topic Phương trình vô tỷ ôn thi Đại học 2014 do anh Phạm Kim Chung lập ra nhằm là nơi trao đổi, thảo luận các bài toán phương trình vô tỷ phục vụ cho việc ôn thi Đại học. Nó đã rất thành công khi. đầu Phương trình vô tỷ là dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng. Dù nhiều khi nó không trực tiếp xuất hiện mà ẩn đằng sau những hệ phương trình, bất phương trình. . 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. P/s: Phương trình bậc ba chứng minh vô nghiệm trong điều kiện đó, hơi tắt chút các bạn hoàn thi n giúp mình Lời giải Điều kiện: x ≥ 1 2 Phương trình