SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (2 điểm) Giải phương trình: 3 1 3 2 2 2cos2 0 cos2 1 cotx tan x x x cotx − − − + = + Câu II (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: ( ) 2011 2 3 2010 2 3 4042110 0 1 2 3 4042110 1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 4042110 a a a a+ + + + b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = − 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. Câu III (2,5 điểm) 1. Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau ( ) 2 1 1 1 2011; n n n u u n u u − − = = − , với mọi * , 2n n∈ ≥¥ . Chứng minh rằng dãy số ( ) n u có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tính giới hạn: 3 2 1 2 1 3 2 2 1 x x x x A lim x → − + − − = − Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . 1. Chứng minh rằng 'AC vuông góc với mặt phẳng ( ) 'A BD và đường thẳng 'AC đi qua trọng tâm của tam giác 'A BD . 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx . PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2 011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu. ) 2 011 2 3 2010 2 3 404 2110 0 1 2 3 404 2110 1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 404 2110 a a a a+ + + + b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2 011. a a a a+ + + + b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2 011 2 011 2010 2 011 2009 2 011 2008 2 011 1 2 011 0 2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = − 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên