SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 3 2 3 6 0 3 0 xy y x y x xy  + + − =   + − =   2. Giải phương trình 2 2 2 18 16 4 2 5 3 7 4 2 2 7 2 8 6x x x x x x x+ + + − = + − + + + Câu II (1,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương ( ) ; ;m n p sao cho mỗi một trong các số 1 1 1 ; ; m n p np pm mn + + + là một số nguyên. Câu III (2,0 điểm) 1. Giả sử , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2012 2012 2012 2010 2010 2010 2011 a b c b c a + + < . Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2011 2010 n n n n n n n n n n n n a b c a b c b c a b c a + + + + + + + + + + + ≤ + + + 2. Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất đẳng thức 3 3 3 2 2 2 1 1 1 m m m m m m m m m m m m a b c a b c b c a b c a + + + + + + + + + + + ≥ + + Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY. 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu V (1,0 điểm) Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử :f →¥ ¥ là hàm số thỏa mãn các điều kiện ( ) 1 0f > và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2f m n f m f n+ = + với mọi , m n∈¥ . Tính các giá trị của ( ) 2f và ( ) 2011f . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx . PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2 010- 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu. thực dương thỏa mãn 2012 2012 2012 2 010 2 010 2 010 2011 a b c b c a + + < . Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2011 2 010 n n n n n n n n n n n n a b c a. = + với mọi , m n∈¥ . Tính các giá trị của ( ) 2f và ( ) 2011f . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… Tham khảo đáp án: