ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010 Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 06 – 06 – 2010 Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức x 2x x 1 2 P : . 9 x 3 x x 3 x x     − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     1) P có nghĩa ⇔ x 0 x 3;x 25 >   ≠ ≠  x(3 x) 2x x 1 2( x 3) x(3 x ) x 5 P : : 9 x 9 x x 3 x x 3 x (3 x)(3 x) (3 x) x x x(3 x) x . . (3 x) x 5 x 5         − − − + − = + − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − − + − −         − = − − − 2) P 4 3 = − ⇔ 4 3 5 = − − x x ⇔ 4 3 4 20 0 (3 10)( 2) 4 3 5 = − ⇔ + − = ⇔ + − ⇔ = − x x x x x x x Câu 2 ( 2,0 điểm ) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2 +4x + 1 = y 4 2 2 ( 2 )( 2 ) 3(*)⇔ + + + − =x y x y 2 2 ì x, y nguyên và 2 2+ + ≥ + −v x y x y nên từ (*) suy ra: 2 2 2 2 2 3 2 1 (I) và ( ) 2 1 2 3   + + = + + = −     + − = + − = −     x y x y II x y x y . Giải (I) ta được 0 1 =   = ±  x y Giải (II) ta được 4 3 =   = ±  x y . 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 3 x xy y 3 x xy y 3 x xy y 3 2) x 3(y x) 1 x y 3(y x) 1 y (x y)3 3(y x) 1 y x 1 x xy y 3 x x 2 0 x 2 y 1 y 1 y 1    + + = + + = + + =    ⇔ ⇔    + − = − + − = − − + − = −        =   + + =  + − =    ⇔ ⇔ ⇔ = −     = =     =  . Câu 3 ( 2,0 điểm ) Cho phương trình ẩn x: (m-10)x 2 + 2(m-10)x + 2 =0 (3) 1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Với m=10 phương trình (3) trở thành 2=0 nên (3) vô nghiệm khi m=10 Với m ≠ 10 phương trình (3) trở thành phương trình bạc hai ẩn x có ∆ ’=(m-12)(m-10). (3) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thì ' 0 ∆ > ⇔ (m-12)(m-10) >0 ⇔ m>12 hoặc m<10. 2) Chứng minh rằng khi đó ta có: 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 4+ + + < − Với m>12 hoặc m<10 theo Vi ét ta có: 1 2 1 2 2 2 10 + = −    =  −  x x x x m khi đó 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 4+ + + < − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 2 (x x )[(x x ) 3x x ] x x (x x ) 4 2(4 ) ( 2) 4 m 10 m 10 ⇔ + + − + + < − ⇔ − − + − < − − − ( ) ( ) ( ) 2 m 12 m 10 3 1 2 2 1 1 0 0 m 10 m 10 m 10 m 10 − − ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ > − − − − (ĐPCM) Câu 4 ( 3,0 điểm ) E F J K I D C B A O M N 1) Dễ thấy D, O, M, N, A nội tiếp đường tròn đường kinh AO. 2) Ta thấy · · · · BDM ONM OMN=CDN = = . 3) Từ K kẻ đường vuông góc với BC đường này cắt AO tại J kẻ JE ⊥ AB; JF ⊥ AC khi đó JE=JF(*). Ta có OI//KJ ( cùng ⊥ BC); OM//JE ( cùng ⊥ AB) theo Talets ta có: // = = ⇒ AI AO AM MI KE AK AJ AE Tương tự ta có NI//KF => K, F, E thẳng hàng=> · · KEJ KFJ = . Dễ thấy · · · · KEJ KBJ;KFJ KCJ = = => · · KBJ CKJ = ⇒∆ BJC cân tại J nên KB=KC (ĐPCM). Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh rằng: CM: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) b c a b c a + + + + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + + + + − − − ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b c ( ) ( ) ( ) b c a 2 b c a   + + ≥ + + + − + − + − ⇒ + + ≥ + +   a b c a b b c c a a b c (ĐPCM) Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1 CM: 2 2 2 3+ + ≥a b c Ta có : 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2+ + + + + ≥ + +a b c a b c (1) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2( ) 2( ) (2)− + − + − ≥ ⇔ + + ≥ + +a b b c c a a b c ab bc ca Từ (1) và (2) 2 2 2 2 2 2 3( ) 3 2(a+b+c+ab+bc+ca) 3+ + + ≥ ⇔ + + ≥a b c a b c (ĐPCM) HẾT . HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010 Đề thi môn: Toán Thời gian. NGOẠI NGỮ NĂM 2010 Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 06 – 06 – 2010 Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức x 2x x 1 2 P : . 9 x 3 x x 3 x x     − =. y 4 2 2 ( 2 )( 2 ) 3(*)⇔ + + + − =x y x y 2 2 ì x, y nguyên và 2 2+ + ≥ + −v x y x y nên từ (*) suy ra: 2 2 2 2 2 3 2 1 (I) và ( ) 2 1 2 3   + + = + + = −     + − = + − = −     x