KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 11 (Thời gian 180 phút) Bài 1:(4điểm) Cấp số cộng (u n ) thỏa mãn: tồn tại 2 số nguyên dương m và p để ( ) m p 1 1 u = ; u = m p p m ≠ . Tính tổng m.p số hạng đầu của cấp số cộng đó Bài 2:(4 điểm) Giải hệ phương trình: 22 × 2 2009 2053 2009 22 × 2 2053 x y x y  + + − =   − + + =   Bài 3: (4 điểm) Tổng: 1 1 1 1 1!2009! 3!2007! 5!2005! 2009!1! S = + + + + có thể viết dưới dạng 2 a b . Hãy tìm cặp số (a;b). Bài 4: ( 4điểm) Cho dãy số ( ) n u với 1 .2 n n u n − = Tính tổng 2009 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC có đường cao AA’; Qua B và C kẻ các đường thẳng d và d’ cùng vuông góc với BC. Qua A’ vẽ 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với AB và AC, 2 đđường thẳng này lần lượt cắt d và d’ tại M,N. Chứng minh đđường thẳng MN đi qua trực tâm H của tam giác ABC. HẾT ĐÁP ÁN Bài 1 Gọi d là công sai của CSC .Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 m p mp u u m d p u u p d m u mp d mp mp u u mp d mp mp mp mp S mp mp  = + − =     = + − =    =   ⇒   =     + + −   + + −   +     ⇒ = = = 1đ 1,5đ 1,5đ Bài 2 Điều kiện: , 2009;x y ≥ Đặt u=22.2; v=2009. Hệ đã cho có dạng x u y v u v x v y u u v x u y v x v y u x y  + + − = +   − + + = +   ⇒ + + − = − + + ⇔ = Khi đó: ( ) ( ) 1 1 x u x v u v x u x v x u y v x u x v + − − = + ⇒ + − − = ⇒ + − − = + − − Hệ đã cho tương đương với 2 1 1 1 1054685 2 2 x u y v u v x u y v u v u v x u x u  + + − = +   + − − =   + + + +   ⇒ + = ⇒ = − =  ÷   Vậy hệ có nghiệm duy nhất : ( ) ( ) ; 1054685;1054685x y = 1,5đ 1đ 0,5đ 1đ Bài 3 Ta có : ( ) ( ) 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2009 2009 .2010! .2010! 2 2 ; 2009;2010! 2010! S C C C C S S a b = + + + + ⇒ = ⇒ = ⇒ = 2đ 1đ 1đ Bài 4 Ta có : 2 3 2008 2009 1 2.2 3.2 4.2 2009.2S = + + + + + Tách 2009 S thành 2009 hàng, mỗi hàng là tổng của một cấp số nhân như sau: 2 3 4 2007 2008 2009 2 3 4 2007 2008 2 3 4 2007 2008 3 4 2007 2008 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2007 2008 2 2 + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2008 2009 2008 2 2007 2007 2 2008 2009 2009 2 3 2008 2009 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 =2009.2 1 2 2 2 2 2008.2 1 S + − − − − − ⇒ = + + + + + − − − − − − + + + + + = + 0,5đ 2đ 1đ 0,5đ Bài 5 Gọi M’, N’ lần lượt là giao điểm của CH, BH với d và d’. Ta có HA’MM’, HA’NN’ là các hình bình hành ⇒ MM’NN’ là hình bình hành. Gọi H’ là giao điểm của M’N’ với AA’ ta có ' ' 'H H M M N N= = uuuuur uuuuuur uuuuur ⇒ M,N,H lần lượt là ảnh của 3 điểm thẳng hàng M’,N’,H’ qua phép tònh tiến theo 'H H uuuuur ⇒ M,N,H thẳng hàng (đpcm) 2đ 2đ A d’ d N’ H’ N M’ H M B C A’ . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 11 (Thời gian 180 phút) Bài 1:(4điểm) Cấp số cộng (u n ) thỏa mãn: tồn tại 2 số nguyên. + − =    =   ⇒   =     + + −   + + −   +     ⇒ = = = 1đ 1,5đ 1,5đ Bài 2 Điều ki n: , 2009;x y ≥ Đặt u=22.2; v=2009. Hệ đã cho có dạng x u y v u v x v y u u v x u y v x v y