4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 1 Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009 Trường THPT Vĩnh Linh ♥ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM – MÔN TOÁN 12 (NĂM HỌC 2008-2009) (Thời gian 150 phút) A.Phần chung cho tất cả các thí sinh: Câu I : (3 đ)Cho hàm số : y =f(x) = 1 3 x 3 - 2x 2 + 3x 1. (2đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên. 2. (1đ) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y =m(x-3) tiếp xúc với (C). Câu II: (3đ) 1.(1đ)Giải phương trình : 3)1(log)3(log 22 =−+− xx 2.(1đ)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:y = f(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 trên đoạn [-1;1] 3.(1đ)Tính tích phân sau: K = dxxx ∫ + 4 0 2sin)1( π Câu III(1đ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. B.Phần riêng: B.1: Chương trình chuẩn Câu IVa (2đ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : x - 2y + z + 3 = 0. 1(1đ).Tính khoảng cách từ M đến (P), suy ra phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 2(1đ).Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).Tìm toạ độ giao điểm của d và (P). Câu Va (1đ) Giải phương trình : z 3 – 27 =0 B.2.Chương trình Nâng cao: Câu IVb(2đ): Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình: d 1 : 1 3 2 2 1 1 − = − = − zyx và d 2 : 2 2 2 x t y t z t = − +   = −   = −  1(1đ).Chứng minh hai đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau. 2(1đ).Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2 . Câu Vb: (1đ) Cho z ∈ C , biết z +z -1 = 3 . Tính :A= z 2009 + z -2009 ĐÁP ÁN Câu 1: 1. .TXĐ :R 0.25 đ .Sự biến thiên: a. Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim x y →−∞ = + ∞ lim x y →+∞ = - ∞ 0.25 đ b.Bảng biến thiên: Ta có: y’ = -x 2 +4x – 3 y’ = 0 ⇔ x= 1, x=3. 0.25 đ - ∞ + ∞ 0 - - + 0 0 -4 3 y y' x + ∞ - ∞ 3 1 Hàm số đồng biến trên khoảng ((0; 3). Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞ ; 1) và (3; + ∞ ) . 0.5 đ Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ⇒ y ct = - 4 3 Hàm số đạt cực đại tại x =3 ⇒ y cđ = 0 0.25 đ 3.Đồ thị: .Điểm uốn : y’’= -2x+4 , y’’ = 0 ⇔ x=2 Vậy điểm uốn là U(2; 2 3 − ). Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Giao điểm của đồ thị với trục tung là O(0;0). Giao điểm của đồ thị với trục hoành là O(0;0) và điểm (0;3) 0.5 đ 2. Đường thẳng y =m(x-3) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm: 3 2 2 1 2 3 ( 3) 3 4 3 x x x m x x x m  − + − = −    − + − =  ⇒ x=3 , x = 3 2 0.5 đ Với x =3 ⇒ m= 0 , phương trình tt : y=0 0.25 đ Với x = 3 2 ⇒ m= 3 4 , phương trình tt : y= 3 4 (x-3) 0.25 đ Câu II: 1.Giải phương trình : Doilathe_aicungthe_anhkhac7491 Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009 3)1(log)3(log 22 =−+− xx (1) Giải: Đk: x > 3 0.25 đ (1) ⇔ log 2 (x-3)(x-1) = log 2 8 0.25 đ ⇔ (x-3)(x-1) = 8 ⇔ x 2 -4x – 5 = 0 ⇔ x= -1 (loại) , x= 5 0.5 đ Vậy phương trình có một nghiệm : x =5 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:y = f(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 trên đoạn [-1;1] Giải: Ta có : y' = 4x 3 -6x 2 +2x y'= 0 ⇔ x= 0 , x = 1 2 , x = 1 0.5 đ Suy ra : f(-1) = 4 , f(0) = 0 , f( 1 2 ) = 1 16 , f(1) = 0 0.25đ Vậy, trên đoạn [-1;1] . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là : f(0) = f(1) = 0 Giá trị lớn nhất của hàm số là : f(-1) = 4 0.25 đ 3.Tính tích phân: K = dxxx ∫ + 4 0 2sin)1( π = dxx ∫ 4 0 2sin π + dxxx ∫ 4 0 2sin π = 4 0 2cos 2 1 π x− + dxxx ∫ 4 0 2sin π = 2 1 + I 0.25 đ Tính : I = dxxx ∫ 4 0 2sin π Đặt    = = xdxdv xu 2sin =>      −= = xv dxdu 2cos 2 1 0.25 đ Suy ra: I = dxxx ∫ 4 0 2sin π = 4 0 2cos 2 1 π xx− + dxx ∫ 4 0 2cos 2 1 π = 4 0 2sin 4 1 π x = 4 1 0.25 đ Suy ra: dxxx ∫ + 4 0 2sin)1( π = 2 1 + 4 1 = 4 3 0.25 đ Câu III: Hình chóp tam đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi H là tâm đáy, I là trung điểm của cạnh CD. Đường cao của hình chóp là SH. Xét tam giác vuông SHI , ta có : SH = HI.tan60 0 = 1 2 a. 3 0.25 đ Thể tích của khối chóp S.ABCD là: V = 1 3 a 2 . 1 2 a. 3 = 3 6 a 3 0.25 đ ( hình vẽ 0.5đ) B.Phần riêng: B.1: Chương trình chuẩn Câu IVa. Giải: 1.Khoảng cách từ M(1;2;3) đến mp(P) là: d(M,(P)) = 1 2.2 3 3 3 3 6 6 6 2 1 4 1 6 − + + = = = + + 0.5đ Mặt cầu có tâm M(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) suy ra bán kính R = 6 2 . Vậy phương trình mặt cầu là: (x-1) 2 + (y-2) 2 +(z-3) 2 = 3 2 0.5đ 2.Đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc với (P) nhận véc tơ pháp tuyến của mp(P): n r = (1;-2;1)làm vtcp. 0.25 đ Suy ra phương trình tham số là: 1 2 2 3 x t y t z t = +   = −   = +  , t ∈ R 0.25 đ Toạ độ giao điểm H(x;y;z) của mp(P) và đt d là nghiệm của hệ: 1 2 2 3 x 2y z 3 0. x t y t z t = +   = −   = +   − + + =  ⇔ 1 2 3 5 2 1 2 x y z t  =   =    =    = −   ⇔ H 1 5 ( ;3; ) 2 2 0.25 đ Câu Va : Giải phương trình : z 3 – 27 =0 Giải : z 3 – 27 =0 ⇔ (z-3)(z 2 +3z +9) = 0 ⇔ 2 3 3 9 0 (1) z z z =   + + =  0.5 đ Doilathe_aicungthe_anhkhac7491 Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009 Giải (1): ta có : ∆ = - 27 z 1 = 3 3 3 2 i− + , z 2 = 3 3 3 2 i− − 0.5 đ B.2.Chương trình Nâng cao: IVb. Chứng minh rằng hai đường thẳng trên chéo nhau: Đường thẳng d 1 : 1 3 2 2 1 1 − = − = − zyx đi qua M( 1;2;3) có véc tơ chỉ phương là: u =( 1,2,1). 0.25 đ Đường thẳng d 2 : 2 2 2 x t y t z t = − +   = −   = −  đi qua gốc toạ độ O(0;0;0) và có véc tơ chỉ phương : u ' = ( 1;-1;-1) 0.25 đ Ta có: OM =(1,2,3) Suy ra : [ ] OMuu ', = -6 ≠ 0 suy ra hai đường thẳng trên chéo nhau. 0.5 đ b. Mặt phẳng chứa d 1 và song song với d 2 đi qua điểm M(1,2,3) và nhận: [ ] ',uun = =(-1;2;-3) làm véc tơ pháp tuyến . 0.25 đ Suy ra phương trình mặt phẳng là: -(x-1) +2(y-2) -3(z-3) = 0 0.5 đ ⇔ x -2y + 3z – 6 =0 0.25 đ Câu Vb: Cho z ∈ C , biết z +z -1 = 3 . Tính :A= z 2009 + z -2009 Giải: Từ z + z -1 = 3 ⇔ z 2 - 3 z + 1 = 0 phương trình này có hai nghiệm : z 1,2 = 3 1 2 2 i± hay : z =cos 6 π ± sin 6 π . 0.25 đ Sử dụng công thức Moa-vrơ , ta có: z 2009 = cos(2009. 6 π ) ± isin(2009. 6 π ) 0.25 đ z -2009 = 2009 1 1 cos 2009. isin(2009. ) 6 6 z π π =   ±  ÷   = cos(2009. 6 π ) m isin(2009. 6 π ) 0.25 đ Suy ra: z 2009 + z -2009 = cos(2009. 6 π ) ± isin(2009. 6 π ) +cos(2009. 6 π ) m isin(2009. 6 π ) = 2cos(2009. 6 π ) =2cos( 5 6 π + 167. 2 π ) = 2cos 5 6 π = - 3 0.25 đ Vậy : A = - 3 Doilathe_aicungthe_anhkhac7491 a 60 0 I H A B D C S . có: z 2009 = cos (2009. 6 π ) ± isin (2009. 6 π ) 0.25 đ z -2 009 = 2009 1 1 cos 2009. isin (2009. ) 6 6 z π π =   ±  ÷   = cos (2009. 6 π ) m isin (2009. 6 π ) 0.25 đ Suy ra: z 2009 . z 2009 + z -2 009 = cos (2009. 6 π ) ± isin (2009. 6 π ) +cos (2009. 6 π ) m isin (2009. 6 π ) = 2cos (2009. 6 π ) =2cos( 5 6 π + 167. 2 π ) = 2cos 5 6 π = - 3 0.25 đ Vậy : A = - 3 Doilathe_aicungthe_anhkhac7491 a 60 0 I H A B D C S . 4 2 -2 -4 -6 -1 0 -5 5 1 Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009 Trường THPT Vĩnh Linh ♥ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM – MÔN TOÁN 12 (NĂM HỌC 2008 -2 009) (Thời gian 150 phút) A.Phần chung