SỞ GIÁO DỤC VÀĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI TUYỂN LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài 150 phút: (không kể thời gian giao đề) ĐỀ 01 Bài 1(1,0 điểm) Cho biểu thức: 2 2 2 1 1 2001 M . 3 x 1 2 x 1 2 x 1 1 1 3 3       = +   +     + −   + +  ÷  ÷         Tìm x để biểu thức có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M và tìm giá trị lớn nhất của M. Bài 2(2,0 điểm) 1.Giải phương trình : x 1 x 4 3.− + − = 2.Tìm m để phương trình x 2 + (2m +3)x +3m + 11 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 khác 0 thoả mãn 1 2 1 1 1 x x 2 − = Bài 3 (2,0 điểm) 1.Cho các số thực a, b, c, d . Chứng minh rằng : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d .+ + + ≥ + + + Đẳng thức xảy ra khi nào? 2. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a+ b+c ≤ 2 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 97 a b c b c a 2 + + + + + ≥ Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O′; R′) cắt nhau tại A và B.Trên tia đối của tia AB lấy điểm C .Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O, trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O′.Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O′) lần lượt tại m và N (M, N khác A). Tia DE cắt MN tại K. Chứng minh: 1.Các tứ giác BEKN và BDMK nội tiếp. 2. ∆BKM đồng dạng với ∆BEA. 3.O′K ⊥ MN. Bài 5 (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên: 3 3 2 x y z . x y z + =   + =  2. Có 2010 viên sỏi. Hai người chơi thay phiên nhau bốc sỏi, mỗi lượt đi người chơi được quền bốc một số lượng viên sỏi là luỹ thừa với số mũ tự nhiên bất kì của 2(1, 2, 4, ). Ai bốc được viên sỏi cuối cùng là thắng cuộc. Giả sử cả hai người chơi đều là người thông minh. Hỏi ai là người thắng cuộc? ĐỀ 02 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Trà Vinh Năm học: 2010 – 2011) ĐỀ 03 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Quốc Học Huế Năm học: 2010 – 2011 SỞ GD - ĐT HÀ NỘI ===***=== Vòng 2 KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN Năm học 2010-2011 Thời gian 150 phút ĐỀ 04 Bài I. (2 điểm) 1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n 3 + 11n chia hết cho 6. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n 4 – 3n 2 + 1 là số nguyên tố Bài II. (2 điểm) Cho phương trình: (m 2 + 2m + 2)x 2 – (m 2 – 2m + 2)x – 1 = 0 Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 1) Tìm các giá trị của m để : x 1 2 + x 2 2 = 2x 1 x 2 (2x 1 x 2 – 1) 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x 1 + x 2 Bài III. (2 điểm) 1) Cho a bất kì, chứng minh rằng: 2010 2010 a + 2010 > 2 a + 2009 2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình: y 2 – x(x – 2)(x 2 – 2x + 2) = 0 Bài IV( 3 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E, F. 1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF. 2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R 2 . 3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: PN . PK + QN . QK 2 3 2 R≤ Bài V. (1 điểm) Giải phương trình: x 8 – x 7 + x 5 – x 4 + x 3 – x + 1 = 0 ===***=== ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng I ĐỀ 05 Câu I. 1) Giải phương trình 122 22 +−=+− xxxx 2) Giải hệ phương trình      +=+ =+− 33 1 2 22 yyx xyyx Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số 2009613 2009613 ++ 2) Với a, b là những chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức )54()54( abbbaa ba P +++ + = Câu III. Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng b. 1) Chứng minh rằng b a BH AH = 2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b Câu IV. Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng 5 148314831483 22 2 22 2 22 2 cba caac c bccb b abba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng II ĐỀ 06 Câu I. 1) Giải phương trình 353684163514 2 +++=+++ xxxx 2) Chứng minh rằng 14)12(4 12 34 3 14 1 2 2 444 + = −+ − ++ + + + n n n n Với mọi n nguyên dương Câu II. 1) Tìm chữ số nguyên dương n sao cho tất cả các số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp { } )8,78(),62,6(),32,4(),2,16(=M bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp số (c, d) cũng thuộc M. Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số { } )912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018( 1 =M hay không? Câu III. Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM ( ) AM ≠ .Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đường thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P và đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại Q. Đường thẳng CD cắt PQ tại K. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định. Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện 2,,0 ≤≤ zyx và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức : ( ) )1)(1(112 444 zyxzyxM −−−+++= Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I ĐỀ 07 Câu I 1) Giải hệ phương trình      =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. ( ) n nn nn =       + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II ĐỀ 08 Câu I 1) Giải phương trình 4133 =+++ xx 2) Giải hệ phương trình ( )( )    =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 +n là số chính phương. 2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1=++ zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 , ,, aaa , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là 2,1,4,4 5432 =−==−= aaaa ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng I ĐỀ 09 Câu 1: Cho biểu thức 64169220 24 ++++= aaaA B = a 4 + 20a 3 + 102a 2 + 40a + 200 a- Rút gọn A b- Tìm a để: A + B = 0 Câu 2: Hai công nhân cùng làm một công việc 18h xong. Nếu người thứ nhất làm 6h và người thứ 2 làm 12 h thì được 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc trên bao lâu? Câu 3: Cho Parabol y = x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx +1 a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m b- Gọi A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) .Tìm giá trị lớn nhất của M = (y 1 - 1)(y 2 - 1) Câu 4: Cho tam giác ABC với 10;53;5 === BCACAB . Phân giác BK góc ABC cắt đường cao AH, trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K ∈ AC; H, M ∈ BC) a- Tính AH b- Tính diện tích tam giác AOT Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : ( ) ( ) 111 22 =++++ yyxx Chứng minh x + y = 0 Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2009- 2010 Môn thi: TOÁN- Vòng II ĐỀ 10 Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn 2≠xy và 2−≠xy . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 333 3 3 22 3 22 2 . 222 2 4 22 − − +         + − + − = xy xy xy xy xy xy yx xy P Câu 2 1) Cho phương trình 0 2 =++ cbxx , trong đó cá tham số b và c thoả mãn đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 , xx sao cho 2 2 21 xxx += 2) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình:        =++ =−+ 1 3510 1 4123 zyx zyx Hãy tính giá trị của A = x + y + z Câu 3 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện: i) ap + 1 chia hết cho q. ii) aq + 1 chia hết cho p. Chứng minh )(2 qp pq a + > Câu 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O 1 ) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O 2 ) đường kính BH cắt CB tại F. 1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi (O 3 ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O 3 , D thẳng hàng. 3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF. Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này. 1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02. 2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P. [...]... phương trình : (x2 -5 x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 - Hết - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 2 01 0- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II ĐỀ 12 Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a − b = 1 − b 2 − 1 − a 2 Chứng minh rằng a2 + b2 = 1 2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2.2 010 2 + 2 010 2 là số nguyên... bằng 1 Chứng minh ABC là tam giác đều KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH  - NĂM HỌC 200 9-2 010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học) Ngày thi: 30/6/2009 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang) Bài 1: (2 điểm) Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0 với x là... luôn có: + + > với mọi số thực a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 Hết - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngày thi 0 7-0 6-2 009 Đề thi gồm 01 trang ĐỀ 20 ( Chú ý: Thí sinh không được sử dụng bất kỳ tài liệu nào... : (x2 -5 x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh .số báo danh BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2 010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên. .. góc với AD tại G a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp b- Chứng minh AM2=AC.AB c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R2 Câu 5: ( 1 điểm) Với x,y là số thực thoả mãn: x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 - Hết - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 2 01 0- 2011 Môn thi: TOÁN ĐỀ 14 Câu 1 ( 2,0... - Hết - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 200 9- 2 010 Môn thi: TOÁN ĐỀ 13 Câu 1: (2điểm) Cho biểu thức A= 3 3   3 x2 − 4 x2  3  +  x + 2 x  : 2 + ( x ≠ 8; x ≠ −8; x ≠ 0) 3 2+3 x  2+3 x   x − 2  3 x 2 + 23 x     8− x Chứng minh A không phụ thuộc biến số Câu 2 : ( 2 điểm) Cho phương trình bậc 2 : x 2-2 (m+1)x+4m-m2... : M = x 4 + y 4 + z 4 + 12(1 − x ) (1 − y )(1 − z ) BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2 010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1: 3  x 4 + 1  x3 − x (4 x − 1) − 4    x 2 + 29 x + 78  A...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 2 01 0- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I ĐỀ 11 Câu 1: 3  x 4 + 1  x3 − x (4 x − 1) − 4    x 2 + 29 x + 78  A =  −  x 4 − 2 ÷ 7 ÷ ÷  ÷ x + 1  x + 6 x 6 − x − 6    3 x 2 + 12 x... x+y=0 ( )( ) …………………………Hết………………………… Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2009 Môn thi: Toán học (Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin) Thời gian làm bài :150 phút Câu 1 Các số thực... c3 + + ≥ a 2 + b2 + c2 ≥ 3 b c a - Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 200 9- 2 010 Môn thi: TOÁN ĐỀ 15 Bài I (3 điểm) 1) Tìm các số nguyên dương n để A = có giá trị là số nguyên dương 2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 + y(y2 + y - 3x) = 0 Bài II (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y, . chơi đều là người thông minh. Hỏi ai là người thắng cuộc? ĐỀ 02 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Trà Vinh Năm học: 2 010 – 2011) ĐỀ 03 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Quốc Học Huế Năm học: 2 010. phương trình : (x 2 -5 x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 2 01 0- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II ĐỀ 12 Câu 1: 1.Giả. ) )1)(1(112 444 zyxzyxM −−−+++= Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 1 0- THPT CHUYÊN Năm học 2 01 0- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I ĐỀ 07 Câu I 1) Giải hệ phương trình      =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2)