Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS I . Các kiến thức cần thiết 1. Các định nghĩa 1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M. đợc gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = f max với (x,y, ) |D 1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M. đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = f min với (x,y, ) |D 2. Các kiến thức th ờng dùng 2.1. Luỹ thừa : a) x 2 0 x |R x 2k 0 x |R, k z - x 2k 0 Tổng quát : [f (x)] 2k 0 x |R, k z - [f (x)] 2k 0 Từ đó suy ra : [f (x)] 2k + m m x |R, k z M - [f (x)] 2k M b) x 0 x 0 ( x ) 2k 0 x0 ; k z Tổng quát : ( A ) 2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y| 2.3. Bất đẳng thức côsi : ai 0 ; i = n,1 : n n n aaa n aaa 21 21 +++ nN, n 2. dấu "=" xảy ra a 1 = a 2 = = a n 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 , b 2 , ,b n ta có : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ( ) ).( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa ++++++ Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 1 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Dấu "=" xảy ra i i b a = Const (i = n,1 ) Nếu bi = 0 xem nh ai = 0 2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : Với a 0 : (1+a) n 1+na n N. Dấu "=" xảy ra a = 0. Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy ra từ bất đẳng thức (A+B) 2 0. a. a 2 + b 2 2ab b. (a + b) 2 4ab c. 2( a 2 + b 2 ) (a + b) 2 d. e. II. Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số Ph ơng pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số . Từ đó : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx Myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = M 2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = m I. Các vi dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 1 = x 2 + 4x + 7 Giải : Ta có : A 1 = x 2 + 4x + 7 = x 2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2) 2 + 3 3 vì (x + 2) 2 0. A 1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A 1 min = 3 x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A 2 = -x 2 + 6x - 15 Giải : Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 2 2+ a b b a baab + + 411 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Ta có : A 2 = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 A 2 = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do -(x - 3) 2 0 x |R A 2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A 2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x 2 -9x + 8) (x 2 - 9x + 20) + 2002 = {(x 2 -9x + 14) - 6}.{(x 2 -9x + 14) + 6} + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 - 36 + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 + 1966 1966 vì (x 2 -9x + 14) 2 0 x A 3 min = 1966 x 2 -9x + 14 = 0 = = 7 2 x x Vậy A 3 min = 1966 = = 7 2 x x 4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 4 = )1( 12 1102 2 2 + x xx xx Giải : Ta có: A 4 = 22 2 2 2 )1( 9 1 6 2 )1( 9)1(6)12(2 12 1102 = + = + x x x xxx xx xx = - 331 1 3 2 + + x vì - x x + 01 1 3 2 A 4 Max = 3 01 1 3 =+ x x = -2 Vậy : A 4 Max = 3 x = -2 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A 5 = yx x y y x + với x,y>0 Giải : Ta có:A 5 = yx x y y x + = = + xy xyyxyyxx xy yxyyxx )()( A 5 = xy yxyx )).(( = xy yxyx ).()( 2 0 x,y > 0 A 5 min = 0 0= yx x = y Vậy : A 5 min = 0 x = y > 0 6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A 6 = x 2 + y 2 . Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 3 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Giải : Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x 2 x, y 2 y A 6 = x 2 + y 2 x + y = 1 A 6 max = 1 = = 1 0 y x hoặc = = 0 1 y x Mặt khác : x + y = 1 (x + y) 2 = 1 1 = x 2 + 2xy + y 2 (x 2 +y 2 )-(x-y) 2 A 6 = x 2 +y 2 = 2 1 )( 2 1 2 1 2 + yx do (x - y) 2 0 A 6 min = 2 1 x - y = 0 x = y = 2 1 Vậy : A 6 max = 1 = = = = 0 1 ; 1 0 y x y x A 6 min = 2 1 x = y = 2 1 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 Giải : Ta có : A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2xz) A 7 = - 2 1 {(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 } 0 x,y,z A 7 Max = 0 x = y = z Vậy : A 7 Max = 0 x = y = z II. Nhận xét: Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đợc mục đích. Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. III. Các bài tập đề nghị : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a. A =x 2 - 10x + 20 b. B = (x-1) 2 + (x-3) 2 c. C = 12 683 2 2 + + xx xx (x 1) d. D = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1 e. E = xyyx xyyx 2 )(4 ++ ++ với x,y > 0 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a. A = - x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2002 b. B = 1 2 2 2 + + x x ; C = 2510 196747 2 2 + + xx xx Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 4 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS 3. Tìm GTLN, GTNN của A = 32 64 2 2 ++ ++ xx xx Ph ơng pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó. I. Các ví dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B 1 = a + )( 1 bab Giải : Ta có : B 1 = a + )( 1 bab = b + (a-b) + )( 1 bab 3. 3 ).( )( bab bab (theo Côsi). B 1 3 B 1 min = 3 b = a-b = )( 1 bab = = 1 2 b a Vậy : B 1 min = 3 = = 1 2 b a 2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B 2 = ab 1 + 22 1 ba + Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( yx 11 + ) 2 yx. . 2 xy 1 = 4 (với x,y > 0) yx 11 + yx + 4 (1) Ta có : ab ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ab 1 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0 áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : B 2 = 22222222 2 4 2 4 ) 1 2 1 ( 2 11 2 211 baabba abab ba ab ba ab ++ + + ++= + += + + B 2 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 B 2 min = 6 a = b = 2 1 Vậy : B 2 min = 6 a = b = 2 1 3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B 3 = x 4 + y 4 + z 4 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 5 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Giải : Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ) (1 2 +1 2 +1 2 ) B 3 = x 4 + y 4 + z 4 3 16 B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 Vậy : B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 4. Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| = 3 Tìm GTLN của B 4 = 22 11 ba + Giải : Ta có : (a-b) 2 0 a;b 2 22 22 + + baba (1) áp dụng (1) ta có : 2 1 2 )(2 2 11 2 11 22 22 22 2 22 ba ba baba + = + = + + Do 4 3 2 3 22 2 2 22 = = + + baba (do | a + b| = 3 ) 2 22 2 11 + ba 1 - 4 3 = 4 1 ( 111 22 + ba ) B 4 = 111 22 + ba B 4 Max = 1 a = b = 2 3 Vậy : B 4 Max = 1 a = b = 2 3 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B 6 = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy ra x,y 0 Do vậy : B 6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B 6 Min = 2002 (x + 7). (1995 - x) 0 -7 x 1995 Vậy : B 6 Min = 2002 -7 x 1995 6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Giải : Ta có : B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B 7 | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010 B 7 min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 6 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Vậy : B 7 min = 2010 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x 2 y + xy 2 0 Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 1 + 2001 (x 2 y + xy 2 ) B (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001. B 2002 B min = 2002 xy(x+y) = 0 = = = yx y x 0 0 Vậy : B min = 2002 = = = yx y x 0 0 8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B 8 = x 16 + y 16 + z 16 Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 a,b,c a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B 8 = x 16 + y 16 + z 16 = (x 8 ) 2 + (y 8 ) 2 + (z 8 ) 2 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 (x 4 y 4 ) 2 + (y 4 z 4 ) 2 + (z 4 x 4 ) 2 x 4 y 4 . y 4 z 4 + x 4 y 4 . z 4 x 4 + y 4 z 4 . z 4 x 4 B 8 x 4 y 8 z 4 + x 8 y 4 z 4 + x 4 y 4 z 8 B 8 (x 2 y 4 z 2 ) 2 + (x 4 y 2 z 2 ) 2 + (x 2 y 2 z 4 ) 2 x 6 y 6 z 4 + x 6 y 4 z 6 + x 4 y 6 z 6 B 8 (x 3 y 3 z 2 ) 2 + (x 2 y 3 z 3 ) 2 + (x 3 y 2 z 3 ) 2 x 5 y 6 z 5 + x 6 y 5 z 5 + x 5 y 5 z 6 B 8 (xyz) 5 .x + (xyz) 5 .y + (xyz) 5 .z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3) B 8 min = 3 x = y = z = 1 Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : 3 = x + y + z 9 = (x+ y + z) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ).3 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 9 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ).3 3 x 4 + y 4 + z 4 9 (x 4 + y 4 + z 4 ) 2 (x 8 + y 8 + z 8 ).3 3 x 8 + y 8 + z 8 9 (x 8 + y 8 + z 8 ) 2 (x 16 + y 16 + z 16 ).3 B 8 = x 16 + y 16 + z 16 3 . B 8 min = 3 x = y = z = 1 Vậy : B 8 min = 3 x = y = z = 1 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 7 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS II. Nhận xét : Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán. Trớc khi đi nghiên cứu ph- ơng pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau : III. Một số bài tập đề nghị : 1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Tìm GTNN của A = (1+ a 1 ) (1+ b 1 ) (1+ c 1 ) 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B = 22 32 ba ab + + 3. Cho a,b,c > 0 a) Tìm GTNN của C = ba c ac b cb a + + + + + b) Tìm GTNN của D = c ba b ac a cb ba c ac b cb a + + + + + + + + + + + 4. Cho x,y,z 4 3 và x + y + z = 1 Tìm GTLN E = 343434 +++++ zyx 5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1 Tìm GTLN của F = cbcaba +++++ 6. Cho 0 x 3 4 . Tìm GTLN của G = 4x 2 - 3x 3 7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) 8. Cho x,y,z,t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1 Tìm GTLN của I = x 2 y 2 z 2 .t 9. Cho x,y,z,t 0 và xt + xy + z + yzt = 1 Tìm GTLN của K = xyzt 10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Ph ơng pháp 03 : ( Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ ) Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn. I. Các ví dụ minh hoạ : Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 8 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS 1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của C 1 = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 12 Giải : C 1 = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 12 C 1 = ( x 4 + 6x 3 + 19x 2 + 30x + 25) - 6 (x 2 + 3x + 5) + 17 C 1 = (x 2 + 3x + 5) 2 - 6 (x 2 + 3x + 5) + 17 Đặt : x 2 + 3x + 5 = a C 1 = a 2 - 6a + 17 = a 2 + 6a + 9 + 8 C 1 = (a-3) 2 + 8 8 do (a-3) 2 0 a. C 1 min = 8 a - 3 = 0 a = 3 x 2 + 3x + 2 = 0 = = 2 1 y x Vậy : C 1 min = 8 = = 2 1 y x 2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của C 2 = 2. + 2 2 2 2 x y y x - 5 6+ + x y y x với x,y > 0 Giải : Đặt : x y y x + = a 2 2 2 2 2 x y y x + = a 2 - 2 C 2 = 2.( a 2 - 2) - 5a + 6 = 2a 2 - 5a + 2 Ta thấy : a 2 C 2 = 2a 2 - 5a + 2 0 C 2 min = 0 a = 2 x = y > 0 Vậy : C 2 min = 0 x = y > 0 3. Ví dụ 3: Tìm GTNN của C 3 = x y y x + - x y y x 33 + 2004 với x,y>0 Giải : Đặt : x y y x + = a 2 x y y x + = a 2 - 2 Khi đó : C 3 = (a 2 - 2) - 3a + 2004 C 3 = a 2 - 3a + 2004 = a 2 - 3a + 2 + 2002 C 3 = (a-1) (a-2) + 2000 Do ta có : a 2 a - 1> 0 ; a - 20 (a-1) (a-2) 0 C 3 = (a-1) (a-2) + 2000 2000 C 3 min = 2000 a = 2 x = y ; xy > 0 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 9 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Vậy C 3 min = 2000 x = y và xy > 0 4. Ví dụ 4: Cho x,y,z > 0 Tìm GTNN của C 4 = yx z zx y zy x + + + + + Giải : Đặt : a = zy + ; b = zx + ; c = yx + zyx ++ = 2 cba ++ 2 cba x ++ = ; 2 cba y + = ; 2 cba z + = Khi đó : C 4 = 222 cbacbacba + + + + ++ C 4 = +++++ 3)()()( 2 1 a c c a b c c b a b b a Theo Côsi với a,b,c >0 ta có : 2;2;2 +++ b c c b a c c a a b b a C 4 2 3 )3222( 2 1 =++ C 4 min = 2 3 a = b = c x = y = z > 0. Vậy C 4 min = 2 3 x = y = z > 0. 5. Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của C 5 = 2222 2222 )1()1( )1)(( yx yxyx ++ Giải : Ta có : 4 )( 2 ba + a.b (1) a,b và ab ba 4 )( 2 (2) a,b Đặt : a yx yx = ++ + )1)(1( 22 22 và b yx yx = ++ )1)(1( 1 22 22 Khi đó : C 5 =a.b Theo (1) và (2) ta có : - 4 )( 2 ba + C 5 = ab 4 )( 2 ba + - 2 22 2222 5 2 22 2222 )1)(1( 1 4 1 )1)(1( 1 4 1 ++ + ++ + yx yxyx C yx yxyx - 2 22 22 5 2 22 22 )1)(1( )1)(1( 4 1 )1)(1( )1)(1( 4 1 ++ + ++ + yx yx C yx yx - 2 2 2 1 1 . 4 1 + x x C 5 2 2 2 1 1 . 4 1 + y y Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 10 [...]... m,n N* 2 Cho a, b, c, d N* và a + b = c + d = 1000 Tìm GTLN của B = a b + c d 3 Cho m, n N và 1 m ; n 1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1 Tìm GTLN của C = m2 + n2 Phơng pháp 07: ( Phơng pháp hình học ) Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các... 1 2 1 2 1 và a+ b + c = 1 2 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 3 Cho a - ; b - ; c Tìm GTLN của C = 4 Cho x,y > 0 Tìm GTNN của D = x y y2 x2 + 2 3 + + 4 y x 2 y x Phơng pháp 04 : ( Sử dụng biểu thức phụ ) Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi ngời ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A... + (1 a) 2 Phơng pháp 05 : ( Phơng pháp miền giá trị ) Trong một số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số và đa đợc về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả Đờng lối chung là : Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x D Điều... 10 ) tại x = 2 Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi ngời giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán Bài tập tham khảo : Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x 2 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 4 x 2 + 2 x + 1 4 x 2 2 x + 1 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 22 ... 18 x 2 10 x + 25 3 Tìm GTLN và GTNN của : 4x + 3 x2 + x +1 a) A = ; b) B = 2 ; 2 x +1 x +1 8 x 2 + 6 xy c) C = 2 2 x +y Phơng pháp 06 : ( Phơng pháp xét từng khoảng giá trị ) Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất đẳng thức cơ bản phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phơng pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó... A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức : 1 , -A, A kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số) I Các vị dụ minh hoạ : x2 1 Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = 4 x + x2 + 1 Giải : a) Xét x = 0 A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x 0 ta có A > 0 b) Xét x 0 đặt P = 1 khi đó Amax Pmin A với cách đặt trên ta có : P = x4 + x2 + 1 1 = x2 + 2 +1 2 x x Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn... (0, 2x) ; F (x-4, 0) DE = x 2 + (2 x 8) 2 ; EF = ( x 4) 2 + (2 x) 2 ; DF = 4 5 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 21 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS ta có : DE + EF DF x 2 + (2 x 8) 2 + ( x 4) 2 + (2 x) 2 4 5 (3) Cộng (2) và (3) ta có : VT 4( 5 + 10 ) VT = 4( 5 + 10 ) khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng D,E,F thẳng hàng PT đờng thẳng đi qua AB nhận C (0, 10) là nghiệm... y > 0 II Các bài tập đề nghị : 1 Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1 xy yz zx Tìm GTNN của A = z + x + y 2 Cho x 0 x8 + x 4 + 1 Tìm GTNN của B = x4 3 Cho x 0 Tìm GTLN của C = x 16 x8 + x8 + 1 4 Cho a2 + b2 + c2 = 1 Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c 5 Cho a,b > 0 và a + b = 2 Tìm GTNN của E = 1 4 4 1 2 2 a b 6 Cho a, b, c, d > 0 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 14... = 3 Ví dụ 3: Cho a,b,c dơng và a + b + c = 3 Tìm GTLN của C = 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a Giải : Do a,b,c > 0 C > 0 Đặt : P = C2 khi đó PMax CMax Ta có : P = ( 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a )2 P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P 3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3 PMax = 81 a = b = c = 1 2 C Max = 81 a = b = c = 1 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn... điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó Lý thuyết cần vận dụng + Nếu A(x1, y1); B (x2, y2) AB = ( x1 x 2 ) 2 + ( y1 y 2 ) 2 Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 20 Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS + Với 3 điểm M, A, B bất kỳ ta có : |MA - MB| AB MA + MB Các ví dụ minh họa 1.Ví dụ 1: Cho f(x) = x 2 4 x + 5 x 2 10 x + 50 Hãy tìm giá trị lớn nhất của f(x) Giải . Ph ơng pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà. đợc giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp. ) Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ