Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học BÀI TẬP CHƯƠNG GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1 Chứng minh C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1) 0.2 Chứng minh n C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 k =1 0.3 Chứng minh 1 C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + … + C(n,n) = n +1 n ∑ k + C (n, k ) = k =0 ( ) n +1 − n +1 C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – -  Bài tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học CHƯƠNG SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT 1.1 Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tính xác suất để hai người xác định ngồi cạnh 1.2 Có n người ngồi ngẫu nhiên ghế dài Tính xác suất để hai người xác định ngồi cạnh 1.3 Một cỗ gồm 52 quân có chất, chất 13 quân Từ cỗ xóc kỹ ta rút ngẫu nhiên quân a) Tính xác suất cho quân rút có Át b) Tính xác suất cho quân rút có đủ đại diện chất 1.4 Có n đơi găng tay thuộc n loại khác bỏ lẫn lộn ngăn kéo Rút ngẫu nhiên 2.k (4 ≤ 2k ≤ n) Tính xác suất rút đơi 1.5 Bốn sinh viên vào phòng học Giả sử người vào phịng với khả Tính xác suất để a) Cả người vào phòng b) Bồn người vào phòng khác  Bài tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học BÀI GIẢI CHƯƠNG GIẢI TÍCH KẾT HỢP 0.1 Chứng minh n C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = ∑ C (k , p ) k=p = C(n+1,p+1) CM Sử dụng công thức Pascal C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1) ta có n n n k= p k= p ∑ C (k , p) = ∑ C (k + 1, p + 1) − ∑ C (k , p + 1) k=p = C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1) 0.2 Chứng minh n C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) = ∑ k.C (n, k ) = n.2n−1 k =1 CM Sử dụng cơng thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có n n n −1 ∑ k.C (n, k ) = ∑ n.C (n − 1, k − 1) = n ∑ C (n − 1, h) k =1 k =1 = n.2n−1 h=0 0.3 Chứng minh n 1 1 C (n, k ) = n +1 − C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + … + C(n,n) = ∑ n +1 n +1 k =0 k + CM Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có n n 1 n +1 C (n, k ) = ∑ C (n + 1, k + 1) = ∑ k +1 ∑ C (n + 1, h) = n + 2n +1 − n + h =1 k =0 k =0 n + ( (  Bài tập ) ) Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học C©u hái lý thuyết XSTK chơng Biến ngẫu nhiên III Biến ngẫu nhiên liên tục LT.2.III.1 Phát biểu định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên liên tục khác biến ngẫu nhiên rời rạc nh ? Cho ví dụ LT.2.III.2 Cho X biến ngẫu nhiên liên tôc H·y chøng minh (i) P(X = x) = ∀x∈R b (ii) (iii) P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx a Hàm phân phối F(x) liên tục R khả vi điểm liên tục hàm mật độ f F(x) = f(x) LT.2.III.3 Định nghĩa kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục Phát biểu chứng minh tính chất kỳ vọng LT.2.III.4 Định nghĩa phơng sai độ lệch quân phơng biến ngẫu nhiên liên tục Phát biểu chứng minh tính chất phơng sai LT.2.III.5 Định nghĩa phơng sai độ lệch quân phơng biến ngẫu nhiên liên tục Chứng minh công thức Koenig-Huyghens tính phơng sai LT.2.III.6 Định nghĩa Mode Trung vị biến ngẫu nhiên liên tục Tìm mode trung vị biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E() LT.2.III.7 Trình bày luật phân phối [a;b] U([a;b]): Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật độ, kỳ vọng phơng sai, đồ thị LT.2.III.8 Trình bày luật phân phối mũ với tham số E() : Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật độ, kỳ vọng phơng sai, đồ thị LT.2.III.9 Định nghĩa khái niệm Momen cấp k biến ngẫu nhiên liên tục Tìm momen cấp biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E() LT.2.III.10 Định nghĩa khái niệm Hệ số bất đối xứng biến ngẫu nhiên liên tục Tìm hệ số bất đối xứng biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phèi mò E(λ)  Bài tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toỏn hc LT.2.III.11 Định nghĩa khái niệm Hệ số nhọn biến ngẫu nhiên liên tục Tìm hệ số nhọn biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối U([a;b]) LT.2.III.12 Trình bày luật phân phối qui N(m,): Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật độ, kỳ vọng phơng sai, đồ thị LT.2.III.13 Lập công thức tính x¸c st P(α < X < β) cđa biÕn ngÉu nhiên X có phân phối N(m,) theo hàm phân phối φ cđa lt ph©n phèi chÝnh qui chn N(0,1) LT.2.III.14 Lập công thức tính xác suất P( X - m < ) biến ngẫu nhiên X có phân phối N(m,) theo hàm phân phối luật phân phối qui chuẩn N(0,1) LT.2.III.15 Phát biểu chứng minh qui tắc nêu ví dụ ứng dụng LT.2.III.16 Trình bày cách sử dụng bảng tính (x), cho ví dụ LT.2.III.17 Trình bày cách sử dụng bảng tính -1(u), cho ví dụ LT.2.III.18 Trình bày luật phân phối mũ E(): Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật độ, kỳ vọng phơng sai, đồ thị Bi Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học BT II.3.01 Mét sù kiƯn A cđa phÐp thư α cã x¸c st P(A)=3% Thực phép thử 1000 lần Gọi X số lần xuất kiện A a) Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên X b) Xấp xØ lt ph©n phèi cđa X b»ng lt ph©n phèi Poisson, luật phân phối chuẩn c) Sử dụng hàm phân phối chuẩn, tính gần xác suất: kiện A xuất không 20 lần BT II.3.02 mét nót giao th«ng cø h cã mét xe qua, xác suất pan xe p HÃy tính xác suất có xe bị pan khoảng thời gian từ 7g00 đến 19g00 trong: a) năm 90: h=15, p=5% b) năm 60: h=30, p=50% BT II.3.03 Trong 100 vÐ sè cã vÐ cã thởng Một ngời mua vé a) Tìm xác suất ®Ĩ ngêi ®ã cã Ýt nhÊt vÐ tróng thëng b) Ngời phải mua vé để xác suất có vé trúng thởng không nhỏ 0,5 BT II.3.04 Một ngời trung bình có ngày bị ốm năm (365 ngày) Tính xác suất để ngời 18 tháng có ngày bị ốm BT II.3.05 Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối mũ E() a) Viết bất đẳng thøc Trebsep víi tham sè ε >0 b) Tõ a) suy t>0:t2.e-t e c) HÃy đánh giá độ xác bất đẳng thức Bi Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học BT II.3.06 Mét xóc sắc gieo có xác suất xuất mặt chấm p , 00 Gäi T1, , Tn lµ ti thä cđa n hạt chất phóng xạ, phân rà độc lập Ký hiệu S n tuổi thọ hạt phân rà a) Xác định hàm phân phối Sn b) Khảo sát hội tụ theo luật d·y biÕn ngÉu nhiªn (n.S n)n≥1 c) Chøng minh r»ng Mn = T1 + + Tn XS → n λ BT II.3.11b Ti thä mét chÊt phãng x¹ cã lt ph©n phèi mị E(λ), λ>0 Gäi T1, , Tn tuổi thọ n hạt chất phóng xạ, phân rà độc lập Ký hiệu R n tuổi thọ hạt cuối phân rà a) Xác định hàm phân phối Rn Rn n n1 b) Khảo sát hội tơ theo lt cđa d·y biÕn ngÉu nhiªn  c) Chøng minh r»ng Mn = T1 + + Tn XS → n λ BT II.3.12 Cho d·y biÕn ngẫu nhiên (Tn)n0 định nghĩa nh sau: Tn+1= g(Tn), n0, g:II ánh xạ co khoảng I R, có điểm cố định l a) Chøng minh r»ng d·y (Tn) héi tơ theo x¸c st, kéo theo hội tụ theo luật, đến l b) Khảo sát hội tụ theo xác suất theo luật d·y: T0 ~ U([-1,1]); Tn+1 =  Bài tập 2π Tn − t ∫ e dt Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học BT II.4.20 Cho tËp tỉng thể gồm 1000 viên bi Trọng lợng bi X biến ngẫu nhiên kỳ vọng = 25g, độ lệch quân phơng = 0.07g Xét mẫu lặp cỡ 49 : X1 , , X49 a) Xác định phân phối tiệm cận chuẩn đại lợng trung bình M = X + + X 49 49 vµ tÝnh x¸c suÊt 24,98 ≤ M ≤ 25,02 b) LÊy 300 mẫu lặp cỡ 49 Ước lợng số mẫu có 24,98 ≤ M ≤ 25,02 BT II.4.21a XÐt tËp rÊt nhiều trẻ sơ sinh có xác suất bé trai, bé gái a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập Tính xác suất có 40% bé trai từ tập mẫu b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ Ước lỵng sè mÉu cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai BT II.4.21b Xét tập nhiều trẻ sơ sinh có xác suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng a) LÊy mÉu 200 trẻ từ tập Tính xác suất có từ 43% đến 57% bé gái từ tập mẫu b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ Ước lợng số mẫu có từ 43% đến 57% bé gái BT II.4.22 Một thùng kín có 80 cầu, có 60% cầu trắng 40% cầu đen Cho 50 mẫu có lặp cỡ 20 Ước lợng a) số mẫu có số cầu đen số cầu trắng b) có 15 cầu đen c) có 10 cầu trắng BT II.4.23a Bi tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Cho mÉu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng = 0.95 cm độ lệch quân phơng = 0.025cm HÃy xác định khoảng tin cậy đờng kính viên bi với độ tin cậy 95% a) cách sử dụng bất đẳng thức Trebsep b) với giả thiết đờng kính bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn BT II.4.23b Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng = 0.95 cm độ lệch quân phơng = 0.025cm HÃy xác định khoảng tin cậy đờng kính viên bi với độ tin cậy 99% a) trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep b) trờng hợp giả thiết đờng kính bi tuân theo luật phân phèi chn BT II.4.24 Thêi gian thùc hiƯn mét lo¹i phản ứng hoá học biến ngẫu nhiên T độ lệch quân phơng = 0.05 giây HÃy xác định số lần thí nghiệm để với độ tin cậy 95%, độ lệch trung bình cộng thời gian so với kỳ vọng không 0.01 giây a) trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep b) trờng hợp giả thiết biến ngẫu nhiên T tuân theo luật phân phối chuẩn BT II.4.25 Trong đợt bầu cử ngời ta chọn ngẫu nhiên 100 cử tri để thăm dò kết đợc biết có 55% bỏ phiếu cho ứng cử viên A, 45% bầu ứng cử viên B a) HÃy xác định khoảng tin cậy tỉ lệ cử tri bầu ứng cử viên A với ®é tin cËy 95% b) Gi¶ thiÕt tØ lƯ phiÕu bầu chung cho tất cử tri Cần phải thăm dò cử tri để đảm bảo ứng cử viên A có 50% phiếu bầu với độ tin cậy 95% BT II.4.26a Cã N (N rÊt lín) cư tri tham gia bầu cử Để ớc lợng tỉ lệ p số ngời bầu ứng cử viên A, ngời ta chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết Ký hiệu X n số cử tri chọn ứng cử viên A a) HÃy xác định luật phân phối Xn b) Giả thiết n/N 1/10 HÃy xác định luật phân phối tiệm cận đơn giản Xn  Bài tập 10 Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học c) Giả thiết 0.4 p 0.6 HÃy tìm n “nhá nhÊt” ®Ĩ cã thĨ coi X n cã lt ph©n phèi tiƯm cËn chn BT II.4.26b Cã N (N rÊt lín) cư tri tham gia bÇu cư Ký hiƯu p tỉ lệ số ngời bầu ứng cử viên A Ngời ta chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết Ký hiệu X n số cư tri chän øng cư viªn A Xn − p X a) HÃy xác định luật phân phối Fn = n vµ cđa Gn = p(1 − p ) n b) Tìm a > nhỏ thoả P(-a ≤ Gn ≤ a ) ≥ 0.99 c) Cho mÉu cì n=1000 , ta cã tÇn st ngêi bá phiếu cho A f=0,55 Tìm khoảng ớc lợng [p1 , p2 ] cđa p víi ®é tin cËy Ýt nhÊt lµ 0.99 BT II.4.28 XÐt tËp tỉng thĨ cã N (N lớn) phần tử, biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tơng ứng a1 , , aN Ký hiƯu µ = E(X) vµ σ2 = D(X) Chọn ngẫu nhiên mẫu không lặp cỡ n (n < N) (X1 , , Xn) Ký hiÖu M = X + + X n n a) Chøng minh D(M) = σ N − n n N b) Tìm giới hạn D(M) N rÊt lín so víi n  Bài tập 11 Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất v thng kờ toỏn hc tập Xác Suất Thống Kª III BiÕn ngÉu nhiªn liªn tơc BT 2.I.5 Cho X biến ngẫu nhiên liên tục với đồ thị hàm mật độ nh sau b -a a Các tham số a b dơng ta nói X tu©n theo luËt ph©n phèi Simpson tham sè a a) BiĨu diƠn b theo a vµ biĨu diƠn têng minh hàm mật độ f b) Xác định hàm phân phối F X vẽ đồ thị c) Tính kỳ vọng E(X) phơng sai V(X) BT 2.I.6 a) Xác định số thực a để hàm f cho bëi f(x) = nÕu x ≤ vµ f(x) = a/(x2-1/4) nÕu x > lµ hµm mËt độ biến ngẫu nhiên liên tục b) Xác định hàm phân phối F X c) Kỳ vọng E(X) có tồn hay không ? Nếu tồn tại, hÃy tính E(X) d) Phơng sai V(X) có tồn hay không ? Nếu tồn tại, hÃy tính V(X) BT 2.I.7 a) Cho aR Xác định số thực để hàm f cho bëi f(x) = nÕu x ≤ a vµ f(x) = λ/(x2 +1) nÕu x > a lµ hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục b) (i) Xác định hàm phân phối F X (ii) Vẽ đồ thị hàm mật độ f hàm phân phèi F c) X cã m«men bËc s ≥ hay không ? BT 2.I.8 Cho hàm F nh sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) ∀x∈R a) (i) Chứng tỏ F hàm phân phối F biến ngẫu nhiên liên tục X (ii) Xác định hàm mật độ f X b) Chứng tỏ X biến ngẫu nhiên trung tâm (kỳ vọng E(X)=0) c) Chứng minh X có phơng sai V(X) +  Bài tập 12 Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học V(X) = 4.∫ t.e-t/(et + e-t)dt BT 2.I.9 Cho hµm f nh sau: f(x) = nÕu x < vµ f(x) = λ / (x3 + ) nÕu x a) (i) Xác định a, b, c ®Ó ∀x∈R: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1) (ii) TÝnh tÝch ph©n +∞ -∞ ∫ 1/(t3 + 1)dt (iii) Xác định để f mật độ biến ngẫu nhiên b) Cho X biến ngẫu nhiên có mật độ f Tính hàm phân phèi F cña X c) Chøng tá X cã kú vọng E(X) Tính E(X) d) X có phơng sai không ? BT 2.I.10 a) (i) Cho x ≥ Chøng minh sù héi tơ cđa tÝch ph©n +∞ I(x) = ∫ λ e −t − / dt 2.π x (ii) Xác định để hàm f định nghĩa nh sau: f(x) = nÕu x < vµ f(x) = I(x) x mật độ biến ngẫu nhiên X b) Xác định hàm phân phối F cđa X c) (i) Chøng minh r»ng tån t¹i K cho ∀x ≥ 2: f(x) ≤ K.e-x (ii) Từ câu (i) suy X có mômen bËc k BT 2.I.11 Cho hµm f nh sau: f(x) = λ.2-x nÕu x ≥ vµ f(x) = µ.2x x < 0, số thực a) phải thoả mÃn quan hệ để f mật độ biến ngẫu nhiên b) phải thoả mÃn quan hệ để f mật độ biến ngẫu nhiên trung tâm (có kỳ vọng 0) c) Chứng minh biến ngẫu nhiên X câu b) có phơng sai HÃy tính phơng sai d) Xác định hàm phân phối F X e) Cho Y biến ngẫu nhiên Y = [X] ([x] phần nguyên x) Xác định luật phân phối Y tính E(Y) BT 2.I.12 Cho X biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục R Giả thiết f(x) = ∀x ≤ Chøng minh r»ng Y = ln(X) biến ngẫu nhiên liên tục xác ®Þnh mËt ®é cđa Y BT 2.I.13  Bài tập 13 Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Cho X lµ biÕn ngẫu nhiên có mật độ f liên tục R Đặt Y = ea.X + b , a > vµ b ∈ R a) Chøng minh r»ng Y biến ngẫu nhiên b) Xác định hàm mật ®é cđa Y BT 2.II.9 Cho X lµ biÕn ngÉu nhiên tuân theo luật phân phối Gama (b,) có mật ®é fb,τ(x) = nÕu x ≤ xτ-1.e-x/b +∞ fb,τ(x) =  nÕu x > ( Γ(τ) = ∫ uτ-1.e-udu ) bτ Γ(τ) a) Chøng minh r»ng mômen gốc bậc s tồn s1 b) Tính mômen gèc bËc s (s≥1) BT 2.II.10 a) Cho X lµ biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(,a,b) cã mËt ®é fα,a,b (x) = nÕu x ≤ b + a α a α+1 fb,τ(x) =   nÕu x > b + a a x-b Cho Y biến ngẫu nhiên Y = .X + (>0, àR) Xác định luật phân phối Y b) Tính kỳ vọng phơng sai X VP(,1,0) c) Sử dụng kết câu b) tính kỳ vọng ph¬ng sai cđa X ≈ VP(α,a,b) BT 2.II.11 Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E() a) Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên Y = a.Xk ( a > k > ) b) Xác định luật phân phối biÕn ngÉu nhiªn Y = c.X (c>0) BT 2.II.12 Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phèi Pareto VP(α,a,0) cã mËt ®é fα,a,b (x) = nÕu x ≤ a α a α+1 fb,τ(x) =  x > a a x a) Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên Y = logk (X/a) ( a > vµ k > ) b) Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên Y = Xc (c>0) BT 2.II.13 Cho X lµ biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối qui N(0,) a > Xác định để xác st P(X∈[a-1,a+1]) lµ lín nhÊt BT 2.II.14  Bài tập 14 Tr ần Qu ốc Chi ến: ph©n Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Sư dơng b¶ng hàm phân phối luật phân phối qui N(0,1) tÝnh tÝch ∫e -x + x dx (Cho biÕt √2 = 1.42 , π = 3.14 ) BT 2.II.15 a) Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối [a;b] Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên Y = .X + β (α ≠ 0, β ∈ R) b) Cho ϕ:R R song ánh khả vi liên tục có đạo hàm (x) xR Giả thiết biến ngẫu nhiên X (X) tuân theo luật phân phối tơng ứng [a,b] [c,d] Chứng minh r»ng ϕ lµ hµm afin BT 2.II.16 a) Cho α > vµ β > vµ B(α,β) = ∫ tα -1 (1-t)β-1 dt (i) (ii) (iii) Chøng minh r»ng β.B(α+1,β) = α.B(α,β+1) Chøng minh r»ng B(α,β+1) + B(α+1,β) = B(α,β) Chøng minh r»ng B(α,β) = B(β,α) (iv) Chøng minh r»ng B(α+1,β) = α  B(α,β) α+β b) Cho gα,β(x) lµ hµm nh sau gα,β(x) = nÕu x ∉ [0,1] gα,β(x) =  xα-1.(1- x)β-1 nÕu x ∈ [0,1] B(α,β) Chøng minh r»ng gα,β(x) lµ hàm mật độ biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên có mật độ g, gọi tuân theo luật phân phối Beta với tham số c) Tính kỳ vọng phơng sai biến ngẫu nhiên cã mËt ®é gα,β BT 2.II.17 a) Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối qui N(0,1) Xác định luật phân phối biến ngẫu nhiên Y = X gọi luật phân phối khi-bình bậc tự b) Xác định kỳ vọng phơng sai biến ngẫu nhiên Y c) Xác định kỳ vọng phơng sai biến ngẫu nhiên Y = X víi X cã ph©n phèi N(m,σ) BT 2.II.18  Bài tập 15 Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán hc Cho X biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F X song ánh đơn điệu tăng từ R vào (0,1) a) Xác định luật phân phối biÕn ngÉu nhiªn Y = FX(X) b) TÝnh kú väng phơng sai Y Bi 16 ...Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học CHƯƠNG SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT 1.1 Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tính xác suất để hai người xác định ngồi cạnh 1.2 Có n... Tính xác suất rút đơi 1.5 Bốn sinh viên vào phòng học Giả sử người vào phịng với khả Tính xác suất để a) Cả người vào phòng b) Bồn người vào phòng khác  Bài tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác. .. suy t>0:t2.e-t e c) HÃy đánh giá độ xác bất đẳng thức Bi tập Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học BT II.3.06 Mét xúc sắc gieo có xác suất xuất mặt chÊm lµ p , 0