Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Nguyễn Tri Phương Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút  Câu 1/ (1đ) Cho x = 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 + + − − + + .Chứng minh rằng x là một số nguyên . Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . Chứng minh rằng : + + + = = xy 1 yt 1 xt 1 NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1 y t x . Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax 2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx 2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + n 2 ≥ . Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó . Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . a/ (1,5đ) Chứng minh EB 2 +EC 2 + EA 2 không phụ thuộc vị trí điểm A . b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) . c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = 3 2 AK . Khi A di động trên đường tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ? ỏp ỏn v biu im chm Toỏn 9 Cõu Ni dung im Cõu1 (1) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 125 125 a 3 9 và b = 3 9 27 27 5 Thì a b 6 và a.b = 3 x a b x a b 3ab(a b) x = 6 - 5x (x 1)(x x 6) 0 Mà x x 6 0(do ).Suy ra x 1.Vậy x Z = + + + + = = = + + = + + > = 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 2 (1,5) T ng thc vi iu kin do bi ó cho suy ra : 1 1 1 x y z y z x + = + = + (1) y z 1 1 x y z y zy 1 1 z x (1) y z x z xz x y 1 1 z x y x xy = = = = = = (2) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y z z x x y x y y z z x zyzxxy = (3) T (3) = = = x y z Học sinh chứng minh đ ợc rằng xyz 1 0,25 0,5 0,25 0,5 Cõu 3 (1,5) Ta cú : x = m l nghim ca a thc f(x)= ax 2 + bx + c + + = + = + + + = 2 2 2 2 Suy ra am bm c 0 (1), mà m > 0 (gt) b c 1 1 (1) a + 0 a + b( ) c( ) = 0 (2) m m m m 1 Đẳng thức này chứng tỏ rằng x= là nghiệm của m 1 đa thức g(x) = cx bx a 0 Vậy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3) m Ta có + 1 1 m+n = m + 2 m. (do ) m m Hay m n 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 4 (2) Nu m =1 thỡ d(1) l ng thng y= -1 nờn khong cỏch t O n d(1) l 1 Nu m =2 thỡ d(2) l ng thng x = 1 nờn khong cỏch t O n d(2) l 1 (1) 0,25 0,25 Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại A 1 ;0 m 1    ÷ −   và cắt trục tung tại B    ÷ −   1 0 ; m 2 Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lín nhÊt 1 1 1 (m 1) (m 2) OH OA OB 1 3 1 1 2m 6m 5 2 m OH 2 2 2 3 VËy OH 2 OH 2 OH 2 khi m (2) 2 = + = − + −   = − + = − + ≥  ÷   ≤ ⇔ ≤ ⇒ = = Từ (1) và (2) và do 1 < 2 suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là 2 Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 Câu a (1,5đ) Câu b (1,5đ) G K D M A C B O E Gọi G là trung điểm BC thì OG ⊥ BC (đl) suy ra GB = GC và GE = GD (đl) và OG là đường trung bình ∆ ADE nên OG= 1 2 AE hay AE = 2OG Ta có EB 2 +EC 2 = (BG-EG) 2 + (GC+ GD) 2 =(BG-EG) 2 +(BG+EG) 2 Suy ra EB 2 +EC 2 = 2(BG 2 +EG 2 ) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có : OG 2 +GE 2 = r 2 và OG 2 +GB 2 = R 2 Do đó EB 2 +EC 2 +EA 2 =2(BG 2 +EG 2 )+4OG 2 =2 (BG 2 +OG 2 )+2 (EG 2 +OG 2 ) = 2R 2 +2r 2 ( không đổi) Trường hợp đặc biệt : G D M A C B O E G E D≡ ≡ Thì chứng minh trên vẫn đúng Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu c (1đ) Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ∆ ABC đi qua chính là trọng tâm của ∆ ADE Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ∆ ADE và AH 3 2 = AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) Mà OGE∆ vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn đường kính OE 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ . Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Nguyễn Tri Phương Môn Toán 9 - Thời gian : 120 phút  Câu 1/ (1đ) Cho x = 3 3 125. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y z z x x y x y y z z x zyzxxy = (3) T (3) = = = x y z Học sinh chứng minh đ ợc rằng xyz 1 0,25 0,5 0,25 0,5 Cõu 3 (1,5) Ta cú : x = m l nghim ca a