1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết những vướng mắc đó. Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - tan b c B = , tan c b C = , 2 . AH HB HC = - 2 2 2 2 2 1 1 1 .AB AC AH AH AB AC AB AC = + ⇒ = + H C B A ⊻ Trong tam giác th ườ ng ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . T ươ ng t ự ta có h ệ th ứ c cho c ạ nh b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - . S p r = (Trong đ ó p là n ữ a chu vi, r là bán kính vòng tròn n ộ i ti ế p tam giác) - 4 abc S R = ⊻ Th ể tích kh ố i đ a di ệ n: - 1 . 3 chop V B h = (B là di ệ n tích đ áy, h là chi ề u cao) - . LT V B h = Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Kh ố i chóp có 1 c ạ nh góc vuông v ớ i đ áy đ ó chính là chi ề u cao. - Loại 2: Kh ố i chóp có 1 m ặ t bên vuông góc v ớ i đ áy thì đườ ng cao chính là đườ ng vuông góc k ẻ t ừ đỉ nh đế n giao tuy ế n c ủ a m ặ t bên và đ áy. - Loại 3: Kh ố i chóp có 2 m ặ t k ề nhau cùng vuông góc v ớ i đ áy thì đườ ng cao chính là giao tuy ế n c ủ a 2 m ặ t k ề nhau đ ó. 2 - Loại 4: Kh ố i chóp có các c ạ nh bên b ằ ng nhau ho ặ c các c ạ nh bên cùng t ạ o v ớ i đ áy 1 góc b ằ ng nhau thì chân đườ ng cao chính là tâm vòng tròn ngo ạ i ti ế p đ áy. - Loại 5: Kh ố i chóp có các m ặ t bên đề u t ạ o v ớ i đ áy 1 góc b ằ ng nhau thì chân đườ ng cao chính là tâm vòng tròn n ộ i ti ế p đ áy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có m ặ t ph ẳ ng ( ) SAB và ( ) SAC cùng t ạ o v ớ i đ áy góc α thì chân đườ ng cao h ạ t ừ đỉ nh S thu ộ c phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB SC = ho ặ c , SB SC cùng t ạ o v ớ i đ áy m ộ t góc α thì chân đườ ng cao h ạ t ừ S r ơ i vào đườ ng trung tr ự c c ủ a BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009 ) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình thang vuông t ạ i A và D , có 2 , AB AD a CD a = = = . Góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng ( ),( ) SCB ABCD b ằ ng 60 0 . G ọ i I là trung đ i ể m AD bi ế t 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc v ớ i đ áy ABCD . Tính th ể tích kh ố i chóp SABCD . HD giải: Vì 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc v ớ i đ áy ABCD mà ( ) SBI và ( ) SCI có giao tuy ế n là SI nên ( ) SI ABCD ⊥ . K ẻ IH BC ⊥ ta có góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng ( ),( ) SCB ABCD là 0 ˆ 60 SHI = . T ừ đ ó ta tính đượ c: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a = = − − = − − = nên 2 IBC S IH BC ∆ = = 3 3 5 a . T ừ đ ó tính đượ c 3 3 15 5 SABCD V a = . H I S D C B A 3 Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho l ă ng tr ụ đứ ng ' ' ' ABCA B C có đ áy ABC là tam giác vuông t ạ i B , , ' 2 , ' 3 AB a AA a A C a = = = . G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a đ o ạ n ' ' B C , I là giao đ i ể m c ủ a BM và ' B C . Tính th ể tích kh ố i chóp IABC theo a HD giải: - ' ' ' ABCA B C là l ă ng tr ụ đứ ng nên các m ặ t bên đề u vuông góc v ớ i đ áy. ( ' ) I B BC ⊂ ⊥ ( ) ABC , t ừ I ta k ẻ IH BC ⊥ thì ( ) IH ABC ⊥ và I chính là tr ọ ng tâm tam giác ' ' BB C 2 4 ' ' 3 3 IH CI a IH BB CB ⇒ = = ⇒ = Có 2 2 2 2 2 2 AA 9 4 5 2 AC A C a a a BC AC AB a ′ ′ = − = = = ⇒ = − = 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 IABC a V IH dt ABC a a a = = = ( đ vtt) A M O B I H C C' B' A' Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đ áy ( ) ABCD là hình ch ữ nh ậ t v ớ i , 2, AB a AD a SA a = = = và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( ) ABCD . G ọ i , M N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AD và SC ; I là giao đ i ể m c ủ a BM và AC . Ch ứ ng minh r ằ ng m ặ t ph ẳ ng ( ) SAC vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( ) SMB . Tính th ể tích kh ố i t ứ di ệ n ANIB . Lời giải: +) Ch ứ ng minh ( ) ( ) SAC SMB ⊥ . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3; 4 2 a a AC AB BC a a a BM AB AM a= + = + = = + = + = G ọ i O AC BD = ∩ ;do I là giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng trung tuy ế n AO và BM nên là tr ọ ng tâm c ủ a tam giác ABD . 4 Theo tính ch ấ t tr ọ ng tâm c ủ a tam giác ta có: 2 1 3 2 6 ; 3 3 3 3 3 a a AI AO AC BI BM= = = = = Nh ậ n xét: 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a AI BI a AB + = + = = , suy ra tam giác AIB vuông t ạ i I . Do đ ó BM AI ⊥ (1) M ặ t khác: ( ) SA ABCD ⊥ nên SA BM ⊥ (2) T ừ (1) và (2) suy ra ( ) BM SAC ⊥ +) Tính th ể tích kh ố i t ứ di ệ n ANIB Do NO là đườ ng trung bình c ủ a tam giác SAC nên ta có: / / NO SA và 1 2 2 a NO SA = = Do đ ó NO là đườ ng cao c ủ a t ứ di ệ n ANIB Di ệ n tích tam giác đề u AIB là: 2 1 1 3 6 2 . . 2 2 3 3 6 AIB a a a S AI BI= = = Th ể tích kh ố i t ứ di ệ n ANIB là: 2 3 1 1 2 2 . . 3 3 6 2 36 AIB a a a V S NO= = = N M I D C B A S O Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đ áy ABC là tam giác cân v ớ i 3 , 2 AB AC a BC a = = = . Các m ặ t bên đề u h ợ p v ớ i đ áy m ộ t góc 0 60 . Tính th ể tích kh ố i chóp SABC Lời giải: G ọ i O là hình chi ế u c ủ a S trên m ặ t ph ẳ ng ( ) ABC và , , I H J l ầ n l ượ t là hình chi ế u c ủ a O trên , , AB BC CA . Theo đị nh lý ba đườ ng vuông góc ta có: , , SI AB SJ AC SH BC ⊥ ⊥ ⊥ Suy ra:    , , SIO SJO SHO l ầ n l ượ t là góc h ợ p b ở i các m ặ t bên ( ) ( ) ( ) , , SAB SAC SBC và m ặ t đ áy Theo gi ả thi ế t ta có:    0 60 SIO SJO SHO= = = Các tam giác vuông , , SOI SOJ SOH b ằ ng nhau nên OI OJ OH = = Do đ ó O là tâm đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác ABC 5 M ặ t khác: ABC là tam giác cân t ạ i A nên AH v ừ a là đườ ng phân giác, v ừ a là đườ ng cao, v ừ a là đườ ng trung tuy ế n Suy ra , , A O H th ẳ ng hàng và H là trung đ i ể m c ủ a BC Tam giác ABH vuông t ạ i H , ta có: 2 2 2 2 9 2 2 AH AB BH a a a = − = − = Di ệ n tích tam giác ABC là: 2 1 1 . .2 .2 2 2 2 2 2 ABC S BC AH a a a= = = Ngoài ra: ABC S pr = , v ớ i ( ) 1 4 2 p AB AC BC a = + + = và r : bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p ABC ∆ . 2 2 2 2 4 2 ABC S a a r OH p a ⇒ = = = = Tam giác SOH vuông t ạ i O , ta có: 0 6 tan 60 2 a SO OH = = Th ể tích kh ố i chóp SABC là: 3 2 1 1 6 2 3 . .2 2. 3 3 2 3 ABC a a V S SO a = = = J H I S O C B A Chú ý: Hình chóp có các m ặ t bên h ợ p v ớ i đ áy các góc b ằ ng nhau thì chân đườ ng cao là tâm đườ ng tròn n ộ i ti ế p đ áy hình chóp. Ví dụ 5) Cho hình l ă ng tr ụ tam giác ' ' ' ABCA B C có đ áy ABC là tam giác vuông t ạ i A 3, AB a AC a = = . Bi ế t đỉ nh ' C cách đề u các đỉ nh , , A B C và kho ả ng cách t ừ đỉ nh B đế n m ặ t ph ẳ ng ( ' ) C AC b ằ ng 6 15 a .Tính th ể tích kh ố i chóp ' ' A ABC theo a và tính cosin góc t ạ o b ở i m ặ t ph ẳ ng ( ' ') ABB A và m ặ t ph ẳ ng đ áy ( ) ABC . - H ạ ' ( ) ' ' ' C H ABC C HA C HB C HC HA HB HC ⊥ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ ⇔ = = Suy ra H là tâm vòng trong ngo ạ i ti ế p tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông t ạ i A nên H là trung đ i ể m c ủ a BC . Ta có: /( ') /( ') 2 B ACC H ACC d d= . H ạ /( ') /( ') 1 3 , ' ( ') 2 15 H ACC B ACC a HM AC HN C M HN ACC d HN d ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = = . 6 Ta có: 1 3 ' 3 2 2 a HM AB C H a = = ⇒ = t ừ đ ó tính đượ c ' 2 . CC a = Có 3 ' ' 1 1 1 1 ' . ( ) . 3. . 3. 3 3 3 2 2 A ABC LT a V V C H dt ABC a a a = = = = - H ạ ' ( ) A K ABC ⊥ thì ' ' C HKA là hình ch ữ nh ậ t . G ọ i I HK AB = ∩ thì 1 / / 2 OI AC = suy ra I là trung đ i ể m c ủ a AB . Tam giác ABC vuông t ạ i A nên KI AB ⊥ ⇒ Góc t ạ o b ở i ( ' ') ABB A và đ áy ( ) ABC là  ' A IK Ta có:  cos ' ' IK A IK A I = . Tính đượ c  2 2 1 13 13 ; ' ' cos ' 2 2 2 ' 13 a a IK IK HK A I IK A K A IK A I = = = + = ⇒ = = N H M C C' B' A' I K B A Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình bình hành  0 2 , , 60 AB a AD a BAD= = = SAB là tam giác đề u . G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a AB , K là hình chi ế u vuông góc c ủ a H lên m ặ t ph ẳ ng ( ) SCD . Tính th ể tích kh ố i chóp SABCD bi ế t 15 5 a HK = và đ i ể m K n ằ m trong tam giác SCD Giải: G ọ i E là trung đ i ể m c ủ a , CD F là trung đ i ể m c ủ a ED V ớ i gi ả thi ế t SA SB = ta suy ra chân đườ ng cao h ạ t ừ S lên m ặ t ph ẳ ng ABCD thu ộ c đườ ng trung tr ự c c ủ a đ o ạ n th ẳ ng AB Nói cách khác chân đườ ng cao h ạ t ừ S lên ( ) ABCD thu ộ c đườ ng th ẳ ng ch ứ a HF H ạ ( ) HK SF HK SCD ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 2 . ( ) 3 SABCD SHCD V V HK dt SCD = = Ta c ầ n tính di ệ n tích tam giác SCD Ta có: 1 ( ) . ; 2 dt SCD SF CD = 7 Mà 2 2 2 2 ; ; SF SK KF SK SH HK KF HF HK = + = − = − SH là đườ ng cao tam giác đề u SAB suy ra: 3, SH a HF = là đườ ng cao tam giác đề u HDE suy ra: 3 2 a HF = Thay s ố ta có: 3 15 10 a SF = V ậ y: 3 2 . 3 1 3 15 3 . . .2 3 2 10 5 5 SABCD a a a V a= = 120° A H K E F D C B S Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đ áy ABC là tam giác vuông cân t ạ i B, AB = BC = 3 a kho ả ng cách t ừ A đế n m ặ t ph ẳ ng (SBC) b ằ ng 2 a và   0 90 SAB SCB= = . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC theo a . Giải: Đ ây là bài toán d ễ làm cho h ọ c sinh b ố i r ố i khi xác đị nh đườ ng cao hình chóp. K S C B A H 8 H ạ ( ) SH ABCD ⊥ vì ( ) AB SH AB SHA AB HA AB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Ch ứ ng minh t ươ ng t ự ta có BC HC HABC ⊥ ⇒ là hình vuông. Ta có HC BC ⊥ k ẻ ( ) 2 HK SC HK SBC HK a ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = M ặ t khác ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 . 6 HK HC SH a HK HC HS HC HK = + ⇒ = = − Th ể tích kh ố i chóp 2 3 1 1 3 6 . 6. 3 3 2 2 SABC ABC a a V SH S a ∆ = = = Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi c ạ nh b ằ ng a, SA SB a = = , 2 SD a = và m ặ t ph ẳ ng (SBD) vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD). Tính theo a th ể tích kh ố i chóp S.ABCD Giải: D O S C B A H H ạ ( ) SH BD SH ABCD SHA SHC SA SC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = T ừ gi ả thi ế t ta suy ra ASC ADC ABC OB SO OD SBD ∆ = ∆ = ∆ ⇒ = = ⇔ ∆ vuông t ạ i S Tính đượ c 2 2 . 6 3, 3 SB SD a BD a SH SB SD = = = + ,suy ra tam giác ABC là tam giác đề u 2 3 1 1 6 3 2 . . . 3 3 3 2 6 SABCD ABCD a a a V SH S= = = Chú ý: Ta có th ể tính th ể tích theo cách: 2 2 . 3 SABCD CSBD SBD V V CO S ∆ = = Trong ví d ụ này chìa khóa để gi ả i quy ế t bài toán là phát hi ệ n ra tam giác SBD vuông t ạ i S Các em hãy rèn luy ệ n d ạ ng toán này qua bài t ậ p sau: 9 ‘’Cho hình chóp SABCD có c ạ nh SD x = ( 0) x > , các c ạ nh còn l ạ i c ủ a hình chóp b ằ ng nhau và b ằ ng a ( 0) x > . Tìm x bi ế t th ể tích kh ố i chóp SABCD b ằ ng 3 2 6 a .’’ B. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi g ặ p các bài toán mà vi ệ c tính toán g ặ p khó kh ă n thì ta ph ả i tìm cách phân chia kh ố i đ a di ệ n đ ó thành các kh ố i chóp đơ n gi ả n h ơ n mà có th ể tính tr ự c ti ế p th ể tích c ủ a nó ho ặ c s ử d ụ ng công th ứ c tính t ỉ s ố th ể tích để tìm th ể tích kh ố i đ a di ệ n c ầ n tính thông qua 1 kh ố i đ a di ệ n trung gian đơ n gi ả n h ơ n. Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: . . . . SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ = (1) A ABC ' S SABC V A A V SA ′ = (2). Công th ứ c (2) có th ể m ở r ộ ng cho kh ố i chóp b ấ t k ỳ . B' A' C' C B A S Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình thoi c ạ nh a , 0 ˆ 60 BAD = , SA vuông góc v ớ i đ áy ABCD , SA a = . G ọ i ' C là trung đ i ể m c ủ a SC , m ặ t ph ẳ ng ( ) P đ i qua AC song song v ớ i BD c ắ t các c ạ nh , SB SD c ủ a hình chóp t ạ i ', ' B D . Tính th ể tích kh ố i chóp SABCD HD giải: G ọ i O là giao 2 đườ ng chéo ta suy ra ' AC và SO c ắ t nhau t ạ i tr ọ ng tâm I c ủ a tam giác SAC T ừ I thu ộ c m ặ t ph ẳ ng k ẻ đườ ng th ẳ ng song song v ớ i BD c ắ t các c ạ nh , SB SD c ủ a hình chóp t ạ i ', ' B D là 2 giao đ i ể m c ầ n tìm. Ta có: 1 2 ; 2 3 SC SD SB SI SC SD SB SO ′ ′ ′ = = = = 10 D ễ th ấ y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 SAB C D SAB C SAB C SABC V V V V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = . . 1 . . 3 SAB C D SAB C ABCD SABC V V SA SB SC V V SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = = = Ta có 3 ( ) 1 1 1 3 3 ˆ . ( ) . . . . . . 3 3 3 2 6 SABCD V SAdt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a= = = = 3 ( ) 3 18 SAB C D V a ′ ′ ′ = ( đ vtt) I C' D' A' D C B A S O Ví dụ 4 ) (D ự b ị A 2007) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t , 2 AB a AD a = = c ạ nh SA vuông góc v ớ i đ áy, c ạ nh SB h ợ p v ớ i đ áy m ộ t góc 60 0 . Trên c ạ nh SA l ấ y M sao cho 3 3 a AM = . M ặ t ph ẳ ng ( ) BCM c ắ t SD t ạ i N . Tính th ể tích kh ố i chóp SBCMN HD giải: T ừ M k ẻ đườ ng th ẳ ng song song v ớ i AD c ắ t SD t ạ i N là giao đ i ể m c ầ n tìm, góc t ạ o b ở i SB và ABCD là  0 60 SBA = . Ta có .tan60 3 SA SB a = = . T ừ đ ó suy ra 3 2 3 2 3 3 3 3 SM SN SM SA AM a a a SA SD = − = − = ⇒ = = D ễ th ấ y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 SABCD SABC SACD SABC SACD V V V V V= + = = ; ( ) ( ) ( ) SBCMN SMBC SMCN V V V= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1. . . 1. . . 1 2 5 2. . . 2. . . 3 9 9 SMBCN SMBC SMCN SMCN SMCN SABCD SABCD SABC SACD V V V V V V V V V SM SB SC SM SC SN SA SB SC SA SC SD + ⇒ = = + = + = + = [...]... Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) 21 Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của... = 12d E /( BMN ) = A' 3a 14 4 71 C' M B' M Q I K N N A C E A E C P H H B B 20 B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt... rất nhiều Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC vuông góc với SD tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải: - Tính thể tích khối chóp SABCD Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt... O C Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt... luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản Tuy nhiên 1 số trường hợp khi việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, thì việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả 1 3V Ta có V(khối chóp)= B.h ⇒ h = 3 B Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy một góc... cách, các em học sinh cần chú ý điều này) Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA = −2 HB Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC theo a Giải: 24 S K F H B A M E D C - Tính thể tích: Vì SH ⊥ ( ABCD) nên HC là hình chiếu... − a 3 ⇒ KH = a 4 2 2 2 2 2 2 2 2 6 Vậy d N /(C ' MA) = a 2 Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: S P N O C A M B Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thi t ta suy ra BS = BA = BC Gọi O là chân đường cao hạ từ B xuống mp ( SAC... 27 S N M D A O B C Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Lời giải: Gọi I , J , K lần lượt là giao điểm của MN và CB, CD, CA Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F Ngũ giác PEMNF là thi t diện của mặt phẳng ( PMN ) và hình chóp 3  CI = 2 CB CB CD CO... đáy là đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh A1; A2 An nên I thuộc mặt phẳng trung trực của SAi đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng ** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta có thể xác định 2 trục đường tròn... tròn của mặt bên và đáy Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục 31 đường tròn Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh a ** Khi tính toán cần lưu ý các công thức: abc abc S= ⇒R= ; a = 2 R sin A, 4R 4S Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = a; AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy . 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn. toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009 ) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình. Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đ áy ABCD là hình bình hành  0 2 , , 60 AB a AD a BAD= = = SAB là tam giác đề u . G ọ i H là trung đ i ể m c ủ a AB , K là hình chi ế u vuông