PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Nguyễn Văn Minh L`o . in´oi d¯ˆa ` u Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng l`al˜ınh vu . . clˆau d¯`o . icu ’ aTo´an ho . c. N´oi nhu . vˆa . ykhˆong c´ongh˜ıa l`an´o“c˜uk˜y”, khˆong c`on ph´at triˆe ’ n d¯u . o . . cn˜u . a, m`a tr´ai la . id¯ˆay l`al˜ınh vu . . c ph´at triˆe ’ nrˆa ´ tsˆoi d¯ˆo . ng cu ’ a To´an Ho . c trong suˆo ´ t nhiˆe ` uthˆa . pky ’ qua. D - iˆe ` un`ay c´othˆe ’ hiˆe ’ ud¯u . o . . c v`ıd¯ˆay l`achiˆe ´ ccˆa ` unˆo ´ icu ’ aTo´an ho . cv´o . ic´ac l˜ınh vu . . ckhoaho . c´u . ng du . ng kh´ac c˜ung nhu . l`ano . ih`oa nhˆa . pcu ’ a nhiˆe ` ul˜ınh vu . . crˆa ´ tkh´ac nhau cu ’ ach´ınh To´an ho . c. Hiˆe . nnayo . ’ nu . ´o . ctac´oxuhu . ´o . ng thu go . ntˆen go . i“phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng” th`anh “phu . o . ng tr`ınh vi phˆan”. C´ach l`am nhu . vˆa . ys˜egˆay nhiˆe ` u nhˆa ` mlˆa ˜ n, nhˆa ´ tl`acho c´ac sinh viˆen. Cˆa ` n pha ’ i phˆan biˆe . tr˘a ` ng thuˆa . tng˜u . “phu . o . ng tr`ınh vi phˆan” bao h`am khˆong chı ’ phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng m`ac`on ca ’ phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯a . oh`am riˆeng, mˆo . tl˜ınh vu . . cgˆa ` ng˜ui v´o . i phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng (v`ac`on rˆo . ng l´o . nho . nrˆa ´ t nhiˆe ` u!). Tˆa . pb`ai gia ’ ng n`ay tˆoi biˆen soa . nv`agia ’ ng cho sinh viˆen hˆe . cu . ’ nhˆan khoa ho . ct`ai n˘ang cu ’ aD - a . iho . cKhoaho . cTu . . nhiˆen, D - a . iho . c Quˆo ´ cgiaH`anˆo . i, v´o . ithamvo . ng khiˆem tˆo ´ nl`a cung cˆa ´ p cho sinh viˆen, trong mˆo . tth`o . igianha . nchˆe ´ (45 tiˆe ´ tho . c), mˆo . th`ınh dung n`ao d¯´ovˆe ` l˜ınh vu . . cn`ay. D - ˘a . cbiˆe . t, tˆoi muˆo ´ n nhˆa ´ nma . nh d¯ˆe ´ nc´ac cˆong cu . d¯ang d`ung rˆo . ng r˜ai trong nghiˆen c´u . uhiˆe . nnay.Tˆa ´ t nhiˆen v´o . imˆo . t khˆong gian ha . nchˆe ´ ch´ung ta chı ’ c´othˆe ’ ch˘a ´ tlo . cnh˜u . ng ´ytu . o . ’ ng quan tro . ng nhˆa ´ tv`a pha ’ itr`ınh b`ay d¯u . o . . cmˆo . tc´ach x´uc t´ıch, d¯o . n gia ’ n nhˆa ´ tc´othˆe ’ d¯u . o . . c. So v´o . ic´ac gi´ao tr`ınh vˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯˜av`ad¯ang d¯u . o . . csu . ’ du . ng o . ’ Viˆe . tNamhiˆe . nnay,tˆoi d¯˜ad¯u . a v`ao tˆa . pc´ac b`ai gia ’ ng n`ay nh˜u . ng chu ’ d¯ˆe ` m´o . isaud¯ˆay: 1. D - i . nh l´y Perron vˆe ` d¯˘a . c tru . ng hˆe . hyperbolic, d¯iˆe ` ukiˆe . ntˆo ` nta . i nghiˆe . mtuˆa ` nho`an, gi´o . inˆo . i, 2. D - ata . pbˆa ´ tbiˆe ´ nv`a´u . ng du . ng trong nghiˆen c´u . uˆo ’ nd¯i . nh, 3. C´ach d`ung phˆa ` nmˆe ` mMapled¯ˆe ’ t´ıch phˆan phu . o . ng tr`ınh vi phˆan. I II L`o . in´oi d¯ˆa ` u Trong khi tˆoi kh´ah`ai l`ong v´o . ic´ach tr`ınh b`ay d¯o . ngia ’ nhaivˆa ´ nd¯ˆe ` d¯ˆa ` utiˆen th`ıvˆa ´ nd¯ˆe ` th´u . ba c`on rˆa ´ tl´ung t´ung. D - iˆe ` un`ay dˆe ˜ hiˆe ’ u v`ıkinhnghiˆe . mc`on chu . a nhiˆe ` u, trong khi “s´u . c´ep” cu ’ a“Th`o . id¯a . i m´ay t´ınh”la . iqu´al´o . n. Tˆoi tin r˘a ` ng rˆa ´ t nhiˆe ` ungu . `o . i trong c´ac ba . n c´othˆe ’ l`am tˆo ´ tviˆe . cn`ay. D - iˆe ` u duy nhˆa ´ ttˆoi lu . u´yc´ac ba . nl`acˆa ` n pha ’ ihiˆe ’ ud¯u . o . . cgi´o . iha . ncu ’ ac´ac phˆa ` nmˆe ` mv`a pha ’ ihiˆe ’ ud¯u . o . . cta . i sao. Tˆoi hy vo . ng viˆe . cd¯´anh m´ay la . ito`an v˘an b`ai gia ’ ng v´o . imˆo . tsˆo ´ bˆo ’ sung b˘a ` ng phˆa ` nmˆe ` msoa . ntha ’ ov˘an ba ’ nLaTeXn`ay s˜egi´up c´ac sinh viˆen, ho . cviˆen cao ho . cv`ac´ac c´an bˆo . nghiˆen c´u . uc´othˆem t`ai liˆe . u tham kha ’ o, nhˆa ´ tl`a trong t`ınh h`ınh thiˆe ´ us´ach vo . ’ hiˆe . nnay. Theo tˆoi c´ac b`ai gia ’ ng n`ay c´othˆe ’ d`ung d¯ˆe ’ da . ymˆo . tchuyˆen d¯ˆe ` vˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng “nˆang cao” cho c´ac l´o . pcaoho . c chuyˆen vˆe ` phu . o . ng tr`ınh vi phˆan v`at´ıch phˆan. Do th`o . igianc´oha . n, m˘a . cdˆa ` ud¯˜arˆa ´ tcˆo ´ g˘a ´ ng v`ad¯˜a nhˆa . nd¯u . o . . c su . . gi´up d¯˜o . cu ’ a nhiˆe ` usinhviˆen trong th`o . i gian gia ’ ng da . y, gi´ao tr`ınh ch˘a ´ cc`on nhiˆe ` uthiˆe ´ us´ot cˆa ` nbˆo ’ sung trong th`o . igiant´o . i. Tˆoi mong nhˆa . nd¯u . o . . c nhiˆe ` u´ykiˆe ´ nphˆeb`ınh cu ’ ac´ac d¯ˆo . cgia ’ xa gˆa ` n. H`aNˆo . i 2002 Nguyˆe ˜ nV˘an Minh D - a . iho . cKhoaho . cTu . . nhiˆen D - a . iho . cQuˆo ´ cgiaH`anˆo . i E-mail: nvminh@netnam.vn MU . CLU . C 1L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at 7 1.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan v`ac´ac d¯i . nh l´ytˆo ` nta . iv`a duy nhˆa ´ tnghiˆe . m 7 1.1.1. Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . vˆe ` c´ac mˆoh`ınh to´an ho . csu . ’ du . ng phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 7 1.1.2. C´ac d¯i . nh l´ytˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tnghiˆe . m 10 1.1.3. D - i . nh l´yPeano 14 1.1.4. D - i . nh l´yvˆe ` th´ac triˆe ’ nnghiˆe . m 15 1.2. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh tˆo ’ ng qu´at 17 1.2.1. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh bˆa . c nhˆa ´ t 17 1.2.2. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ tv`acˆong th´u . cbiˆe ´ nthiˆen h˘a ` ng sˆo ´ 22 1.3. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh c´ohˆe . sˆo ´ h˘a ` ng sˆo ´ v`atuˆa ` nho`an . . 23 1.3.1. H`am ma trˆa . n 23 1.3.2. Phu . o . ng tr`ınh c´ohˆe . sˆo ´ h˘a ` ng sˆo ´ 26 1.3.3. Phu . o . ng tr`ınh c´ohˆe . sˆo ´ tuˆa ` nho`an 30 1.4. Nghiˆe . mgi´o . inˆo . icu ’ aphu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t31 1.4.1. Nghiˆe . mtuˆa ` nho`an 31 1.4.2. Nghiˆe . mgi´o . inˆo . i 33 1.4.3. C´ac khˆong gian h`am chˆa ´ p nhˆa . nd¯u . o . . c 35 1.4.4. Nghiˆe . mgi´o . inˆo . itrˆen nu . ’ a tru . c 35 1.5. B`ai to´an biˆen 36 1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆa ` n nhˆa ´ t 36 1.5.2. Phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t 38 1.6. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh bˆa . ccao 39 1.7. Su . . phu . thuˆo . cliˆen tu . ctheod¯iˆe ` ukiˆe . nband¯ˆa ` uv`atheo tham sˆo ´ 41 2C´ac phu . o . ng ph´ap d¯i . nh lu . o . . ng 44 2.1. Mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 44 III IV MU . CLU . C 2.1.1. C´ac phu . o . ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o . pphu . o . ng tr`ınh thu . `o . ng g˘a . p 44 2.1.2. Phu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tv`aphu . o . ng tr`ınh d¯u . avˆe ` d¯u . o . . cda . ng n`ay 47 2.1.3. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 49 2.1.4. Phu . o . ng tr`ınh d¯u . ad¯u . o . . cvˆe ` da . ng phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 50 2.1.5. Phu . o . ng tr`ınhRicati 52 2.1.6. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı ’ nh 54 2.1.7. Phu . o . ng ph´ap d`ung phˆa ` nmˆe ` mto´an ho . c 56 2.2. Phu . o . ng ph´ap tham sˆo ´ b´e 61 3L´ythuyˆe ´ td¯i . nh t´ınh 62 3.1. L´ythuyˆe ´ tˆo ’ nd¯i . nh 62 3.1.1. Kh´ai niˆe . mˆo ’ nd¯i . nh theo ngh˜ıa Lyapunov . . 62 3.1.2. Phu . o . ng ph´ap th´u . nhˆa ´ t Lyapunov . . . . . . 64 3.1.3. Phu . o . ng ph´ap th´u . hai Lyapunov . . . . . . . 67 3.2. D - ata . pbˆa ´ tbiˆe ´ nv`asu . . mˆa ´ tˆo ’ nd¯i . nh 70 3.2.1. Su . . tˆo ` nta . icu ’ ad¯a ta . pbˆa ´ tbiˆe ´ n 70 3.2.2. T´ınh bˆa ´ tbiˆe ´ ncu ’ ac´ac d¯a ta . p 74 3.2.3. D - ata . pkhˆong ˆo ’ nd¯i . nh v`asu . . mˆa ´ tˆo ’ nd¯i . nh nghiˆe . m 75 3.2.4. Nguyˆen l´yˆo ’ nd¯i . nh thu go . n 75 4Phu . Lu . c77 5B`ai tˆa . p83 6D - ˆe ` thi v`ad¯´ap ´an 96 Chu . o . ng 1 L ´ YTHUY ˆ E ´ TT ˆ O ’ NG QU ´ AT 1.1. PHU . O . NG TR ` INH VI PH ˆ AN V ` AC ´ AC D - I . NH L ´ Y T ˆ O ` NTA . IV ` ADUYNH ˆ A ´ TNGHI ˆ E . M 1.1.1. Mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . vˆe ` c´ac mˆoh`ınh to´an ho . csu . ’ du . ng phu . o . ng tr`ınh vi phˆan Nhiˆe ` ub`ai to´an cu ’ aVˆa . tl´y,Co . ho . c, Sinh ho . c, dˆa ˜ nd¯ˆe ´ nviˆe . c gia ’ ic´ac phu . o . ng tr`ınh h`am c´och´u . a vi phˆan cu ’ ah`am pha ’ it`ım. D - ˆe ’ minh ho . ach´ung ta x´et mˆo . tsˆo ´ v´ıdu . quen biˆe ´ tsaud¯ˆay: Con l˘a ´ cto´an ho . c V´ıdu . 1.1 X´et dao d¯ˆo . ng cu ’ amˆo . tchˆa ´ td¯iˆe ’ mc´okhˆo ´ ilu . o . . ng m du . ´o . it´ac du . ng cu ’ alu . . ch´ut. Chuyˆe ’ nd¯ˆo . ng cu ’ aconl˘a ´ cs˜exa ’ y ra trong m˘a . t ph˘a ’ ng th˘a ’ ng d¯´u . ng. Go . i l l`ad¯ˆo . d`ai cu ’ aconl˘a ´ c, φ(t)l`ag´oc lˆe . ch cu ’ aconl˘a ´ cso v´o . ivi . tr´ıth˘a ’ ng d¯´u . ng ta . ith`o . id¯iˆe ’ m t.Khid¯´otheoc´ac d¯i . nh luˆa . t cu ’ aco . ho . ctac´ophu . o . ng tr`ınh mlφ  (t)+mg sin φ(t)=0. Hay l`a trong da . ng r´ut go . n lφ  (t)+g sin φ(t)=0. (1.1) Nˆe ´ ud¯˘a . t x = φ v`a y = ˙ φ,th`ı trong m˘a . t ph˘a ’ ng (x, y)tad¯u . o . . c tru . `o . ng v´ec to . sau: 7 8Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x Con lac D - i . nh luˆa . tMalthusvˆe ` quˆa ` nthˆe ’ Gia ’ su . ’ quˆa ` nthˆe ’ d¯u . o . . c phˆan bˆo ´ d¯ˆe ` u trong khˆong gian, tˆa ´ tca ’ c´ac c´athˆe ’ nhu . nhau v`ac´ac thˆe ´ hˆe . kˆe ´ tiˆe ´ p. Go . i N(t)l`asˆo ´ lu . o . . ng cu ’ ach´ung ta . ith`o . id¯iˆe ’ m t.Khid¯´oD - i . nh luˆa . t Malthus n´oi r˘a ` ng dN(t) dt =(B − D)N(t), ∀t ≥ 0, (1.2) trong d¯´o B l`aty ’ lˆe . sinh, D l`aty ’ lˆe . chˆe ´ ttu . . nhiˆen. Mˆoh`ınh to´an ho . ccu ’ aquˆa ` nthˆe ’ vˆa . ts˘an-mˆo ` i Gia ’ su . ’ quˆa ` nthˆe ’ d¯ang x´et gˆo ` mhailo`ai, trong d¯´omˆo . tlo`ai l`a d¯ˆo . ng vˆa . t˘an mˆo ` i, c`on lo`ai kia l`amˆo ` i cho n´o. Go . i x(t),y(t)tu . o . ng ´u . ng l`asˆo ´ lu . o . . ng con mˆo ` i, vˆa . ts˘an ta . ith`o . id¯iˆe ’ m t.Khid¯´omˆoh`ınh Volterra cu ’ aquˆa ` nthˆe ’ s˜ed¯u . o . . cbiˆe ’ udiˆe ˜ nnhu . sau:  ˙x = αx −βxy, ˙y = kβxy − my, (1.3) trong d¯´o α l`aty ’ lˆe . t˘ang tu . . nhiˆen cu ’ a x(t)khikhˆong c´oke ’ s˘an mˆo ` i, t´u . cl`akhiy(t)=0,c`on m l`aty ’ lˆe . chˆe ´ ttu . . nhiˆen cu ’ avˆa . ts˘an khi khˆong c´omˆo ` i. β>0l`ahˆe . sˆo ´ “tu . o . ng t´ac” gi˜u . ahailo`ai cu ’ aquˆa ` n thˆe ’ .D - ˆe ’ minh ho . ach´ung ta x´et hˆe . sau:  ˙x(t)=x(t)(1 − y(t)), ˙y(t)=0, 3y(t)(x(t) − 1). Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at 9 Ta c´othˆe ’ v˜e tru . `o . ng v´ec to . ´u . ng v´o . ihˆe . trˆen trˆen m˘a . t ph˘a ’ ng (x, y) nhu . sau (d`ung phˆa ` nmˆe ` mMaple): 0 0.5 1 1.5 2 y 0.5 1 1.5 2 x Lotka-Volterra model Trong c´ac mˆoh`ınh to´an ho . ctrˆen ch´ung ta d¯ˆe ` uthˆa ´ ysu . . tham gia cu ’ a vi phˆan c´ac cˆa ´ pcu ’ ah`am ˆa ’ n φ(t),N(t),x(t),y(t) trong phu . o . ng tr`ınh mˆo pho ’ ng c´ac qu´atr`ınh thu . . ctˆe ´ .Phu . o . ng tr`ınh h`am trong d¯´oc´och´u . aca ’ c´ac vi phˆan cu ’ ah`am pha ’ it`ım d¯u . o . . cgo . il`aphu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng. Cˆa ` nch´u´y phˆan biˆe . tphu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng v´o . iphu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯a . oh`am riˆeng. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan d¯a . oh`am riˆeng l`aphu . o . ng tr`ınh h`am nhiˆe ` ubiˆe ´ n, c´och´u . ad¯a . o h`am riˆeng cu ’ ah`am pha ’ it`ım. Viˆe . cnghiˆen c´u . uphu . o . ng tr`ınh d¯a . o h`am riˆeng v`ıthˆe ´ s˜ekh´okh˘an gˆa ´ pbˆo . iv`ad¯`oi ho ’ i pha ’ ic´onh˜u . ng phu . o . ng ph´ap ph´u . cta . pho . n nhiˆe ` u. Nhu . vˆa . ymˆo . tphu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng s˜ec´oda . ng F (x, y, y  , ···,y (n) )=0, (1.4) trong d¯´o y(x)l`ah`am cu ’ ad¯ˆo ´ isˆo ´ thu . . c x.Da . ng d¯o . ngia ’ nho . nsau d¯ˆay dy(x) dx = f(x, y(x)), (1.5) s˜ed¯u . o . . cgo . il`aphu . o . ng tr`ınh d¯˜agia ’ irad¯ˆo ´ iv´o . id¯a . oh`am. Do mˆo . t nguyˆen nhˆan l`a nhiˆe ` uphu . o . ng ph´ap v`akˆe ´ tqua ’ kinh d¯iˆe ’ ncu ’ a phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng xuˆa ´ tx´u . t`u . co . ho . ccˆo ’ d¯iˆe ’ n, nˆen theo truyˆe ` nthˆo ´ ng ngu . `o . itahayk´yhiˆe . ubiˆe ´ nthu . . c x l`a t,´am chı ’ d¯´ol`a th`o . id¯iˆe ’ m t,c`on y = y(t)l`a tra . ng th´ai ta . ith`o . id¯iˆe ’ mn`ay. D - ˆe ’ cho 10 Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at go . n trong phu . o . ng tr`ınh ngu . `o . itas˜eviˆe ´ t y thay cho y(t)nˆe ´ uhiˆe ’ u ngˆa ` mh`am pha ’ it`ım y l`ah`am cu ’ a t. Mˆo . td¯`oi ho ’ itu . . nhiˆen khi nghiˆen c´u . uc´ac mˆoh`ınh to´an ho . cl`asu . . pha ’ n´anh trung th`anh cu ’ ach´ung c´ac qu´atr`ınh thu . . ctiˆe ˜ n. Ch˘a ’ ng ha . n, qu´atr`ınh tiˆe ´ nh´oa chı ’ chuyˆe ’ nt`u . mˆo . t tra . ng th´ai x 0 v`ath`o . i d¯iˆe ’ m t 0 d¯ˆe ´ nmˆo . t tra . ng th´ai x(t) duy nhˆa ´ tv`ao th`o . id¯iˆe ’ m t.Ho . n n˜u . a, nˆe ´ u x 1 kh´agˆa ` n x 0 ta . ith`o . id¯iˆe ’ m t 0 th`ıqu´atr`ınh s˜echuyˆe ’ n tra . ng th´ai n`ay d¯ˆe ´ n y(t)ta . ith`o . id¯iˆe ’ m t kh´agˆa ` nv´o . i x(t). Nh˜u . ng d¯`oi ho ’ itrˆen d¯u . o . . cgo . il`asu . . tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tnghiˆe . mv`asu . . phu . thuˆo . c liˆen tu . ctheod¯iˆe ` ukiˆe . nband¯ˆa ` u. Nh˜u . ng d¯iˆe ` ukiˆe . nn`ay c`on d¯u . o . . cgo . i v˘a ´ nt˘a ´ tl`asu . . thiˆe ´ tlˆa . pd¯´ung d¯˘a ´ ncu ’ aphu . o . ng tr`ınh, hay mˆoh`ınh d¯ang x´et. 1.1.2. C´ac d¯i . nh l´ytˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tnghiˆe . m X´et phu . o . ng tr`ınh vi phˆan dx dt = f(t, x) (1.6) trong d¯´o f x´ac d¯i . nh v`aliˆen tu . ctrˆen miˆe ` n G := (a, b) ×{y ∈ R n : y − y 0 ≤r}.C`ung v´o . iphu . o . ng tr`ınh (1.6) ta x´et phu . o . ng tr`ınh  ˙x = f(t, x), x(t 0 )=x 0 , (1.7) go . il`aB`ai to´an Cauchy kˆe ´ tho . . pv´o . iphu . o . ng tr`ınh (1.6). Nhˆa . nx´et. Trong b`ai to´an Cauchy (1.7) ch´ung ta khˆong x´ac d¯i . nh r˜o trong phu . o . ng tr`ınh d¯ˆa ` ukhoa ’ ng x´ac d¯i . nh cu ’ ah`am pha ’ it`ım x = x(t). Nhu . s˜ethˆa ´ ydu . ´o . id¯ˆay, su . . tˆo ` nta . inghiˆe . m x(t)v´o . i t trong lˆan cˆa . n(haiph´ıa) cu ’ a t 0 s˜ed¯u . o . . cch´u . ng minh. D - iˆe ` un`ay thˆe ’ hiˆe . n “nguyˆen l´y” : biˆe ´ thiˆe . nta . ix´ac d¯i . nh d¯u . o . . ctu . o . ng lai v`at´ai ta . od¯u . o . . c qu´akh´u . . Trong rˆa ´ t nhiˆe ` ub`ai to´an kh´ac da . ng tr`ıu tu . o . . ng, nguyˆen l´ytrˆen khˆong d¯´ung. “Biˆe ´ thiˆe . nta . ichı ’ c´othˆe ’ x´ac d¯i . nh d¯u . o . . ctu . o . ng lai m`athˆoi”. V`ıvˆa . y, b`ai to´an Cauchy tu . o . ng ´u . ng nhˆa ´ tthiˆe ´ td¯`oi ho ’ i t>t 0 trong phu . o . ng tr`ınh d¯ˆa ` u. D - i . nh l´yTˆo ` nta . iD - i . aphu . o . ng D - i . nh l´y1.1Gia ’ su . ’ f l`a´anh xa . liˆen tu . ct`u . G sang R n tho ’ am˜an c´ac d¯iˆe ` ukiˆe . nsauv´o . imo . i t ∈ (a, b), x, y ∈ ¯ B η (x 0 ):={x ∈ R n : x − x 0 ≤η}: Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at 11 f(t, x)≤M 1 ; (1.8) f(t, x) − f(t, y)≤M 2 x −y, (1.9) trong d¯´o M 1 ,M 2 l`ac´ac h˘a ` ng sˆo ´ khˆong phu . thuˆo . cv`ao t, x, y.Khi d¯´otˆo ` nta . isˆo ´ δ>0 (δ =min{η/M 1 , 1/M 2 })saochov´o . imo . i t 0 ∈ (a, b),trongkhoa ’ ng (t 0 − δ, t 0 + δ) ∩ (a, b) b`ai to´an Cauchy (1.7) c´od¯´ung mˆo . tnghiˆe . m x = φ(t) tho ’ am˜an φ(t) − x 0 ≤η. Ch´u . ng minh. X´et phu . o . ng tr`ınh t´ıch phˆan x(t)=x 0 +  t t 0 f(τ,x(τ))dτ. (1.10) Dˆe ˜ thˆa ´ yr˘a ` ng su . . tˆo ` nta . inghiˆe . mliˆen tu . ccu ’ ab`ai to´an (1.7) tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . isu . . tˆo ` nta . inghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh t´ıch phˆan trˆen. X´et khˆong gian C([t 0 −δ 1 ,t 0 + δ 1 ], R n )gˆo ` mc´ac ´anh xa . liˆen tu . ct`u . [t 0 −δ 1 ,t 0 +δ 1 ]v`ao R n (δ 1 <δ)v´o . ichuˆa ’ n f =sup t f(t),v`ah`ınh cˆa ` ud¯´ong S η (x 0 ):={u ∈ C([t 0 −δ 1 ,t 0 +δ 1 ], R n ):sup t u(t)−x 0 ≤ η}.X´et to´an tu . ’ [Sx(·)](t):=y(t)=x 0 +  t t 0 f(τ,x(τ))dτ, ∀x(·) ∈ S η (x 0 ). (1.11) Ta s˜ech´u . ng minh S l`ato´an tu . ’ t´ac d¯ˆo . ng trong S η (x 0 ). Thˆa . tvˆa . y, ´anh xa . y(·)liˆen tu . cv`ı f liˆen tu . ctheot,tho ’ am˜an d¯iˆe ` ukiˆe . nLipschitz theo x.Ho . nn˜u . a, sup |t−t 0 |≤δ 1 y(t) − x 0  =sup |t−t 0 |≤δ 1   t t 0 f(τ,x(τ))dτ  ≤ M 1 δ 1 ≤ η. Ngo`ai ra, Su − Sv =sup |t−t 0 |≤δ 1   t t 0 f(τ,u(τ)) −f(τ, v(τ))dτ  ≤ δ 1 M 2 u −v, ∀u,v∈ S η (x 0 ). (1.12) V`ı δ 1 <δnˆen δ 1 M 2 < 1, v`adod¯´o S l`a´anh xa . co trong khˆong gian mˆetric d¯ˆa ` yd¯u ’ S η (x 0 ). Theo nguyˆen l´yd¯iˆe ’ mbˆa ´ td¯ˆo . ng Banach, trong S η (x 0 )tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tmˆo . td¯iˆe ’ mbˆa ´ td¯ˆo . ng x(·)cu ’ ato´an tu . ’ S.D - ´och´ınh l`anghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh t´ıch phˆan (1.10). D - i . nh l´y d¯u . o . . cch´u . ng minh. [...]... tˆn tai Ln A e ¯ˆ e e o e ı ` o ´ o a u Ch´.ng minh C´ hai c´ch ch´.ng minh C´ch th´ nhˆ t du.a trˆn u a u a e a vˆ dang chuˆ n Jordan B`i to´n quy vˆ vi c ch´.ng minh ’ ` e a a a e u vi c du ` e ¯´ e `.ng ch´o l` c´c phˆn tu kh´c 0 luˆn c´ loga` ’ a o o e a a a mˆt o Jordan c´ d u o o ˆ o ¯ ’ ’ rithm Gia su J = λEr + Z, trong d o Er l` ma trˆn d n vi r × r, ¯´ a a ¯o ¯´ o e’ ’ Z l` ma trˆn l˜y... th´.c Liouville o u ´ ’ ’ a a a ’ e e a y u Gia su X(t) l` ma trˆn lˆp bo.i hˆ n nghiˆm bˆ t k` Trong ch´.ng ng minh d u.o.c r˘ ng detX(t) = 0 ∀t ∈ (a, b) khi ` ¯ a minh trˆn ta d a ch´ e ¯˜ u ’ ` a v` chı khi tˆn tai t0 ∈ (a, b) sao cho detX(t0 ) = 0 Thu.c ra kh˘ng a ’ o ’ l`m manh lˆn nhiˆu b˘ ng d nh l´ sau: ` ` d nh n`y c´ thˆ a ¯i a o e e e a ¯i y - ’ ’ a e Dinh l´ 1.8 (Cˆng th´.c Liouville)... P ) ≤ Keαs , ∀s ≤ 0 (1.52) - ’ ´ Ch´.ng minh Theo Dinh l´ Anh Xa Phˆ ta thˆ y σ(eA) khˆng u o y ´ o a a v`ng tr`n d o.n vi v` do d o nhu d a biˆt trong Dai sˆ tuyˆn t´nh - o ´ ´ ´ ch´ o u o ¯ ¯´ ¯˜ e e ı a ´ c´ thˆ chı ra ph´p chiˆu P : Cn → Cn sao cho Cn = ImP ⊕ KerP , o e’ ’ e e ’ a ınh a ` a o ’ ı o P eA = eA P v` σ(P eA P ) ch´ l` phˆn phˆ cua eA trong h`nh tr`n n vi c`n σ((I − P )eA(I − P ))... σ(eA) n˘ m ngo`i v`ng ` ` ’ a a a a o d ¯o o tr`n d n vi1 o ¯o - - - ` ’ Dinh l´ 1.16 (Dinh l´ Perron) Diˆu kiˆn cˆn v` d u dˆ phu.o.ng y y e e ` a ¯ ’ ¯e a i nˆi trˆn ` ´ ´ o tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t (1.49) c´ nghiˆm duy nhˆ t gi´ o e ı o a a o e a i mˆi f gi´.i nˆi cho tru.´.c l` iR ∩ σ(A) = ˜ o o o o a to`n truc v´ a o ´ ` ’ ’ Ch´.ng minh Cˆn: Gia su xf l` nghiˆm gi´.i nˆi duy nhˆ t v´.i... e ı phˆ ’ o a - ´ ı a a e ’ v` µ(t) = φ(t) nˆu t ∈ (αφ , βφ ) Dinh ngh˜a n`y cho ta cˆn trˆn cua a e ´ ’ y e o a Chu.o.ng 1 L´ thuyˆt tˆ ng qu´t 17 ` ` ’ ¯a - o ınh ’ ` dˆy chuyˆn C Vˆy trong A phai tˆn tai phˆn tu cu.c d i D´ ch´ a e a o a ng minh ’ l` d ` u phai ch´ a ¯iˆ e u ` ` ¯a ’ ´ ’ ’ ’ a a o Tiˆp theo, ta gia su r˘ ng (ω− , ω+ ) l` khoang tˆn tai cu.c d i cua e ng minh r˘ ng x(t)... gi´.i han bo.i chu tuyˆn d ong γ e o - - ’ ’ ’ ’ Dinh l´ 1.11 (Dinh l´ Anh xa phˆ ) Gia su f(z) l` h`m chınh y y ´ o a a p mo Ω ch´.a σ(A) cua m˘t ph˘ ng ph´.c v` ’ ’ ’ u h` trˆn mˆt tˆp ho ınh e o a a a u a o.c d inh ngh˜ nhu trong (1.41) Khi d o ıa ¯´ f(A) d u ¯ ¯ σ(f(A)) = f(σ(A)) (1.43) ´ ’ y e o a Chu.o.ng 1 L´ thuyˆt tˆ ng qu´t 26 -o o ´ ’ ’ ¯˘ Ch´.ng minh Gia su λ ∈ σ(A) Dˆi v´.i ζ ∈ Ω... Ta x´t phu.o.ng tr`nh vi phˆn tuyˆn t´nh c´ hˆ sˆ h˘ ng sˆ sau e ´ a 1.3.2 dx = Ax + f(t), dt (1.44) ´ trong d o f l` h`m liˆn tuc trˆn (a, b) Tru.´.c hˆt ta x´t phu.o.ng ¯´ a a e e o e e ` ´ tr`nh thuˆn nhˆ t ı a a dx = Ax (1.45) dt - ´ Dinh l´ 1.12 x(t) = e(t−t0 )A x0 l` nghiˆm duy nhˆ t cua b`i to´n y a e a ’ a a Cauchy x = Ax ˙ x(t0) = x0 ’ ` Ch´.ng minh Ta chı cˆn ch´.ng minh cho tru.`.ng ho.p... tuˆn ho`n u i mˆi f liˆn tuc, tuˆn ho`n chu k` ω cho tru.´.c Ta ` e a a y o chu k` ω x(t) v´ o y o ˜ ng minh 1 ∈ σ(eωA ) Dˆ l`m d iˆu d o ta chı cˆn ch´.ng minh - e’ a ¯ ` ¯´ ’ ` s˜ ch´ e u e a u ˜ ` ´ o o ` ıt a o e r˘ ng v´.i mˆi y ∈ Cn cho tru.´.c tˆn tai ´ nhˆ t mˆt nghiˆm x ∈ Cn a o o -a sao cho x − eωA x = y D˘t f(t) := α(t)e(t−ω)A y, trong d o α(t) l` ¯´ a ’ h`m liˆn tuc n`o d o trˆn [0,... X´t phu.o.ng tr`nh vi phˆn e ı a dx = A(t)x + f(t), x ∈ Rn (1.30) dt ´ Phu.o.ng tr`nh (1.30) d u.o.c goi l` phu.o.ng tr`nh vi phˆn tuyˆn t´ ı ¯ ı a e ınh a o.ng tr`nh sau d ay d u.o.c goi l` phu.o.ng tr`nh ` ´ ı ¯ˆ ¯ a ı khˆng thuˆn nhˆ t Phu o a a ´n t´ thuˆn nhˆ t ` ´ vi phˆn tuyˆ ınh a e a a ´ ’ y e o a Chu.o.ng 1 L´ thuyˆt tˆ ng qu´t 18 dx = A(t)x, dt x ∈ Rn (1.31) ´ - ´ Ap dung Dinh l´... l` cu.c d ai d` ng th`.i vˆ hai ph´ ´ e ıa ˆ o ` d u a ¯ e o a ¯ ¯o ¯ - - ` ’ ’ Dinh l´ 1.4 Diˆu kiˆn cˆn v` d u dˆ J = [α, β) cua nghiˆm y e e ` a a ¯ ’ ¯e e c d ai vˆ bˆn phai l` tˆn tai gi´.i han ’ ’ a ` x(·) cua (1.26) khˆng l` cu ¯ ` e o a e o o a limt↑β x(t) = η v` (β, η) ∈ G ` Ch´.ng minh Cˆn R˜ r`ng u a o a - ’ ´ o Du : Nˆu tˆn tai gi´.i han limt↑β x(t) = η v` (β, η) ∈ G th` ta c´ . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Nguyễn Văn Minh L`o . in´oi d¯ˆa ` u Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan thu . `o . ng l`al˜ınh vu . . clˆau d¯`o . icu ’ aTo´an. tru . `o . ng v´ec to . sau: 7 8Chu . o . ng 1. L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at -1 .5 -1 -0 .5 0 0.5 1 1.5 y -1 .5 -1 -0 .5 0.5 1 1.5 x Con lac D - i . nh luˆa . tMalthusvˆe ` quˆa ` nthˆe ’ Gia ’ su . ’ quˆa ` nthˆe ’ d¯u . o . . c. Nguyˆe ˜ nV˘an Minh D - a . iho . cKhoaho . cTu . . nhiˆen D - a . iho . cQuˆo ´ cgiaH`anˆo . i E-mail: nvminh@netnam.vn MU . CLU . C 1L´ythuyˆe ´ ttˆo ’ ng qu´at 7 1.1. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan