Lê Trọng Châu – ST&GT NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào ? Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được ? Xin “mách” các bạn nguyên tắc nhẩm (dựa trên kết quả đã được khẳng định nhưng không trình bày trong chương trình sách giáo khoa). Nguyên tắc cơ bản: 1) Cho đa thức ẩn x với hệ số nguyên f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x + a n có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của an và q là ước của a0. Hệ quả : Nếu a 0 = 1 thì mọi nghiệm hữu tỉ của f(x) đều là nghiệm nguyên và nghiệm nguyên này là ước của số hạng tự do an. 2) Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì x - a là một nhân tử khi phân tích f(x) về dạng tích. Chúng ta theo dõi một ví dụ đơn giản sau : Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x 2 - 9x + 14 thành nhân tử. Nhẩm nghiệm : Ta thấy nghiệm nguyên nếu có của f(x) sẽ là ước của 14. Nhẩm thử sẽ tìm ra nghiệm x = 2 (có bạn nhẩm ra x = 7 trước !). Từ đó ta có x - 2 phải là một nhân tử của f(x) (nếu nhẩm được x = 7 thì nhận định có một nhân tử là x - 7). Lời giải : Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 2. Cách 1 : x 2 - 9x + 14 = x 2 - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7). Cách 2 : x 2 - 9x + 14 = x 2 - 4 - 9x + 18 = (x + 2)(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2) (x - 7). Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 7. Cách 1 : x 2 - 9x + 14 = x 2 - 49 - 9x + 63 = (x - 7)(x + 7) - 9(x - 7) = (x - 7) (x - 2). Cách 2 : x 2 - 9x + 14 = x 2 - 7x - 2x + 14 = x(x - 7) - 2(x - 7) = (x - 7)(x - 2). Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử f(n) = 5n 3 + 15n 2 + 10n. Tìm lời giải : Ta có f(n) = 5n 3 + 15n 2 + + 10n = 5n(n 2 + 3n + 2). Nhẩm nghiệm của đa thức n 2 + 3n + 2 ta được n = -1 (hoặc n = -2). Lời giải : f(n) = 5n 3 + 15n2 + 10n = 5n(n2 + 3n + 2) = 5n(n 2 + n + 2n + 2) = 5n[n(n + 1) + 2(n + 1)] = 5n(n + 1)(n + 2). Chú ý : Từ kết quả trên có thể chứng minh f(n) chia hết cho 30 với mọi số nguyên n. Thí dụ dưới đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ. Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) - 12. Tìm lời giải : Đặt t = x 2 + 3x + 1 thì đa thức trở thành f(t) = t(t + 1) - 12 = t 2 + t - 12. Nhẩm nghiệm trong các ước của 12 ta có nghiệm t = 3 (hoặc t = -4). Lê Trọng Châu – ST&GT Lời giải : Ta có f(t) = t 2 - 3t + 4t - 12 = t(t - 3) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 4). Do đó : P(x) = (x 2 + 3x + 1 - 3)(x 2 + 3x + 1 + 4) = (x 2 + 3x - 2)(x 2 + 3x + 5). Mời các bạn thử làm các bài tập sau : 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x 2 + x) 2 - 2(x 2 + x) - 15 ; b) (x 2 + 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 ; 2) Chứng minh P = (x 2 + 1) 4 + 9(x 2 + 1) 3 + + 21(x 2 + 1) 2 - x 2 - 31 ≥ 0 với mọi x. 3) Chứng minh Q = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 là số chính phương với mọi số nguyên x. . đa thức f(x) có nghiệm x = a thì x - a là một nhân tử khi phân tích f(x) về dạng tích. Chúng ta theo dõi một ví dụ đơn giản sau : Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x 2 - 9x + 14 thành nhân tử. Nhẩm. Lê Trọng Châu – ST&GT NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào ? Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được. đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ. Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) - 12. Tìm lời giải : Đặt t = x 2 + 3x + 1 thì đa thức trở thành