Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên toán Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 2 trang Phần I: Trắc nghiệm khách quan. (3,0 điểm) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng. Câu 1. Giá trị của biểu thức 5353 + bằng: A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 Câu 2. Đờng thẳng (d) đi qua điểm (4; 6) và song song với đờng thẳng 3 2 1 += xy . Phơng trình của đờng thẳng (d) là : A. 8 2 1 += xy B. 2 2 1 += xy C. 3 2 1 += xy D. 4 2 1 += xy Câu 3. Hệ phơng trình =+ = 42 32 yx yx có nghiệm là : A. (0; - 3) B. (4; 0) C. (2; 1) D. (1; -1) Câu 4. Biểu thức 12 1 x đợc xác định khi : A. 2 1 x B. 2 1 <x C. 2 1 >x D. 2 1 x Câu 5. Cho hàm số 2 7 2 xy = (1). Kết luận nào sau đây là đúng ? A. Hàm số (1) đồng biến trên R B. Hàm số (1) nghịch biến trên R C. Hàm số (1) đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 D. Hàm số (1) đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. Câu 6. Nếu phơng trình x 2 4x + m 2 = 0 (x là ẩn số) có nghiệm kép khi: A. m = - 6 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 6 Câu 7. Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm là 23 + và 23 , ta đợc phơng trình: A. 0132 2 =+ xx B. 0122 2 =+ xx C. 0132 2 =+ xx D. 0122 2 =+ xx Câu 8. Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 10cm là: A. cm 3 35 B. cm 3 310 C. cm 3 320 D. cm 3 3 Câu 9. Tam giác ABC cân tại A, có góc BAC bằng 45 0 và BC = 4cm nội tiếp đờng tròn (O; R) . Tính R ta đợc: A. 2 cm B. 2 2 cm C. 22 cm D. 24 cm Câu 10. Một hình nón có bán kính đáy R = 5cm và đờng sinh 25=l cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng: A. )(25 2 cm B. )(225 2 cm C. )(50 2 cm D. )(250 2 cm Câu 11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng R = 3cm và chiều cao h = 6cm. Đề thi thử Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng: A. )(54 2 cm B. )(36 2 cm C. )(18 2 cm D. )(9 2 cm Câu 12. Một hình trụ có đờng kính đáy bằng chiều cao h. Thể tích hình trụ đó bằng: A. 2 3 h B. 4 3 h C. 3 2 h D. 3 4 h Phần II: Tự luận. (7,0 điểm) Bài 1. (1,0điểm) Cho biêủ thức a a a a aa aa A + + + + + + = 4 2 2 4 28 )12( 1. Rút gọn A 2. Tìm a để A nhận giá trị nguyên Bài 2. (1,5điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình : y = 2x 2 , một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0 ; 2). 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d). 2. Tìm m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 3. Gọi x 1 và x 2 là hoành độ của hai điểm A và B. Tìm giá trị của m để 2 21 xx Bài 3. (3,0điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Lấy D trên cung AB (D khác A, B), lấy điểm C nằm giữa O và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đờng thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax và By lần lợt tại E và F. Chứng minh rằng: 1. Góc DFC bằng góc DBC và ECF vuông. 2. Giả sử EC cắt AD tại M, BD cắt CF tại N. CMR : MN//AB 3. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp EMD và đờng tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc nhau tại D. Bài 4. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, gọi P là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác và S là diện tích tam giác. 1. Chứng minh rằng S = P . r 2. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác mà độ dài ba cạnh là 58 cm, 42 cm và 40 cm. Bài 5. (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : yxyyx +=+ 22 424 === Hết === Họ tên học sinh: , Giám thị 1: Số báo danh: , Giám thị 2: Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT CHUYÊN TOáN Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 2 trang Đáp án Biểu điểm Phần I: Trắc nghiệm khách quan. (3,0 điểm) - Chọn đúng mỗi câu đợc 0,25 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đề thi thử (vô lí) Đáp án A D C C C A A B C B A B Phần II: Tự luận. (7,0 điểm) Đáp án Biểu điểm Bài 1. (1,0điểm) Cho biêủ thức a a a a aa aa A + + + + + + = 4 2 2 4 28 )12( 1. Rút gọn A Ta có: )2)(4()2)(4(28 +=+=+ aaaaaa ĐKXĐ: 2 0 4 0 04 0 a a a a a a )2;0( 2 3 )2)(4( )4(3 )2)(4( 123 )2)(4( 44162 )2)(4( )2)(2()4)(4()12( 4 2 2 4 )2)(4( )12( + = + = + + = + ++ = + +++++ = + + + + + + = aa a A aa a aa a aa aaaaa A aa aaaaaa A a a a a aa aa A Vậy 2 3 + = a A (với 2;0 aa ) 2. Tìm a để A nhận giá trị nguyên. Ta có: 2 3 + = a A Vì 0 a nên 02 >+a Để A nhận giá trị nguyên thì 2+a phải là ớc nguyên dơng của 3 = = =+ =+ 1 1 32 12 a a a a 11 == aa (thoả mãn) Vậy với a = 1 thì A nhận giá trị nguyên. 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 2. (1,5điểm) 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d). - Gọi phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = ax + b Vì (d) có hệ số góc bằng m nên y = mx + b (d) Vì (d) đi qua điểm I(0 ; 2) nên ta có : 2 = m.0 + b b = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là y = mx + 2 2. Tìm m để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. - Xét phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P) 2x 2 = mx + 2 2x 2 mx + 2 = 0 (1) PT (1) có : = m 2 4.2.2 = m 2 16 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là > 0 m 2 16 > 0 (m 4)(m + 4) > 0. < > < < > > <+ < >+ > 4 4 4 4 4 4 04 04 04 04 m m m m m m m m m m Vậy với m > 4 ; m < - 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 0.5 điểm 0.5 điểm N M O F O' O'' A B D C E . P 3. Tìm m để 2 x- x 21 - Theo phần 2 ta có với m > 4 ; m < - 4 (*) thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Gọi x 1 và x 2 là hoành độ của điểm A và B x 1 và x 2 là 2 nghiệm của PT (1) nên theo định lí Vi ét ta có: )3(1. )2( 2 21 21 = =+ xx m xx Xét : ( ) 4242 21 2 2 2 1 2 2121 + xxxxxxxx 44)( 21 2 21 + xxxx thay (2) và (3) vào ta đợc: 24 24 24328 2 41.4 2 2 22 m m mm mm kết hợp với điều kiện (*) ta đợc \\\\\\\////////////////////////////////\\\\\\\\\\\ 24 - 4 0 4 24 24;24 mm 0.5 điểm Bài 3. (3,0điểm) 1. Góc DFC bằng góc DBC và ECF vuông. Ta có : FB AB (gt) gócCBF = 90 0 CD EF (gt) gócCDF = 90 0 CE AB (gt) gócBAF = 90 0 + Xét tứ giác BCDF có : gócCBF + gócCDF = 90 0 + 90 0 = 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau Tứ giác BCDF nội tiếp đờng tròn đờng kính CF Xét đơng tròn đk CF có: gócCFD là góc nội tiếp chắn cung CD gócCBD là góc nội tiếp chắn cung CD gócCFD = gócCBD (1) + Xét tứ giác ACDE có : gócEAE + gócCDE = 90 0 + 90 0 = 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau Tứ giác ACDE nội tiếp đờng tròn đờng kính CE Xét đờng tròn đk CE có: Góc CAD và góc CED là các góc nội tiếp cùng chắn cung DC góc CAD = góc CED (2) Mặt khác trong ADB (gócD = 90 0 ) có : gócCAD + gócCBD = 90 0 (2 góc nhọn trong tam giác vuông) (3) Từ (1), (2) và (3) góc CED + góc CFD = 90 0 0,5 điểm r R r r O B C A D F E Hay góc CEF + góc CFE = 90 0 ECF vuông tại C. 2. Chứng minh MN//AB. Xét tứ giác CMDN có: góc MCN = 90 0 (vì ECF vuông tại C) góc MDN = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O) góc MCN + góc MDN = 90 0 + 90 0 = 180 0 mà 2 góc ở vị trí đối nhau Tứ giác CMDN nội tiếp đờng tròn đờng kính MN gócCMN = gócCDN (góc nội tiếp đờng tròn đk MN cùng chắn cung NC) Ta có: góc EDA + góc ADC = góc EDC = 90 0 góc CDN + góc ADC = góc ADB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) góc EDA = góc CDN (cùng phụ với góc ADC) Nh vậy: gócEDA = gócCDN gócCDN = gócCMN (cm trên) gócEDA = gócMCA (góc nột tiếp đtròn đk EC cùng chắn cung AE) Từ đó suy ra gócMCA = gócCMN (= gócEDA = gócCDN) mà 2 góc MCA và góc CMN ở vị trí so le trong MN // AB (Đpcm) 3. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp EMD và đờng tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc nhau tại D. + Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp EMD, (O) là đờng tròn ngoại tiếp DNF, P là trung điểm của MN. DP là trung tuyến của tam giác vuông MDN PD = PM = PN PMD cân tại P góc PMD = góc PDM Ta có: góc MED = góc DAB (góc nội tiếp đtròn đk EC cùng chắn cung DC) góc DAB = góc DMN (2 góc đồng vị) mà góc DMN = góc MDP (cm trên) góc DEM = góc MDP mà góc DEM là góc nội tiếp của đờng tròn (O) chắn cung MD tia DP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là MD không chứa điểm E Tia DP là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại tiếp điểm D. (4) Lại có: góc PDN = góc MND (vì PDN cân tại P) góc MND = góc DBA (2 góc đồng vị) góc DBA = góc DFN (góc nội tiếp đtròn đk FC cùng chắn cung DC) góc NDP = góc DFN ( = góc MND = góc DBA) mà góc DFN là góc nội tiếp của đờng tròn (O) chắn cung ND tia DP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là ND không chứa điểm F Tia DP là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại tiếp điểm D. (5) Từ (4) và (5) suy ra DP là tiếp tuyến chung trong của đờng tròn (O) và (O) tại tiếp điểm D. Vậy đờng tròn ngoại tiếp EMD và đờng tròn ngoại tiếp DNF tiếp xúc ngoài tại tiếp điểm D. 0,5 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm Bài 4. (1,0 điểm) 1. Chứng minh rằng S = P . r + Xét ABC có: r là bán kính đờng tròn nội tiếp. OFOEODr === P là nửa chu vi của tam giác 2 BCACAB P ++ = S là diện tích của tam giác. Ta có: COABOCAOBABC SSSS ++= ABODS AOB . 2 1 = BCOFS BOC . 2 1 = ACOES COA . 2 1 = Pr ACBCAB rACBCABr ACrBCrABrACOEBCOFABODS ABC . 2 .).( 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 = ++ =++= ++=++= Vậy S = P.r 2. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác mà độ dài ba cạnh là 58 cm, 42 cm và 40 cm. + Xét tam giác có độ dài 3 cạnh 58cm; 42cm và 40cm: có: 42 2 + 40 2 = 1764 + 1600 = 3364 58 2 = 3364 42 2 + 40 2 = 58 2 Tam giác có độ dài 3 cạnh nh trên là tam giác vuông (Đlí Pi-ta-go đảo) + Nửa chu vi (P) của tam giác đó là: )(70 2 584240 cmP = ++ = + Diện tích (S) của tam giác đó là: )(84040.42. 2 1 2 cmS == + Theo kết quả chứng minh phần 1) ta có bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác là: )(12 70 840 cmr P S r === 0.5 điểm 0.5 điểm Bài 5. (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : yxyyx +=+ 22 424 Ta có: yxyyx +=+ 22 424 ( ) ( ) 2 2 2 222 244244 +++=+++= yyxyxyyxyx 2.42244 222 ++++++= yyxyyxyx 02.42)1()12( 02.422244 222 222 =++++++ =+++++++ yyxyx yyxyyxx =+ = = =++ =+ =+ =++ =+ =+ )/(0)21)(1 4 1 .4( 1 2 1 0)2)(4( 01 012 02.42 0)1( 0)12( 2 2 2 2 manT y x yyx y x yyx y x Vậy = = 1 2 1 y x 0.5 điểm * Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày 1 cách giải nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Học sinh làm đợc phần nào cho điểm phần đó theo đúng thang điểm của từng phần. - Trong một câu nếu học sinh làm phần trên sai, dới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Học sinh không vẽ hình mà làm vẫn đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm đợc. - Bµi cã nhiÒu ý liªn quan ®Õn nhau, nÕu häc sinh c«ng nhËn ý trªn ®Ó lµm ý díi mµ häc sinh lµm ®óng th× chÊm ®iÓm ý ®ã. - §iÓm cña bµi thi lµ tæng ®iÓm cña c¸c c©u lµm ®óng vµ kh«ng ®îc lµm trßn. = = = HÕt = = = . dục và đào tạo Hải Phòng Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên toán Năm học 2009 - 2 010 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 2 trang Phần I:. dục và đào tạo Hải Phòng Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT CHUYÊN TOáN Năm học 2009 - 2 010 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm có 2 trang Đáp án . nghiệm khách quan. (3,0 điểm) - Chọn đúng mỗi câu đợc 0,25 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đề thi thử (vô lí) Đáp án A D C C C A A B C B A B Phần II: Tự luận. (7,0 điểm) Đáp án Biểu điểm Bài