Đ THAM KHO 7 Đ THI TUYN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT C THÍ SINH Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Câu II (2,0 điểm): 1. Giải phương trình lượng giác. 2. Giải hệ phương trình. Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau: ∫ = 3 4 42 cos.sin π π xx dx I Câu IV(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng . Câu V(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng: PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VIa(2,0 điểm): 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) 2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x 2 +y 2 - 2x + 6y -15 = 0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6. Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x 5 trong khai triển (2+x +3x 2 ) 15 B. Theo chương trình nâng cao. Câu VIb(2,0 điểm): 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) 2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x 2 +y 2 - 2x +6y -15 = 0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x - 3y + 2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6. Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang) Môn: TOÁN: KHỐI A,B CÂU NỘI DUNG ĐIM I 2,0 1 1,0 • TXĐ: D= R\{1} • y’= Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị 0,25 • Giới hạn: • PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1 0,25 • Bảng biên thiên: t - 1 + f ’ (t) - + f(t) 1 + - 1 0,25 • Đồ thị: 0,25 2 1,0 • Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d) 0,25 x y f x ( ) = x+2 x-1 1 4 -2 -2 O 1 2 3 5/2 • d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT có nghiệm <=>Pt (1-a)x 2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1 • Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 phân biệt Đk là : (*) • Khi đó theo Viet ta có : x 1 +x 2 = ; x 1 .x 2 = 0,25 • . Suy ra y 1 = 1+ ; y 2 = • Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y 1 .y 2 <0 ⇔ (1+ ) < 0 ⇔ 0,25 • Giải đk trên ta được ⇔ -(3a+2) <0 ⇔ a>-2/3 Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3 0,25 II 2,0 1 1,0 • ĐK: 0,25 • Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 0,5 • Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là 0,25 2 1,0 • Đặt : t = x + y ; ĐK: t • Giải PT: 0.25 0,5 Hệ đã cho trở thành Vậy hệ dã cho có một nghiệm 0,25 III 1,0 ∫ = 3 4 42 cos.sin π π xx dx I ∫ = 3 4 22 cos.2sin .4 π π xx dx Đặt : t = tanx Đổi cận: x = x = 0,5 Khi đó 3 438 ) 3 2 1 ()2 1 ( )1( 3 1 3 3 1 2 2 3 1 2 22 − =++−=++= + = ∫∫ t t t dtt tt dtt I 0,5 IV 1,0 • BĐT cần chứng minh tương đương với • Nhận xét: Do nên là các số thực dương 0,25 • Xét : A = với x,y > 0 • Chia tử và mẫu cho và đặt t = ta được A = với t > 0 • Xét hàm số f(t) = trên (0;+ ) • Ta có : f ’ (t) = • Bảng biên thiên: t 0 1 + f ’ (t) - 0 + f(t) 1 1 0,5 • Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0 • Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y. • Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương • Áp dụng BĐT cô si ta có • Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0,25 V 1,0 Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE Ta có ACD cân tại A nên CD AE Tương tự BCD cân tại B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH Mà BH AE suy ra BH (ACD) Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 0,25 Thể tích của khối tứ diện ABCD là Mà Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x 2 - x + = 0 0,25 H D E C B A trường hợp vì DE<a Xét BED vuông tại E nên BE = Xét BHE vuông tại H nên sin = Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là 0,25 VIa 2,0 1 1,0 Ta có ; [ , ] = (12; -6;8) Mp (BCD) đi qua B và có VTPT =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0 Gọi d là đt đi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT: 0,5 Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD) Tọa độ của H là nghiệm của hệ : Vậy H( -2; -4; -4) 0,5 2 1,0 Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0 0,5 d(I; Δ )= vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5 VIIa 1,0 Ta có (2+x+3x 2 ) 15 = 0,5 I A H B Mà = Vậy (2+x+3x 2 ) 15 = Theo gt với x 5 ta có các cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0) Vậy hệ số của x 5 trong khai triển trên là : a= 0,5 VIb 1,0 • ĐK: x > 1 • Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương 0,25 0,5 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm : 0,25 . Đ THAM KHO 7 Đ THI TUYN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT C. coi thi không giải thích gì thêm. (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang) Môn: TOÁN: KHỐI A,B CÂU NỘI DUNG ĐIM I 2,0 1 1,0 • TXĐ: D= R{1} • y’= Hàm số luông nghịch biến trên D và không. Bảng biên thi n: t - 1 + f ’ (t) - + f(t) 1 + - 1 0,25 • Đồ thị: 0,25 2 1,0 • Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d) 0,25 x y f x ( ) = x+2 x-1 1 4 -2 -2 O 1 2 3 5/2 •