ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG DUY TIẾU CƠ SỞ WAVELET TRONG KHÔNG GIAN L2(R) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Trường Đại học Khoa Học Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHƠNG GIAN L2 (R) 1.1 Khơng gian L2 (R) 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Biến đổi Fourier 1.2 Khái niệm sở wavelet không gian L2 (R) 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí Balian-Low 10 1.2.3 Các ví dụ 13 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SĨNG NHỎ TRONG KHƠNG GIAN L2 (R) 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn 2.1.1 Phép chiếu I = [0, +∞) 2.1.2 Phép chiếu đoạn I = [α, β] 2.2 Dùng hàm sin cosin 2.2.1 Trường hợp I = [0, 1] 2.2.2 Trường hợp I = [α, β] 2.2.3 Cơ sở trực chuẩn L2 (R) Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 17 18 20 27 27 30 31 41 42 Mở đầu Trong năm gần nhiều vấn đề khoa học, công nghệ thông tin, truyền thông ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ Lợi ích xử lý số việc truyền tín hiệu ngày khẳng định rõ ràng Nó ứng dụng nhiều dạng khác với hiệu đặc biệt ngành khoa học môn học Với mức độ phát triển ngày cao bản, phương pháp khả ứng dụng lơi nhiều kỹ sư, nhà toán học nhà vật lý quan tâm nghiên cứu Khái niệm wavelet đưa vào từ năm 70 kỷ trước ngày có nhiều ứng dụng khoa học, truyền thông, công nghệ thông tin ngành kỹ thuật khác Việc nghiên cứu khái niệm sở wavelet đường thẳng có ý nghĩa quan trọng lý thuyết ứng dụng thực tế Những hệ cổ điển sở trực chuẩn không gian L2 ([0, 1)) bao gồm hàm mũ e2πimx : m ∈ Z tập hợp hàm lượng giác thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới) Mơ hình sở khơng gian L2 ([α, β)), −∞ < α < β < +∞, có phép tịnh tiến phép co giãn thích hợp hàm số Để tìm sở trực chuẩn không gian L2 (R) xét R hợp nửa khoảng liên tiếp sau: [αj , αj+1 ), j ∈ Z, −∞ < < αj < αj+1 < < +∞, xem xét sở cho không gian L2 ([αj , αj+1 )), mở rộng phần tử sở hàm đặc trưng [αj , αj+1 ) sau lấy tổng hàm có Cơ sở trực chuẩn này, nhiên tạo "hiệu ứng cạnh không mong muốn" điểm cuối αj cố gắng biểu diễn hàm theo sở Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Để khắc phục tình trạng đó, cần xét đến hàm trơn, hàm thay cho hàm đặc trưng [αj , αj+1 ) với j ∈ Z Trong trường hợp có phân chia đơn giản R= [n, n + 1) n∈N nghiên cứu hệ có dạng: gm.n (x) = e2πimx g(x − n) : m, n ∈ Z Đối với hệ loại (thường gọi sở Gabor), để trở thành sở trực chuẩn khơng gian L2 (R) g khơng "q trơn" có giá có kích thước nhỏ (very localized) Điều trình bày rõ ràng phần 1.2.2 Định lí BalianLow Tuy nhiên sở thích hợp gồm hàm sin cosin sử dụng, có nhiều tập hợp hàm g trơn cách tuỳ ý "very localized", sử dụng để có sở trực chuẩn không gian L2 (R) Điều thực phần 2.1, phần mà trình bày lí thuyết phép chiếu trơn, giới thiệu Coifman Meyer Lý thuyết cho phép "liên kết" sở thích hợp với khoảng [αj , αj+1 ) Một loạt ví dụ việc xây dựng đưa ra, phần lớn ví dụ liên quan đến mục đích ví dụ tạo wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2 (R) như: j ψi,k (x) = 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z sở trực chuẩn không gian L2 (R) Tương tự vậy, phần 2.2 xây dựng nên wavelet Lemanrié Meyer Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm chương Chương Cơ sở trực chuẩn khơng gian L2 (R) Trong chương trình bày khái niệm không gian L2 (R), biến đổi Fourier không gian L2 (R), khái niệm sở sóng nhỏ khơng gian L2 (R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp xây dựng sở sóng nhỏ khơng gian L2 (R) Trong chương trình bày hai phương pháp, xây dựng phép chiếu trơn dùng hàm sin cosin Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [7] Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết Thầy Tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luân văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Lương Tài, đồng nghiệp trường THPT Lương Tài-Bắc Ninh tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hồng Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ giúp tơi trình bày luận văn Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn q trình xử lý văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy bạn đọc quan tâm đến luận văn Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác giả Lương Duy Tiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 1.1 Không gian L2 (R) 1.1.1 Các khái niệm Trước hết giới thiệu số kí hiệu R ký hiệu "đường thẳng thực", T vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức, mà xác định khoảng [−π,π), sử dụng khoảng [− , ) [0,1); Z biểu thị tập hợp số nguyên 2 Tích hàm f g xác định là: < f, g >= f (x)g(x)d(x), tích phân lấy R T, có bất đẳng thức Schwarz’s |< f, g >| ≤ f g 2, f = ( |f |2 ) chuẩn f L2 Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chứng minh bất đẳng thức Minkowski’s: f +g ≤ f + g Chúng ta nói hai hàm f g trực giao < f, g >= 0, kí hiệu f ⊥g Một dãy hàm số {fn }n∈Z dãy trực chuẩn < fm , gn >= δm,n , δm,n = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1, n = m , 0, n = m http://www.lrc-tnu.edu.vn Một ví dụ tiêu biểu dãy trực chuẩn T = [−π, π) √ en 2π en (x) = einx n∈Z Cho hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} hàm f , xác định hệ số Fourier f với {fn : n ∈ Z} ck =< f, fk >, k ∈ Z Một câu hỏi mà nghiên cứu để xác định tình nào, điều với f= ck fk (1.1) k∈Z Khi fk (x) = eikx , k ∈ Z, f ∈ L2 (T), phép biểu diễn (1.1) hợp lí L2 định chuẩn Nhìn chung, trường hợp mà nói {fk : k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (T) Đẳng thức (1.1) công thức xây dựng lại sở cho nhiều ứng dụng lí thuyết wavelet Cho hàm f (một tín hiệu âm thanh) lập mã cho hệ số {ck }k∈Z Đẳng thức (1.1) cho phép ta xây dựng lại tín hiệu từ hệ số ck sở sử dụng lập mã Những sở đặc biệt sở wavelet, tái tạo lại cách hiệu so với sở khác Với hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z}, có bất đẳng thức Bessel’s |ck |2 ≤ f k∈Z Hơn nữa, hệ hệ sở có đẳng thức Ngược lại, hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} thỏa mãn |ck |2 = f 2 (1.2) k∈Z với f ∈ L2 (T), hệ cở sở L2 (T) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Biến đổi Fourier Trong R có lý thuyết "tương tự" Biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) xác định +∞ f (x)e−iξx dx f (ξ) = −∞ Chúng ta nói x biến thời gian thay đổi ξ xem biến tần số thay đổi Biến đổi ngược Fourier +∞ g (x) = 2π ∨ g(ξ)eiξx dξ −∞ áp dụng cho g = f , có f ; (f )∨ = f Với định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định < f, g >= f, g 2π (1.3) Biến đổi Fourier mở rộng đến hàm f ∈ L2 (R) toán tử f → √ f unita Khi f tồn L2 2π f (ξ) = iξ f (ξ) (1.4) Phép tính tích phân chứng minh công thức +∞ +∞ f (x)g(x)dx = − −∞ f (x)g (x)dx (1.5) −∞ hợp lí f, g ∈ L2 (R) f g, f g ∈ L1 (R) Trong trường hợp f, g, f , g ∈ L2 (R), điều chứng minh sử dụng (1.3) (1.4) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm mà sử dụng nhiều chứng minh điểm Lebesgue Giả sử f hàm đo hàm khả tích, điểm x0 gọi điểm Lebesgue f x0 +δ lim δ→0+ 2δ |f (x) − f (x0 )|dx = x0 −δ Theo định lí phép tìm đạo hàm Lebesgue hầu hết điểm x0 điểm Lebesgue Chúng ta tra cứu [Rud] định lí đặc biệt kết khác định lí độ đo Lebesgue Ba toán tử đơn giản sau hàm số xác định R đóng vai trò quan trọng lý thuyết: Phép tịnh tiến h, τh , xác định (τh f )(x) = f (x − h), phép co giãn r>0, ρr , xác định (ρr f )(x) = f (rx) phép nhân eimx (Đơi xét chúng tốn tử biến điệu) 1.2 Khái niệm sở wavelet khơng gian L2 (R) Một mục đích xây dựng sở trực chuẩn không gian L2 (R) cách áp dụng tốn tử vào hàm không gian L2 (R) Điều quan tâm sở wavelet 1.2.1 Định nghĩa Hai toán tử áp dụng cho sở wavelet sinh hàm thích hợp Nói cách xác hơn, wavelet trực chuẩn R hàm ψ ∈ L2 (R) cho {ψj,k : j, k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (R), j ψj,k (x) = 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 sở trực chuẩn L2 [0, 1] có phân cực (−, +) cho i), (−, −) cho ii), (+, −) cho iii) (+, +) cho iv) Chúng ta thấy làm để có i); ba mệnh đề cịn lại có cách tương tự Chúng ta dùng kết để có sở trực chuẩn mong muốn cho HI = PI (L2 (R)) I = [0, 1] Cho ε,ε > với ε+ε ≤ xét "hàm hình chng" b(x) = sε (x)cε (x − 1) Giả sử trước đối cực PI − + Do (2.10) trường hợp trở thành: PI f (x) = b(x){b(x)f (x) − b(−x)f (−x) + b(2 − x)f (2 − x) = b(x)S(x) Hàm số S(x) hàm lẻ hàm chẵn đối cực b (xem(2.9)); Vì S có đối cực phải biểu diễn sở trực chuẩn i) Định lí 2.2.1 Vì viết: S(x) = √ +∞ ck sin( k=0 2k + πx), ck = √ S(x) sin( 2k + πx)dx Sự hội tụ L2 ([0, 1]) có hầu hết khắp nơi (theo định lí L Carleson) Khi S hàm sin mà sử dụng có chung đối cực 1, mở rộng hợp lí, có sở [−ε, + ε ] theo nghĩa L2 gần khắp nơi Thực phép nhân với b(x) có +∞ (PI f )(x) = b(x)S(x) = k=0 √ 2k + ck 2b(x) sin( πx) hội tụ có hiệu lực L2 ([−ε, 1+ε ]) có nơi, kể từ b bị chặn Điều cho ta thấy hệ: √ 2k + { 2b(x) sin( πx)}, k = 0, 1, 2, · · · Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 đầy đủ HI = PI (L2 (R)) PI có đối cực (-,+) Để hệ sở trực chuẩn cần phải chứng minh mối quan hệ trực chuẩn; ek = sin( 2k + πx), k = 0, 1, 2, · · · Chúng ta phải ra: 1+ε b2 (x)ek (x)el (x)dx = δkl , k, l = 0, 1, 2, · · · −ε kể từ ek lẻ cục 0, thay đổi biến số với tính chất ix) (2.9) với thay đổi biến số cho ta: 1+ε b (x)ek (x)el (x)dx = 1−ε ek (x)el (x)dx 1−ε Cuối cùng, b ≡ [ε, − ε ], chuẩn (2.18) [−ε, + ε ] tương đương với chuẩn hệ i) đoạn [0, 1] nêu Định lí 2.2.1 Kể từ ta biết điều đúng, chứng minh kết mà ta mong muốn 2.2.2 Trường hợp I = [α, β] Thực phép tịnh tiến, phép co giãn hợp lí có tính đến loại đối cực khác có kết sau: Giả sử HI = PI (L2 (R)) I = [α, β] đoạn hữu hạn tùy ý Định lý 2.2.2 Nếu PI = P[α,β] có đối cực âm α đối cực dương β 2k+1 π i) |I| bI (x) sin( |I| (x − α)) , k = 0, 1, 2, · · · sở trực chuẩn không gian HI = PI (L2 (R)) Nếu phân cực (−, −), (+, −) (+, +) (α, β) điều tương tự đúng, tương ứng, cho π ii) |I| bI (x) sin(k |I| (x − α)) , k = 1, 2, 3, · · · iii) 2k+1 π |I| bI (x) cos( |I| (x − α)) , k = 0, 1, 2, · · · Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 |I| bI (x), iv) 2.2.3 π |I| bI (x) cos(k |I| (x − α)) , k = 1, 2, 3, · · · Cơ sở trực chuẩn L2 (R) Định lí 2.2.2 với phân hoạch trực giao (2.16) sử dụng để có sở khơng gian L2 (R) Chọn dãy số thực tăng chặt {αj }j∈Z cho lim αj = +∞ lim αj = −∞; j→+∞ j→−∞ Cho {αj }j∈Z dãy số thực dương, vậy: εj + εj+1 ≤ αj+1 − αj ≡ lj , ∀j ∈ Z Nếu chọn phân cực (−, +) cho Pj = P[αj ,αj+1 ] có hệ θk,j = 2k + π b[αj ,α+1 ] (x) sin( (x − αj )), k = 0, 1, 2, · · · , j ∈ Z lj lj (2.19) sở trực chuẩn không gian L2 (R)) Sự hội tụ chuỗi khai triển hàm số f ∈ L2 (R) với sở đưa (2.19) có sở L2 (R) Một kết sâu sắc hội tụ hầu khắp nơi, hệ định lí tiếng L Carleson Chính xác có +∞ lim N →+∞ < f, θk,j > θk,j (x) = f (x) |j|≤N k=0 Đối với x ∈ R, tổng thứ hai cho thấy hội tụ hầu khắp nơi tổng tùng M < f, θk,j > θk,j (x) k=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 M → +∞, với j ∈ Z Kết hợp cách hợp lí phân cực cho đoạn [αj , αj+1 ] có được, tương tự sở khác không gian L2 (R) Bằng cách sử dụng hàm sin cosin thích hợp, đạt kết quả, nói chung kết khơng dựng biến điệu, phép nhân hàm mũ (xem định lí Balian-Low) Sự phân hoạch L2 (R) nêu (2.17) dùng để có sở trực chuẩn không gian Phần tử sở biến đổi Fourier sở wavelet giới thiệu Lemarié Meyer [LM ] Định lý 2.2.3 Hệ j γj,k 2k+1 j 22 = √ b(2j ξ)ei 2 ξ , j, k ∈ Z 2π sở trực chuẩn khơng gian L2 (R), b bị giới hạn π [0, +∞) "hàm hình chuông" [π, 2π] kết hợp với = < Cj,n , Ck,l > + < Sj,n , Sk,l > + + − − =< 2Cj,n , 2Ck,l > + < 2Cj,n , 2Ck,l > + + − − + < 2Sj,n , 2Sk,l > + < 2Sj,n , 2Sk,l > = 4δj,k δn,l Tương tự vậy, < βj,n , βk,l >= δj,k δn,l Cuối sử dụng tính chẵn Cj,n tính lẻ Sk,l có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 < αj,n , βk,l > = < Cj,n , Ck,l > +4i < Cj,n , Sk,l > + 4i < Sj,n , Ck,l > −4 < Sj,n , 2Sk,l > + + − − =< 2Cj,n , 2Ck,l > + < 2Cj,n , 2Ck,l > + + − − − < 2Sj,n , 2Sk,l > − < 2Sj,n , 2Sk,l > = 2δj,k δn,l − 2δj,k δn,l = Bây phải tính đầy đủ Cho f ∈ L2 (R) giả sử f (e) hàm chẵn [f (x) + f (−x)] /2 f (0) hàm lẻ [f (x) − f (−x)] /2 f = f (e) + f (0) Sử dụng tính chẵn Cj,n tính lẻ Sk,l có < f, αj,k > αj,k + < f, βj,k > βj,k j∈Z k≥0 < f (e) , Cj,k > Cj,k + < f (0) , Sj,k > Sj,k =2 j∈Z k≥0 =4 j∈Z k≥0 + − − + { < f (e) , Cj,k > Cj,k + < f (e) , Cj,k > Cj,k + + − − + < f (0) , Sj,k > Sj,k + < f (0) , Sj,k > Sj,k } = f (e) χ(0,+∞) + f (e) χ(−∞,0) + f (0) χ(0,+∞) + f (0) χ(−∞,0) = f, +,− Chúng ta sử dụng thực tế quan sát thấy hệ {2Cj,k } +,− {2Sj,k } , k ≥ 0, j ∈ Z tạo thành sở trực chuẩn không gian L2 ((0, +∞)) L2 ((−∞, 0)) lựa chọn thích hợp + − Định lý 2.2.4 Giả sử γ(ξ) = ξ √1 ei b(ξ) 2π Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên hàm γ0,0 Định lí 2.2.3 http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 xác định ψ ψ(ξ) = √ ξ 2πγ(ξ) = ei b(ξ) Khi đó, ψ wavelet trực chuẩn Chứng minh Theo định lí Plancherel ta có: ψ 2 = ψ 2π 2 = γ = Hơn ta có: −j −j kξ ψ(2−j ξ) −j −j kξ b(2−j ξ)ei2 (ψj,k )∧ (ξ) = 2 e−i2 = 2 e−i2 −j = 2 b(2−j ξ)ei2 −j ξ −j 1−2k ξ = √ 2πγ−j,−k (ξ) Theo Định lí 2.2.3 {ψj,k : j, k ∈ Z} hệ trực chuẩn không gian L2 (R) Những wavelet trực chuẩn có Hệ 2.2.1 mô tả P.G Lemarié Y Meyer [LM] chúng gọi wavelet Lemarié-Meyer Trong Hình vẽ 2.6 đưa đồ thị wavelet ψ có biến đổi ξ Fourier dạng: ψ(ξ) = b(ξ)ei với  2  sin[ (|ξ| − π)], π < |ξ| ≤ π,     b(ξ) = sin[ ( 8π − |ξ|)], π < |ξ| ≤ π,      cho trường hợp cịn lại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Hình 2.6 : Đồ thị wavelet Lemarié-Meyer Định lí 2.2.2 với phân hoạch trực giao (2.16) j dùng để có sở khác khơng gian L2 (R) Giả sử αj = , 1 Ij = [αj , αj+1 ] lj = |Ij | = αj+1 − αj = , với j ∈ Z chọn < ε ≤ Giả sử b "hàm hình chng" kết hợp với [0, ] ε điểm cuối j Ta thấy bj ≡ bIj = b(x − ) dùng ε tương tự điểm j cuối đoạn Ij Đối với đoạn Ij = [ , j+1 ] chọn đối cực Bây xây dựng sở trực chuẩn trong không gian L2 (R) Nếu j chẵn sử dụng sở cosin cục đưa trong iv) Định lí 2.2.2 để có √  j 2b(x − ),  (2.21)  j j 2b(x − ) cos(2πk(x − )), k = 1, 2, · · · Nếu j lẻ có j j 2b(x − ) sin(2πk(x − )), k = 1, 2, 3, · · · 2 (2.22) Cho j chẵn có j j j cos(2πk(x − )) = cos(2πkx) cos(2πk ) + sin(2πkx) sin(2πkx ) 2 = cos(2πkx); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 với j lẻ ta có j j j sin(2πk(x − )) = sin(2πkx) cos(2πk ) − cos(2πkx) sin(2πkx ) 2 k = (−1) sin(2πkx) Do √ j 2b(x − ) j ∈ 2Z       j 2b(x − ) cos(2πkx) j ∈ 2Z, k = 1, 2, 3, · · · j (−1)k 2b(x − ) sin(2πkx) j ∈ 2Z + 1, k = 1, 2, 3, · · · (2.23)      sở trực chuẩn không gian L2 (R) Như khắc phục tượng Balian-Low cách sử dụng hàm sin hàm cosin thay cho hàm mũ, kết "bước tịnh tiến" "bước tần số" 2π Hãy quan sát: Nếu gm,n (x) = e2πimx g(x − n ) tập hợp  √ 2g0,j j ∈ 2Z   (2.24)  j gk,j + (−1) g−k,j j ∈ Z, k = 1, 2, 3, · · ·  trùng với (2.23) g = b, ngoại trừ việc thừa số (−1)k tập hợp (2.23) thay 2i Một sở tương tự sở mô tả (2.23) phát sinh nghiên cứu K Wilson học lượng tử ([Wil]) Ông quan sát thấy trình nghiên cứu tốn tử mình, hàm số khơng cần sở để phân biệt tần số dương tần số âm thứ tự Thay dùng hàm "nhọn" xác định xung quanh π x = , ơng sử dụng hàm phát sinh từ kết hợp hai hàm "nhọn" phân bố đối xứng gốc, điều tạo hệ tương tự hệ (2.24) Chúng ta gọi sở mà ông sử dụng sở Wilson, cách rõ ràng việc sử dụng kí hiệu (2.24), có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 √   2g0,j j ∈ 2Z k+j [gk,j + (−1) g−k,j ] j ∈ Z, k = 1, 2, · · · (2.25)  (Quan sát khác lũy thừa −1) (2.24) lũy thừa −1 (2.25)) Tập hợp viết theo cách sau đây: √  2g(x − j) k = 0, j ∈ Z      j (2.26) 2g(x − ) cos(2πkx) k > 0, k + j chẵn      j 2g(x − ) sin(2πkx) k > 0, k + j lẻ Việc chứng minh (2.26) sở trực chuẩn vài hàm số g đơn giản hóa [DJJ] Ở đưa chứng minh đơn giản hệ kết phép chiếu trơn sở sin cosin cục Điều quan sát cách độc lập P Auscher ([Au1]) E Laeng ([Lae]) Những cần thiết thay đổi đơn giản sơ đồ khai triển để có (2.23) Lấy αj = df rac2j − 14 với j ∈ Z < ε < df rac14, ε = ε sử dụng đối cực Bằng cách sử dụng đồng thức lượng giác đơn giản khơng khó để hệ: √ j 2b(x − ) j chẵn k = j 2b(x − ) cos(2πk(x + )) j chẵn k > j 2b(x − ) sin(2πk(x − )) j lẻ k >       (2.27)      Trùng với (2.26) b = g, ngoại trừ vài thừa số −1 khơng thay đổi tính trực chuẩn hệ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày khái niệm sở trực chuẩn không gian L2 (R) Trong định lý Balian-Low mô tả điều kiện cần để có sở trực chuẩn xuất phát từ hàm cho trước phép tịnh tiến phép nhân với hàm số Trình bày phép chiếu trực giao không gian L2 (R) phân hoạch trực giao không gian cách chọn hàm hình chng phân cực thích hợp Xây dựng sở trực chuẩn không gian L2 (R) phép tịnh tiến phép nhân với hàm sin cosin Trên sở cách xây dựng sở wavelet trực chuẩn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Tài liệu tham khảo [1] [Au1] P Auscher, Remarks on local Fourier bases, in Wavelets: Mathematics and Applications (J.J Benedetto and M W Frazier, Ed.) CRC Press, (1994), 203-218 [2] [Car1] L Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier serie, Acta Mat., 116, (1966), 135-157 [3] [Coi] R Coifman, A real variable characterization of H p , Studia Math., 51, (1974), 269-274 [4] [DJJ] I Daubechies, S Jaffard, J.L Journé, Asimple Wilson orthonormal basis with exponential decay, SIAM J Math Anal., 22,(1991), 554-572 [5] [Gar] D Gabor, theory of communicatioan, J.Inst Electr Eng., London, 93 (III), (1946), 429-457 [6] [Haa] A Haar, Zur theorie der orthogonalen funktionen systems, Math Ann., 69, (1910), 331-371 [7] Eugenio Hernández and Guido Weiss, A First Course on wavelets, CRS Press, Boca Raton, New York, (1996) [8] [LM] P.G Lemarié, Y Meyer, Ondelettes et bases hilbertiannes, Rev Math Iberoamericana, 2, (1986), 1-18 [9] Yves Meyer, Wavelet, Algorithms and Applications SIAM, (1993) [10] [Rud] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, (1966) [11] [Wil] K.G Wilson, Generalized Wannier Functions, Preprint, Cornell University, (1987) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày 28 tháng năm 2011 chỉnh sửa với ý kiến đóng góp Thầy hội đồng Thái Nguyên, ngày 06 tháng năm 2011 Xác nhận người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Kết luận, luận văn gồm chương Chương Cơ sở trực chuẩn khơng gian L2 (R) Trong chương trình bày khái niệm không gian L2 (R), biến đổi Fourier không gian L2 (R), khái niệm sở sóng nhỏ khơng gian L2. .. chúng toán tử biến điệu) 1.2 Khái niệm sở wavelet không gian L2 (R) Một mục đích xây dựng sở trực chuẩn không gian L2 (R) cách áp dụng tốn tử vào hàm khơng gian L2 (R) Điều quan tâm sở wavelet. .. để có sở trực chuẩn không gian Hk không gian L2 (R) Theo cách có: −∞ < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞, sở không gian HIk (Ik = [αk , βk )) tạo hệ đầy đủ không gian trực giao L2 (R) Hệ