. THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn: Toỏn A. Thi gian: 180 phỳt ( Khụng k giao ). PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hm s 2 2 ( 1 ) 2y x m x= + cú th l ( ) m C . 1. Kho sỏt v v th ca hm s khi 3.m = 2. Tỡm m ( ) m C cú 3 im cc tr. Khi ú gi ( ) l tip tuyn ca ( ) m C ti im cc tiu, tỡm m din tớch min phng gii hn bi ( ) m C v ( ) bng 4 15 . Cõu II (2 im) : 1. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 2 1 2. x xy y y x y x y x + + = + + + = . 2.Gii phng trỡnh : 01cossin2sinsin2 2 =++ xxxx . Cõu III (1 im): Tính tích phân sau: 2 3 cos sin cos 2 2 0 x x x A e dx = Câu IV .(1 điểm) Cho tứ diện ABCD có góc 0 0 90 ; 120ABC BAD CAD= = = .AB=a, AC=2a, AD=3a . Tính thể tích tứ diện ABCD đó Cõu V (1 im) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2) 1. Theo chng trỡnh chun. Cõu VI.a (2 im) 1. Cho ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM: 2 1 0x y+ + = v phõn giỏc trong CD: 1 0x y+ = . Vit phng trỡnh ng thng BC. 2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh: 2 2 2 2 x t y t z t = + = = + .Gi l ng thng qua im A(4;0;-1) song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua , hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht. Cõu VII.a (1 im) Với x,y là các số thực thuộc đoạn [ ] 0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 1 1 2 9 3 2 1 1 1 xy P xy x y xy x y + = + + + + + + + + + 2. Theo chng trỡnh nõng cao. Cõu VI.b (2 im) 1) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn 2 2 ( ) : 2 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2 ( ') : 4 5 0C x y x+ + = cựng i qua M(1; 0). Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn ( ), ( ')C C ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB. 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d một góc 0 30 Cõu VII.b (1 im) Cho x, y, z 0 tho món x+y+z > 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) 3 3 3 3 16x y z P x y z + + = + + Ht Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng n¨m 2010 Híng dÉn chÊm m«n to¸n Câu I.1) (1 điểm) Nội dung Điểm - m=3, h/s trở thành 2 2 4 2 (2 ) 2 2 2y x x y x x= − + ⇔ = − + + . TXĐ: R, là h/s chẵn, lim x y →±∞ = −∞ . Ta có 3 0 ' 4 4 , ' 0 1 x y x x y x =  = − + = ⇔  = ±  . 0.25 BBT. 0.25 Nêu các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị 0.25 Đồ thị; 2 -2 O -5 5 -1 3 2 -2 1 0.25 Câu I.2) (1 điểm) Nội dung Điểm Trường hợp tổng quát, ta có 3 ' 4 2( 1)y x m x= − + − . H/s có ba cực trị khi và chỉ khi pt y’=0 có ba nghiệm phân biệt 3 2 0 4 2( 1) 1. 2 1 x x m x m x m =  ⇔ = − ⇔ ⇒ >  = −  0.25 Ta có 2 '' 12 2( 1) ''(0) 2( 1) 0 ( ) m y x m y m C= − + − ⇒ = − > ⇒ có điểm cực tiểu (0;2). Tiếp tuyến với ( ) m C tại (0;2) là ( ): 2 '(0)( 0) 2.y f x y∆ − = − ⇔ = 0.25 Pt hoành độ giao điểm của ( ) m C và ( )∆ là: 2 2 0 ( 1 ) 2 2 1 x x m x x m =  − − + = ⇔  = ± −  . Diện tích miền phẳng giới hạn bởi ( ) m C và ( )∆ là 1 4 2 1 ( 1) m m x m x dx − − − − + − ∫ 0.25 ( ) 1 1 5 3 2 4 2 1 0 ( 1) 4( 1) 1 ( 1) 2 5 3 15 m m m x m x m m x m x dx − − − −   − − − − + − = − + =  ÷   ∫ . Ycbt tương đương với 2 5 ( 1) 1 1 ( 1) 1 2.m m m m− − = ⇔ − = ⇔ = 0.25 CâuII 1 ĐK: x-y+1 0≥ . 0.25 Ta có (1) 2 2 2 2( ) 0 ( )( 2) 0 2 2 x y xy y y x x y x y y x y x y ⇔ − + − + − = ⇔ − + + − = ⇔ = ∨ = − 0.25 Với x=y, (2) 1 2 1 1x x x x x x y⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = = là 1 nghiệm. 0.25 Với x=2-2y, 2 0 (2) 2 2 1 2 2 2 3 3 2 8 3 3 4 3 x y y y y y y y y y x =  =   ⇔ − − + + − = ⇔ − = ⇔ ⇒   − = =   KL: Hệ có 3 nghiệm (1;1); (2;0); (8/3;-1/3). 0.25 Câu Ý 1) CâuII:2. Giải phương trình: 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =−+−−⇔=−++− xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( −=−−−=∆ xxx . VËy 5,0sin =x hoÆc 1cossin −= xx . Víi 5,0sin =x ta cã π π kx 2 6 += hoÆc π π kx 2 6 5 += Víi 1cossin −= xx ta cã       −=−=       −⇔−=− 4 sin 2 2 4 sin1cossin ππ xxx , suy ra π kx 2 = hoÆc π π kx 2 2 3 += 2 Câu Phần III (1,0) Ta cã 2 cos 0 1 (sin sin 2 ) 2 x A x x e dx π = + ∫ 2 2 cos cos 0 0 1 1 1 sin sin 2 2 2 2 x x xe dx xe dx I J π π = + = + ∫ ∫ +TÝnh 2 cos cos 2 0 0 sin | 1 x x I xe dx e e π π = = − = − ∫ +TÝnh 2 2 cos cos 0 0 1 sin 2 . sin cos . 2 x x J x e dx x x e dx π π = = ∫ ∫ §Æt cos cos cos sin sin . x x u x du xdx dv x e dx v e  = = −  ⇒   = = −   Khi ®ã 2 cos cos 2 0 0 cos . | sin . 1 x x J x e x e dx e I π π = − − = − = ∫ VËy ; 1 2 e A + = 0.25 0.25 0.25 0.25 IV A B M I N D C +Gọi M;N là các điểm thuôc cạnh AC và AD sao cho AM=AN=a Ta có : 2 2 2 0 2 . cos120MN AM AN AM AN= + 2 3 3a MN a= = + 2BN a= ; 1 2 BM AC a= = Suy ra : 2 2 2 MN BM BN= + ,Do đó tam giác BMN vuông tại B. 2 1 2 . 2 2 BMN a S BN BM = = + Goị I là trung điểm của MN, ta có: 2 2 2 2 4 a AI AN IN= = Xét tam giác BMN có BI là trung tuyến nên ta có : 2 2 2 2 2 3 2 4 4 BM BN MN a BI + = = Dễ thấy 2 2 2 2 AI BI a AB+ = = suy ra tam giác AIB vuông tại I Nh vậy ; ( )AI BI AI MN AI BMN suy ra AI là Đờng cao của tứ diện ABMN + Khi đó 2 3 1 1 2 2 . . . 3 3 2 2 12 ABMN BMN a a a V AI S = = = + Mặt khác 1 . . 6 ABMN ABCD V AB AM AN V AB AC AD = = 6 ABCD ABMN V V = 3 3 2 2 6. 12 2 a a = = 1V Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 < 4 < m VIa 1 im ( ) : 1 0 ;1C CD x y C t t + = . Suy ra trung im M ca AC l 1 3 ; 2 2 t t M + ữ . im ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + + + = + + = = ữ Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y⊥ + − = tại I (điểm K BC ∈ ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + = . Tọa độ điểm I thỏa hệ: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + − =  ⇒  − + =  . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của ( ) 1;0K − . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆ , thì ( )//( )P D hoặc ( ) ( )P D⊃ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH AH⊥ . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d D P d I P IH H P  = =   ∈   Trong mặt phẳng ( ) P , IH IA≤ ; do đó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) 6;0; 3n IA= = − r uur , cùng phương với ( ) 2;0; 1v = − r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: ( ) ( ) 2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = . VIIa + Ta cã : 1 (*) 2 1 xy x y xy x y + + ≥ + + + . ThËt vËy: ( ) ( ) ( ) ( ) (*) 1 1 2xy x y x y xy⇔ + + + ≥ + + ( ) ( ) 1 1 0x y⇔ − − ≥ §óng víi x,y thuéc [ ] 0;1 Khi ®ã 1 1 1 1(1) 2 1 1 1 xy x y xy x y x y x y + + + ≥ + = + + + + + + + + V× [ ] ; 0;1 0 1x y xy∈ ⇒ ≤ ≤ 2 1 2 1(2) 1 xy xy ⇒ + ≤ ⇒ ≥ + +Tong tù: ( ) ( ) 3 3 9 0 2 1 9 1(3) 1 x y x y x y ≤ + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ ≥ + + Tõ (1);(2);(3) Ta cã : 3P ≥ VËy , MinP=3 khi x=y=1 VIb + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và 1, ' 3R R= = , đường thẳng ( 1) 2 2 ( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b + = + = + . + Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM. Khi ú ta cú: 2 2 2 2 2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= = ( ) ( ) 2 2 1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d = , .IA IH> ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35 a b d I d d I d a b a b = = + + 2 2 2 2 2 2 36 35 36 a b a b a b = = + D thy 0b nờn chn 6 1 6 = = = a b a . Kim tra iu kin IA IH> ri thay vo (*) ta cú hai ng thng tho món. 2 .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+= CACACACA . Vậy CA = hoặc CA = 2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( mp có phơng trình 0)2(2 =++ zyx hay 042 =++ zyx Nếu CA = 2 ta có thể chọn 2,1 == CA , khi đó 1=B , tức là )2;1;1( =n và )( mp có phơng trình 02)2( = zyx VIIb 1,00 Trc ht ta cú: ( ) 3 3 3 4 x y x y + + (bin i tng ng) ( ) ( ) 2 0x y x y + t x + y + z = a. Khi ú ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 64 64 4 1 64 x y z a z z P t t a a + + + = = + (vi t = z a , 0 1t ) Xột hm s f(t) = (1 t) 3 + 64t 3 vi t [ ] 0;1 . Cú ( ) [ ] 2 2 1 '( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1 9 f t t t f t t = = = Lp bng bin thiờn ( ) [ ] 0;1 64 inf 81 t M t = GTNN ca P l 16 81 t c khi x = y = 4z > 0 . Ý 1) CâuII:2. Giải phương trình: 01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2 22 =−+−−⇔=−++− xxxxxxxx . 22 )3cos2()1(cos8)1cos2( −=−−−=∆ xxx . VËy 5,0sin =x hoÆc 1cossin −= xx . Víi 5,0sin =x ta. dx π = + ∫ 2 2 cos cos 0 0 1 1 1 sin sin 2 2 2 2 x x xe dx xe dx I J π π = + = + ∫ ∫ +TÝnh 2 cos cos 2 0 0 sin | 1 x x I xe dx e e π π = = − = − ∫ +TÝnh 2 2 cos cos 0 0 1 sin 2 . sin cos . 2 x x J. cos . 2 x x J x e dx x x e dx π π = = ∫ ∫ §Æt cos cos cos sin sin . x x u x du xdx dv x e dx v e  = = −  ⇒   = = −   Khi ®ã 2 cos cos 2 0 0 cos . | sin . 1 x x J x e x e dx e I π π = −