BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TÓAN ĐẾ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x 2 – 49 – 12xy + 9y 2 b) x 2 + 7x + 10 Bài 2 (4đ) Cho 2 2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x − − − = + − − − + − a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên. Bài 3 (4đ). Giải phương trình ) 2 1 3 2a x x+ = − b) x 2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G. a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC. b) ∆ABC ~ ∆AEF c) EDCFDB ˆˆ = d) H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình 2008 2007 < − x HẾT 1 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC 9 Gợi ý đáp án Điểm Bài 1a) 4x 2 -49-12xy+9y 2 =(4x 2 -12xy+9y 2 )-49 =(2x-3y) 2 -7 2 =(2x-3y+7)(2x-37-7) (1 đ) (1đ) Bài 1b) x 2 +7x+10 =x 2 +5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) (1đ) (1đ) Bài 2a) x 2 -7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5và x ≠2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 4 2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5 5 2 (2 4)( 2) ( 5)( 2) 8 15 ( 5)( 3) 3 ( 5)( 2) ( 5)( 2) 2 x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − = + − = + − = − − + − − − − − − + − − − − − = − − − + − − − − − + = = = − − − − − (0,5đ) (2đ) 2b) ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x − − + = = − + − − , với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi 1 2x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1. (1,5đ) Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau TH1: 1 2 1 0 2 1 3 2 2 2 1 3 2 3 x x x x x x x ≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = − ⇔ + = − ⇔ = Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình. TH2: 1 2 1 0 2 1 3 2 2 2 1 3 2 5 1 0,2 x x x x x x x x < − ⇔ + < ⇒ + = − ⇔ − − = − ⇔ = ⇔ = Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của phương trình. Kết luận phương trình có nghiệm x=3. (1đ) (1đ) Bài 3b) x 2 -2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x 2 -25=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 ⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 hoặc x+8 =0 ⇔ x=-5 hoặc x=-8 (2đ) 2 Gợi ý đáp án Điểm Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG //CH, tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC. (2đ) 4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng. Từ đây suy ra (1) AB AE AB AF AC AF AE AC = ⇒ = Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF. (1,5đ) 4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DEC⇒ · · BDF CDE= . (1,5đ) 4d) Ta có · · · · · · · · · · 0 0 90 90BDF CDE BDF CDE AHB BDF AHC CDE ADF ADE = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF. (1đ) Bài 5) Ta có x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y) 2 – (x + y)z + z 2 ] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy] = x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 x xy y y yz z x xz z   − + + − + + − +   = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 x y y z x x   − + − + −   dpcm 1đ Bài 6) Điều kiện 0x ≠ , bất phương trình 2008 2007 < − x 2007 2008 0 x x + ⇔ > (2008 2007) 0 0 2007 2008 x x x x ⇔ + > >   ⇔  < −  Hoặc biểu diễn trên trục số : 1đ Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng. ĐỀ 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 3 2007 2008 − 0 F E M G H D C B A Môn: Toán. Thời gian: 150 phút. Bài 1: a) Giải phương trình: 4 3 2 11 10 0x x x x- + - + = . b) Tìm x, y thoả mãn: 2 1 4 4x x y y- - = - + - . Bài 2. Rút gọn 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 A - + = + - + + - . Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: 2 2 4 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - + . 2 2 2 2 2 2008Q x y xy x= + + - + . Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG. a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được. b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O). ĐÁP ÁN Bài 1: a) 4 3 2 11 10 0x x x x- + - + = . 2 ( 1)( 2)( 2 5) 0x x x x- - + + =Û ( 1)( 2) 0x x- - =Û (vì 2 2 5 ( 1) 4 0,x x x x+ + = + + > " Î ¡ ). 1 2 x x é = ê Û ê = ë b) 2 1 4 4x x y y- - = - + - 2 2 ( 1 1) ( 4 2) 0x y- - + - - =Û 1 1 4 2 x y ì ï - = ï ï Û í ï - = ï ï î 2 8 x y ì = ï ï Û í ï = ï î Bài 2. 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 A - + = + - + + - . 2( 3 3) 2( 3 3) 4 2 3 4 4 2 3 4 - + = + - + + - 2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4 - + = + - + + - 2 2 2( 3 3) 2( 3 3) 3 9 - + + = - 24 2 4 2 6 = = - - 4 K D H C G E F I J B O A M Bài 3. 2 2 4 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - + 2 3 5 2 2 3 5 2 8x x x x= + + - + + - =³ Vậy, P min =8 khi 3 5 (2 3)(5 2 ) 0 2 2 x x x+ - -³Û ££ 2 2 2 2 2 2008Q x y xy x= + + - + 2 2 2 2 ( ) 2( ) 1 2 1 2006 ( 1) ( 1) 2006 2006; , x y x y y y x y y x y = + - + + + + + + = + - + + + "³ Vậy, Q min =2006 khi 1 0 2 1 0 1 x y x y y ì ì + - = = ï ï ï ï Û í í ï ï + = = - ï ï î î Bài 4. a) Ta có: OI OJ= DF DK=Þ //DH GKÞ · · HDE GME=Þ mà · · GME GFE= · · HDE GFE=Þ DHEFÞ nội tiếp được. b) Từ câu a suy ra · · DEH DFH= mà · · DFH OCH= OHECÞ nội tiếp được · · 0 90OEC OHC= =Þ . Vậy CE là tiếp tuyến của (O). ĐỀ 3 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút(không kể thời gian phát đề) B. Phần Tự luận(7,0 điểm) 1. Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx . Tính giá trị biểu thức A = x + y (1,0 điểm) 2. Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,0 điểm) 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x B ++       + −       +−       + = 3. Giải phương trình: 2122122 =+−+++++ xxxx (1,0 điểm) 5 4. Trong (Oxy) cho đường thẳng (d 1 ): y = 3 - m(x -2) ; (d 2 ): y + 3 - m(x + 2) = 0 (2,0 điểm) a. Tìm điểm cố định A của (d 1 ), B của (d 2 ). Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) b. Tìm quỹ tích giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) (0,5 điểm) c. Xác định m để điểm M trùng điểm A (0,5 điểm) 5. Cho đường thẳng (d), trên đường thẳng vuông góc với (d) tại H(H nằm trên (d)), lấy điểm A, trên (d) lấy điểm T( T khác H) (2,0 điểm) a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T (1,0 điểm) b. Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x (0,5 điểm) c. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại A cắt (d) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T là trung điểm ED (0,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MÔN: TOÁN LỚP 9 B. Phần Tự luận(7,0 điểm) 1. Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx (1). Tính giá trị biểu thức A = x + y (1,0 điểm) Nhân hai vế của (1) cho ( ) 3 2 +− xx ta có ( ) 333 2 =++− yy ( ) 3 2 +− xx (2) (0,25 điểm) Nhân hai vế của (1) cho ( ) 3 2 +− yy ta có ( ) 333 2 =++− xx ( ) 3 2 +− yy (3) (0,25 điểm) Cộng (2) và (3) ta có: ( ) 3333 22 =+++++− xxyy ( ) 33 22 +−++− yyxx (0,25 điểm) <=> 6(x + y) = 0 <=> x + y = 0 Kết luận: A = 0 (0,25 điểm) 2. Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,0 điểm) 6 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x B ++       + −       +−       + = => 3 3 3 2 3 3 6 11 11 x x x x x x x x B ++       +       +−       + = => 3 3 3 2 3 3 2 3 11 11 x x x x x x x x B ++       +       +−               + = (0,5đ) => ) 1 ( 1 3 3 3 x x x xB +−       += =>       += x xB 1 3 => 6 ≥ B Vậy : min B = 6 <=> x = 1 (0,5 điểm) 3. Giải phương trình: 2122122 =+−+++++ xxxx (1) (1,0 điểm) Điều kiện: 1−≥x (*) (1) => ( ) ( ) 21111 22 =−++++ xx (0,25 điểm) => 21111 =−++++ xx (2) * Nếu 011011 ≥⇒≥+⇒≥−+ xxx (2) => 01121111 =⇒=+⇒=−++++ xxxx (**) (0,25 điểm) * Nếu 011011 <⇒<+⇒<−+ xxx (2) => 021111 <∀⇒=+−+++ xxx (***) (0,25 điểm) Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm: 01 ≤≤− x (0,25 điểm) 4. Trong (Oxy) cho đường thẳng (d 1 ): y = 3 - m(x -2) ; (d 2 ): y + 3 - m(x + 2) = 0 a. Tìm điểm cố định A của (d 1 ), B của (d 2 ). Viết phương trình đường thẳng AB (1,0 điểm) Ta có: Giả sử A(x; y) là điểm cố định của (d 1 ) <=> y = 3 - m(x -2) m ∀ <=>       = = ⇔ =− =− 3 2 03 02 y x y x Vậy A(2; 3) (0,5 điểm) Ta có: Giả sử B(x; y) là điểm cố định của (d 2 ) <=> y + 3 - m(x + 2) = 0 m∀ <=> { { 2 3 02 03 −= −= =+ =+ ⇔ x y x y Vậy B(- 2; - 3) 7 (0,25 điểm) Phương trình đường thẳng AB: xy 2 3 = (0,25 điểm) b. Tìm quỹ tích giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) (0,5 điểm) Tọa độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là nghiệm của hệ phương trình           −−= ≠= ⇔ =+−+ −−= )2(3 0, 3 0)2(3 )2(3 xmy m m x xmy xmy (0,25 điểm) Khử tham số ta có quỹ tích các điểm M có phương trình 6 , 0y x x = ≠ (0,25 điểm) c. Xác định m để điểm M trùng điểm A (0,5 điểm) Để M trùng A <=> 3 3 2 2 m m = ⇔ = (0,25 điểm Thay x = 2, 3 2 m = ta có y = 3 Vậy 3 2 m = thoả mãn bài toán. (0,25 điểm) 5. a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T (1,0 điểm) Dựng đường thẳng (a) đi qua O vuông góc với (d) (0,25 điểm) Dựng đường trung trực (b) của đoạn AT (0,25 điểm) Giao điểm của (a) và (b) là tâm O của đường tròn (O) cần dựng (0,5 điểm) b. Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x (0,5 điểm) Ta có (a) // AB và O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân tại A => AB = AC = 2R Xét tam giác vuông HAT: AT 2 = AH 2 + HT 2 = h 2 + x 2 Xét tam giác vuông TAB: AT 2 = AH.AB = h.2R 8 (0,25 điểm) => 2hR = h 2 + x 2 => 2 2 2 h x R h + = (0,25 điểm) c. Tiếp tuyến đường tròn (O) cắt (D) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T là trung điểm ED Để T trung điểm của ED => AETEDAT ∆⇒= 2 1 đều => 3 , 2 2 AH ET ET x= = (0,25 điểm) => 2 3 3 2 3 h x x h= ⇒ = Vậy 3 3 x h= thì T là trung điểm của ED (0,25 điểm) x (a) (b) H C O D E B T A ĐỀ 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian:90 phút(không kể thời gian phát đề) Phần Tự luận(7,0 điểm) 9 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 (1,0 điểm) 4. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x 2 - 1 thì dư là x + 5 (1,0 điểm) 5. Chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xyzxyz yxzxzyzyx yxzxzyzyx ++ ++ = −+−+− −+−+− 333 223223223 (1,0 điểm) 6. Cho biểu thức : 1 )1(3 23 +++ + = xxx x A . Tìm x để A lớn nhất (1,0 điểm) 7. Giải phương trình: 9 2008 8 2007 7 2006 6 2005 5 2004 4 2003 3 2002 2 2001 1 2000 = + + + + + + + + + + + + + + + + xxxxxxxxx (1,5 điểm) 8. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng d // AB, dBEdAH ⊥⊥ , . Chứng minh S ABEH = S ABCD (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MÔN: TOÁN LỚP 8 Phần Tự luận(7,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (1,0 điểm) (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b => x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a Ta có:(a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = [(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 ) (0,25 điểm) = (x + y + z - x)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 ] - (y + z)(y 2 - yz + z 2 ) = (y + z)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 - y 2 + yz - z 2 ] (0,25 điểm) = (y + z)(x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx+x 2 +xy+xz+x 2 - y 2 + yz - z 2 ) = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3yz + 3zx) = 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,25 điểm) = 3(y + z)(x + y)(x + z) = 3. 2c.2b.2a = 24abc (0,25 điểm) Vậy (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = 24abc 2. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax 3 + bx 2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x 2 - 1 thì dư là x + 5 (1,0 điểm) Ta có: ( 2) 0 (1) 6 ( 1) 4 f f f − =   =   − =  8 4 0 6 4 a a c a b c a b c − + + =   ⇔ + + =   − + + =  1 1 4 a b c =   ⇔ =   =  (0,75 điểm) Vậy f(x) = x 3 + x 2 + 4 (0,25 điểm) 3. Chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xyzxyz yxzxzyzyx yxzxzyzyx ++ ++ = −+−+− −+−+− 333 223223223 (1,0 điểm) Xét tử thức vế trái: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 x y z y z x z x y− + − + − = x 3 (y 2 – z 2 ) + y 3 [(z 2 – y 2 ) + (y 2 – x 2 )] + z 3 (x 2 – y 2 ) = x 3 (y 2 – z 2 ) + y 3 (z 2 – y 2 ) + y 3 (y 2 – x 2 ) + z 3 (x 2 – y 2 ) = (y 2 – z 2 )(x 3 – y 3 ) + (x 2 – y 2 )(z 3 – y 3 ) (0,25 điểm) = (y – z)(x – y)[(y + z)(x 2 + xy + y 2 ) – (x + y)(y 2 + yz + z 2 )] = (y – z)(x – y)(x 2 y+xy 2 +y 3 +x 2 z+xyz+y 2 z-xy 2 -xz 2 -xyz-y 3 -yz 2 -y 2 z) = (y – z)(x – y)(x 2 y – yz 2 + x 2 z – xz 2 ) 10 [...]...  S ABEH = S ABEK + S HAK ⇒ S ABEH = S ABJK Mà  (2) (0,25 điểm) S ABJK = S ABEK + S EBJ  Từ (1) và (2) ta có: SABEH = SABCD (0,25 điểm) 11 (d) C B J I K A E D H ĐỀ 5 ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 -2008 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng) 3 2 và 2 3 x2 −1 − x2 + 1 = 0... tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào? HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008 12 Câu 1 (1,5đ) Nội dung – yêu cầu Giả sử 3 2 > 2 3 ⇔ ( ⇔3 2 >2 3⇔ 3 2 ( ) >( 2 3 2 ) > ( 2 3) 2 2 2 3 ) Điểm 2 ⇔ 18 > 12 (BĐT đúng) x 2 − 1 . ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DEC⇒ · · BDF CDE= . (1,5đ) 4d) Ta có · · · · · · · · · · 0 0 90 90BDF CDE BDF CDE AHB BDF AHC CDE ADF ADE = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = Suy ra DH là tia phân. î Bài 4. a) Ta có: OI OJ= DF DK=Þ //DH GKÞ · · HDE GME=Þ mà · · GME GFE= · · HDE GFE=Þ DHEFÞ nội tiếp được. b) Từ câu a suy ra · · DEH DFH= mà · · DFH OCH= OHECÞ nội tiếp được · · 0 90OEC. BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TÓAN ĐẾ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN HỌC Thời gian