154 CHƯƠNG Ta có ϕ( ω−π ) = −ntg −1 ( Tω−π ) = −π ⇒ tg −1 ( Tω−π ) = π π π ⇒ ( Tω−π ) = tg   ⇒ ω−π = tg   n T  n  n Do M( ω−π ) < ⇔ K    T  tg  π   +   T  n             π ⇔ K <  tg   +     n   n  ΦM > ⇒ hệ thống ổn định Ví dụ 4.18 Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn định không? KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 155 Hình 4.22 Giải Trên biểu đồ Bode ta xác định được: ωc = 5, (rad/sec), ω−π = (rad/sec) L( ω−π ) = 35dB ⇒ GM = −35dB ϕ( ωc ) = −270° ⇒ ΦM = 180° + ( −270°) = −90° Do GM < vaø ΦM < nên hệ thống kín không ổn định g 156 Chương ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯNG Ổn định điều kiện cần hệ ĐKTĐ, song chưa phải đủ để hệ thống sử dụng thực tế Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn lúc tiêu chuẩn chất lượng khác độ xác, độ ổn định, đáp ứng độ, độ nhạy, khả chống nhiễu Sau số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển Hình 5.1 1- Sai số xác lập exl = lim e( t ) = lim sE( s) t→∞ s→0 (5.1) ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 157 e(t) = r(t) – c(t) Sai số hiệu số tín hiệu vào tín hiệu hồi tiếp Mục đích muốn tín hiệu qua vòng hồi tiếp luôn bám tín hiệu vào mong muốn Điều có nghóa sai số xác lập không 2- Độ vọt lố (độ điều chỉnh ) POT% = cm a x − cxl × 100 cxl (5.2) 3- Thời gian đáp ứng • Thời gian lên đỉnh thời gian đáp ứng đạt giá trị cực đại (tp = tpeak) • Thời gian độ ts = tset xác định thời điểm đáp ứng từ sau trở không vượt khỏi miền giới hạn sai số ∆ quanh giá trị xác lập Ví dụ: ∆ ± 2%, ± 5% 4- Độ trữ ổn định Định nghóa: Khoảng cách từ trục ảo đến nghiệm cực gần (nghiệm thực phức) gọi độ trữ ổn định hệ Ký hiệu khoảng cách ngắn λo, λo lớn trình độ nhanh xác lập Đáp ứng độ hệ bậc n: n n ( p +λ )t c( t) = ∑ λi ⋅ e pit = e−λ ot ∑ λi ⋅ e i o i=1 i=1 (5.3) Re (pi + λo) ≤ 5- Tiêu chuẩn tích phân Trong thực tế hệ thống ĐKTĐ thiết kế phải thỏa yêu cầu hai chế độ xác lập độ Quá trình độ đánh giá thông qua giá trị tích phân sai lệch giá trị đặt giá trị tức thời đo đại lượng cần điều chỉnh 158 CHƯƠNG 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối hình vẽ: Hình 5.2 Hệ thống hối tiếp âm Sai số hệ thống G( s)   E( s) = R( s) − C( s) H ( s) = R( s) −  R( s) H ( s) + G( s) H ( s)    ⇒ E( s) = R( s) + G( s) H ( s) Sai số xác lập exl = lim e( t ) = lim sE( s) s→0 t→+∞ ⇒ exl = lim s→0 + sR( s) G( s) H ( s) (5.4) Sai số xác lập phụ thuộc vào cấu trúc thông số hệ thống mà phụ thuộc vào tín hiệu vào 1- Tín hiệu vào hàm nấc đơn vị r( t) = u( t ) ⇒ R( s) = s 1 s exl = lim = s→0 + G( s) H ( s) + lim G( s) H ( s) s⋅ s→0 Đặt K p = lim G( s) H ( s) : hệ số vị trí s→0 ⇒ exl = 1+ Kp (5.5) 2- Tín hiệu vào hàm dốc đơn vị r( t ) = tu( t ) ⇒ R( s) = s2 159 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN s⋅ 1 s2 = lim = s→0 + G( s) H ( s) s→0 s + sG( s) H ( s) lim sG( s) H ( s) exl = lim s→0 Ñaët K v = lim sG( s) H ( s) : hệ số vận tốc s→0 exl = Kv (5.6) 3- Tín hiệu vào hàm parabol r( t ) = s⋅ t2 u( t ) ⇒ R( s) = s3 1 s3 = lim = s→0 + G( s) H ( s) s→0 s + s2 G( s) H ( s) lim s G( s) H ( s) exl = lim s→0 Đặt K a = lim s2G( s) H ( s) : hệ số gia tốc s→0 exl = Ka (5.7) Nhận xét Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng có hàm truyền hở G( s) H ( s) mà Kp , Kv , Ka có giá trị bảng sau: Số khâu tích phân G(s)H(s) Hệ số vị trí Hệ số vận tốc Hệ số gia toác Kp Kv Ka Kp < ∞ 0 ∞ Kv < ∞ ∞ ∞ Ka < ∞ >3 ∞ ∞ ∞ - Neáu G(s)H(s) khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc với sai số exl = không theo kịp thay đổi tín hiệu vào 1+ Kp hàm dốc hàm parabol 160 CHƯƠNG - Nếu G(s)H(s) có khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc với sai số exl = , theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm dốc với sai số exl = không theo kịp thay đổi tín hiệu vào Kv hàm parabol ⇒ hệ thống có khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vô sai bậc - Nếu G(s)H(s) có hai khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc hàm dốc với sai số exl = , theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm parabol với sai số exl = ⇒ hệ thống có hai khâu tích phân lý Ka tưởng gọi hệ vô sai bậc hai - Nếu G(s)H(s) có ba khâu tích phân lý tưởng hệ thống kín theo kịp thay đổi tín hiệu vào hàm nấc, hàm dốc hàm parabol với sai số exl = ⇒ hệ thống có ba khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vô sai bậc ba ⇒ Hệ thống có n khâu tích phân lý tưởng gọi hệ vô sai bậc n 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ Đáp ứng độ đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc đơn vị 5.3.1 Hệ quán tính bậc Hàm truyền Gk ( s) = / Ts = + / Ts Ts + Hệ thống kín có cực thực s = − T 161 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN Hình 5.3 Giản đồ cực - zero Hình 5.4 Đáp ứng độ của hệ quán tính bậc hệ quán tính bậc Đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm nấc 1 T 1 C( s) = R( s) ⋅ Gk ( s) = = − = − s Ts + s Ts + s s + / T ⇒ c( t ) = − e − t T Nhận xét (xem hình 5.4) • Đáp ứng độ khâu quán tính bậc vọt lố • Thời T thời điểm c(t) đạt 63.2% giá trị xác lập, T nhỏ đáp ứng nhanh • Thời gian xác lập ts (settling time) thời gian để sai số c(t) giá trị xác lập nhỏ ε (ε = 5% hay 2%) • Sai số xác lập 5.3.2 Hệ dao động bậc hai Hàm truyền ω2 n Gk ( s) = s2 + 2ξωn s 1+ ω2 n s + 2ξωn s = ω2 n s + 2ξωn s + ω2 n = 2 T s + 2ξTs + 162 CHƯƠNG T = ωn Hệ thống có cặp cực phức liên hợp (H.5.5) s1,2 = −ξωn ± j ωn − ξ2 Hình 5.5 Giản đồ cực - zero Hình 5.6 Đáp ứng độ hệ dao động bậc hai hệ dao động bậc hai Đáp ứng hệ thống tín hiệu vào hàm naác 1 C ( s) = R( s) ⋅ Gk ( s) = ⋅ 2 s T s + 2ξTs + ⇒ c(t) = − e−ξωn t 1−ξ sin  (ωn − ξ2 )t + θ      độ lệch pha θ xác định cos θ = ξ Nhận xét (xem hình 5.6) • Đáp ứng độ khâu dao động bậc hai cóù dạng dao động với biên độ giảm dần - Nếu ξ = : c( t ) = − sin ωn t , đáp ứng hệ dao động không suy giảm với tần số ωn ⇒ ωn gọi tần số dao động tự nhiên - Nếu < ξ < : đáp ứng hệ dao động với biên độ giảm dần ⇒ ξ gọi hệ số tắt (hay hệ số suy giảm), ξ lớn dao động suy giảm nhanh 163 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN • Đáp ứng khâu dao động bậc hai có vọt lố Tổng quát, độ vọt lố (POT – Percent of Overshoot) định nghóa laø POT = cm a x − cxl ⋅ 100% cxl (5.8) (cmax - giá trị cực đại c(t); cxl - giá trị xác lập c(t)) Đối với hệ dao động bậc hai, độ vọt lố POT tính công thức  ξπ POT = exp  −  − ξ2    ⋅ 100%   (5.9) • Thời gian xác lập ts thời gian để sai số c(t) giá trị xác lập nhỏ ε (ε = 5% hay 2%) Đối với hệ bậc hai - Theo tiêu chuẩn 5%: txl = ξωn (5.10) - Theo tiêu chuẩn 2%: txl = ξωn (5.11) • Thời gian lên tr: (rise time) thời gian để c(t) tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập Đối với hệ bậc hai tr = (1, 589ξ3 − 0, 1562ξ2 + 0, 924ξ + 1, 0141) ωn (5.12) Chú ý: Nếu ξ ≥ ta không gọi hệ dao động bậc hai trường hợp đáp ứng hệ dao động • Nếu ξ = hệ thống kín có nghiệm kép (thực) = π ωn − ϕ2 164 CHƯƠNG Đáp ứng hệ thống C( s) = ω2 n s( s2 + 2ωn s + ω2 ) n ⇒ c( t ) = − e−ωnt − ωn t ⋅ e−ωnt • Nếu ξ > hệ thống kín có hai nghiệm thực phân biệt Đáp ứng hệ thống C( s) = A B C + + s s + p1 s + p2 ⇒ c( t ) = A − Be− p1t − Ce− p2t ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 165 5.3.3 Hệ bậc cao Hình 5.7 Cặp cực định hệ bậc cao Hệ bậc cao có nhiều hai cực Đáp ứng tương ứng với cực nằm xa trục ảo suy giảm nhanh Do xấp xỉ hệ bậc cao hệ bậc hai với cặp cực hai cực nằm gần trục ảo Cặp cực nằm gần trục ảo hệ bậc cao gọi cặp cực định 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 1- Tiêu chuẩn tích phân sai leäch IE (Integrated Error) IE = ∞ ∫ e( t)dt → MIN Đối với hệ có đáp ứng độ không dao động (đường hình 5.3) tiêu chuẩn IE diện tích hàm sai lệch e(t) tạo với trục thời gian t cần đạt giá trị cực tiểu chất lượng đạt tốt 166 CHƯƠNG Hình 5.8 Tiêu chuẩn IE IAE Song hệ có đáp ứng độ dao động ổn định (đường 2) tiêu chuẩn IE không phản ánh chất lượng hệ thống có miền diện tích âm trừ bớt Kết giá trị tích phân nhỏ trình độ xấu Vì phải sử dụng tiêu chuẩn tích phân trị số tuyệt đối sai lệch 2- Tiêu chuaån IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error - tích phân trị tuyệt đối biên độ sai số) +∞ J1 = ∫ e( t) dt (5.13) Đối với hệ bậc hai: J1 → ξ = 0, 707 3- Tiêu chuẩn ISE (Integral of the Square of the Error - tích phân bình phương sai soá) +∞ J2 = ∫ e (t)dt (5.14) ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 167 ISE xem nhẹ diện tích bé bình phương số nhỏ bé trị số tuyệt đối số Một lý khiến tiêu chuẩn ISE thường sử dụng công việc tính toán thực đơn giản Có thể tính ước lượng ISE theo biến đối Fourier theo công thức (phuï luïc ) ISE = π ∞ ∫ E( jω) dω Đối với hệ bậc hai: J2 → ξ = 0, 4- Tiêu chuẩn ITAE (Integral of Time multiplied by the Absolute Value of the Error- tích phân thời gian nhân với trị tuyệt đối sai số) +∞ J3 = (5.15) ∫ t e( t) dt Đối với hệ bậc hai: J3 → ξ = 0, 707 Trong ba tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng độ vừa trình bày trên, tiêu chuẩn ITAE sử dụng nhiều Để đáp ứng độ hệ thống bậc n tối ưu theo chuẩn ITAE mẫu số hàm truyền kín hệ bậc n phải có dạng Bậc Mẫu số hàm truyền s + ωn s2 + 1, 414ωn s + ω2 n s3 + 1, 75ωn s2 + 2, 15ω2 s + ω3 n n 4 s4 + 2, 1ωn s3 + 3, 4ω2 s2 + 2, 7ωn s + ωn n Nếu mẫu số hàm truyền hệ kín có dạng tử số hàm truyền hệ kín hệ bậc n ωn đáp ứng độ hệ n thống tối ưu sai số xác lập 5- Tiêu chuẩn tích phân có tính đến ảnh hưởng tốc độ thay đổi sai lệch e(t) 168 CHƯƠNG J= ∞  de    e2 ( t ) + α    dt  dt     0 ∫ với α số chọn thích hợp cho trường hợp Ví dụ: α lớn không cho phép dao động lớn Ngược lại, α nhỏ cho phép độ dao động lớn 5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG Hình 5.9 1- Đánh giá theo phân bố cực zero hàm truyền hệ thống kín theo nghiệm phương trình đặc tính theo điều kiện ban đầu 2- Đánh giá theo tiêu chuẩn tích phân 3- Đánh giá trình độ theo đặc tính tần số hệ thống 4- Tiêu chuẩn tích tích thời gian nhân với trị tuyệt đối sai soá ITAE (Integral of Time Multiplied by the Absolute Value of Error) ITAE = ∞ ∫ t e(t) dt ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 169 ITAE rút ngắn thời gian độ (tính tra bảng) Tần số cắt L ( ωc ) = Hoặc G( jωc ) = với độ nghiêng ωc -20dB/dec Độ dự trữ pha ΦM = 30o ÷ 60o Thời gian độ: π ω* c < ts < 4π ω* c ω* tần số cắt thỏa độ dự trữ pha theo yêu cầu c Xây dựng phần thực đặc tính tần số hệ kín theo đặc tính biên độ pha hệ hở (Biểu đồ Nichols) Xét hệ hồi tiếp - đơn vị có đường cong Nyquist vẽ hình 5.10 Hình 5.10 GK ( s) = G( s) = P( ω) + jQ( ω) + G( s) Phần thực: P( ω) = Re P ( ω) = G( s) OB = cos( θ1 − θ2 ) + G( s) AB OB AB cos θ = CB AB 170 CHƯƠNG CB hình chiếu vectơ OB lên vectơ AB mặt phẳng phức G(jω) Đường cong P(ω) = đường tròn đường kính tâm nằm trục thực có tâm (- , j0) ( H.5.11) Hình 5.11 Phương trình đường cong P(ω) = const = C dễ dàng nhận cách: P( ω) = Re đó: Từ đó: G( j ω) + G( jω) G(jω) = X + jY P( ω) = Re X + jY X (1 + X ) + Y = + X + jY (1 + X )2 + Y Với P(ω) = C ta có phương trình: X (1 + X ) + Y (1 + X )2 + Y =C Đây phương trình đường tròn có tâm nằm trục thực tâm điểm có tọa độ ( − 1 − 2C , j 0) với bán kính Error! (H.5.12) 1−C 171 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN Hình 5.12 Cách xây dựng đường tròn P(ω) = const Hình 5.13 Thời gian độ tính gần đúng: ts = 4π ωo ωo tần số nhỏ mà đường tròn tâm(-1/2, j0) bán kính 1/2 cắt đường cong Nyquist G(jω) Hoặc ωo xác định giao điểm đường cong P(ω) với trục hoành ω 172 Chương THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 6.1 KHÁI NIỆM Thiết kế toàn trình bổ sung thiết bị phần cứng thuật toán phần mềm vào hệ cho trước để hệ thỏa mãn yêu cầu tính ổn định, độ xác, đáp ứng độ, … Có nhiều cách bổ sung điều khiển vào hệ thống cho trước, khuôn khổ sách chủ yếu xét hai cách sau: Cách 1: thêm điều khiển nối tiếp với hàm truyền hệ hở, phương pháp gọi hiệu chỉnh nối tiếp (H.6.1) Bộ điều khiển sử dụng hiệu chỉnh sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PD, PI, PID,… Để thiết kế hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp sử dụng phương pháp QĐNS hay phương pháp biểu đồ Bode Ngoài phương pháp thường sử dụng thiết kế theo đặc tính độ chuẩn Hình 6.1 Hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp Cách 2: điều khiển hồi tiếp trạng thái, theo phương pháp tất trạng thái hệ thống phản hồi trở ngõ vào tín hiệu điều khiển có dạng u( t ) = r( t ) − Kx( t ) (H.6.2) Tùy theo cách tính véctơ hồi tiếp trạng thái K mà ta có phương pháp điều khiển phân bố cực, điều khiển tối öu LQR, …  ... sung điều khiển vào hệ thống cho trước, khuôn khổ sách chủ yếu xét hai cách sau: Cách 1: thêm điều khiển nối tiếp với hàm truyền hệ hở, phương pháp gọi hiệu chỉnh nối tiếp (H.6.1) Bộ điều khiển. .. : đáp ứng hệ dao động với biên độ giảm dần ⇒ ξ gọi hệ số tắt (hay hệ số suy giảm), ξ lớn dao động suy giảm nhanh 163 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN • Đáp ứng khâu dao động bậc hai có... từ 10% đến 90 % giá trị xác lập Đối với hệ bậc hai tr = (1, 5 89? ?3 − 0, 1562ξ2 + 0, 92 4ξ + 1, 0141) ωn (5.12) Chú ý: Nếu ξ ≥ ta không gọi hệ dao động bậc hai trường hợp đáp ứng hệ dao động • Nếu