CAO HỒNG SƠN NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dùng cho học sinh lớp 12 Ôn thi tốt nghiệp và luyện thi đại học QUY NHƠN, NĂM 2010 1 Mục lục 0 Lời nói đầu 4 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 5 1.1 Nguyên hàm - Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân  √ 1 −x 2 dx hoặc  dx √ 1 −x 2 . . 7 1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân  dx x 2 + 1 hoặc  √ x 2 + 1dx . . . 7 1.2.2.2.0.3 Dạng 3. Tích phân I =   a + x a −x dx hoặc I =   a − x a + x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2.2.0.4 Dạng 4. Tích phân I =   (x −a)(b − x)dx . . . . 7 1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các phương pháp tính tí ch phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Tích phân của hàm phân thức P n (x) Q m (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2.1 Dạng 1:  sin nx. cos mxdx,  sin nx. sin mxdx,  cos nx. cos mxdx . 11 1.4.2.2 Dạng 2:  sin n x. cos m xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2.3 Dạng 3:  R(sin x, cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2.4 Dạng 4:  dx a sin x + b cos x + c , a 2 + b 2 > 0 . . . . . . . . . . . . . . 11 2 1.4.2.5 Dạng 5:  a 1 sin x + b 1 cos x + c 1 a sin cx + b cos x + c dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Tích phân của hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3.1 Dạng 1: I =  R  x, n  ax + b cx + d  dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3.2 Dạng 2: I =  R  x,   ax + b cx + d  m n , ,   ax + b cx + d  r s  dx . . . . . . . 12 1.4.3.3 Dạng 3: I =  R[x, √ a 2 −x 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3.4 Dạng 4: I =  R[x, √ a 2 + x 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3.5 Dạng 5: I =  R[x, √ x 2 −a 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3.6 Dạng 6: I =  R(x, √ ax 2 + bx + c)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3.7 Dạng 7: I =  dx √ ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3.8 Dạng 8: I =  P n (x)dx √ ax 2 + bx + c , (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Tích phân xác định 15 2.1 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Các phương pháp tính tí ch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Các dạng tích phân thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ P n (x) Q m (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1.1 Dạng 1: I =  dx ax + b = 1 a ln |ax + b| + C . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.2 Dạng 2: I =  A (ax + b) k dx với k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.3 Dạng 3: I =  dx ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.4 Dạng 4: I =  Ax + B ax 2 + bx + c dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.1.5 Dạng 5: Tích phân tổng quát I =  P n (x) Q m (x) . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Tích phân của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2.1 Dạng 1: I=  sin nx. cos mxdx,  sin nx. sin mxdx,  cos nx. cos mxdx 20 2.3.2.2 Dạng 2: I =  sin n x. cos m xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2.3 Dạng 3: I =  sin n x. cos m x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2.4 Dạng 4: I =  dx a sin x + b co s x + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2.5 Dạng 5: I=  a 1 sin x + b 1 cos x + c 1 a sin cx + b cos x + c dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2.6 Dạng 6: I 1 =  dx sin(x + a). sin(x + b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2.7 Dạng 7: I =  dx sin x + sin α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2.8 Dạng 8: I 1 =  tan x. tan(x + α)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2.9 Dạng 9: I =  a 1 sin 2 x + b 1 sin x cos x + c 1 cos 2 x a 2 sin x + b 2 cos x dx . . . . . . . . . 22 2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3.1 Dạng 1: I =  R  x, n  ax + b cx + d  dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3.2 Dạng 2: I =  R[x, √ a 2 −x 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3.3 Dạng 3: I =  R[x, √ a 2 + x 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3.4 Dạng 4: I =  R[x, √ x 2 −a 2 ]dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3.5 Dạng 5: I =  R(x, √ ax 2 + bx + c)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3.6 Dạng 6: I =  dx √ ax 2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3.7 Dạng 7: I =  P n (x)dx √ ax 2 + bx + c , (n ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4.1 Dạng 1: I =  a −a f(x)dx α x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4.2 Dạng 2: I =  a −a f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.4.3 Dạng 3: I =  b −a f(a + b −x)dx =  b a f(x)dx . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.4.4 Dạng 4:  π 2 0 f(sin x)dx =  π 2 0 f(cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.4.5 Dạng 5: I =  2a 0 f(x)dx =  a 0  f(x) + f(2a −x)  dx . . . . . . . . . . 26 2.3.4.6 Dạng 6: I =  b a xf(x)dx = a + b 2  b a f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.5 Tích phân truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.6 Tích phân liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Ứng dụng của tích phân 27 3.1 Một số ứng dung hình họ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và Ox, x = a, x = b . . 27 3.1.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) . . . . . . 27 3.1.2 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2.1 Thể t ích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Ox . . . . 27 3.1.2.2 Thể t ích khối tròn xoay của hình phẳng quay quanh trọc Oy . . . . 28 3.2 Một số ứng dụng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Tài liệu tham khảo 29 4 Lời nói đầu Phép tính tích phân không chỉ là một phần quan trọng trong giải tích toán học mà còn được ứng dụng nhiều trong vật lí, thiên văn học, cơ học, Chính vì tầm quan trọng này mà nó thường đươc đề cập đến trong hầu hết các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các kì thi tuyển vào các trường cao đẳng và đại học. Tuy nhiên, các học sinh thường gặp không ít khó khăn trong việc học và ứng dụng tích phân. Nhằm giúp các em học sinh nắm vững các phương pháp tính tích phân, trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một số phương pháp tính tích phân cơ bản cho các dạng hàm số thường gặp. Chuyên đề này gồm 3 chương: Chương 1: Nguyên hàm. Chương 2: Tích phân. Chương 3: Các ứng dụng của tích phân. Trong mỗi chương, tác giả trình bày 2 phần: 1. Tóm tắt lí thuyết chung. 2. Phân loại và phương pháp t ính tích phân từng dạng, cụ thể.  Phương pháp.  Ví dụ mẫu.  Bài tập tự luyện. Tác giả đã rất có gắng trong quá trình biên soạn, song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót vì sự hiểu biết có hạn và còn ít kinh nghiệm. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ phía các đồng nghiệp cũng như từ các bậc phụ huynh và các em học sinh. Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Email: caohongson@hotmail.com Phone: 0975 472725 Quy Nhơn, 28 tháng 02 năm 2010. Cao Hồng Sơn 5 Chương 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 1.1 Nguyê n hàm - Tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x ∈ (a; b), ta có F  (x) = f(x) Chú ý 1.1. Nếu thay khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải thêm điều kiện F  (a + ) = f(a) và F  (b − ) = f(b). Định lí 1.1. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì: 1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng đó. 2) Ngược lại, mọ i nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dạng F (x)+C, với C là hằng số. Định lí 1.2. (Định lí về sự tồn tại của nguyên hàm ) Mọi hàm số f(x) li ên t ục t rên đọan [a; b] đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Người ta kí hiệu họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là  f(x)dx đọ c là tích phân bất đị nh của f(x) hay họ nguyên hàm của f( x). Định nghĩa 1.2. Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) gọi là tích phân bất định của hàm f (x) trên khoảng đó. Kí hiệu tích phân bất định của hàm f (x) là  f(x)dx 1.1.2 Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1.1.   f(x)dx   = f(x) Tính chất 1.2.  af(x)dx = a  f(x)dx Tính chất 1.3.  [f(x) + g(x)]dx=  f(x)dx +  g(x)dx 6 Tính chất 1.4.  f(t)dx = F (t) + C ⇒  f(u(x))u  (x)dx = F (u(x)) + C Bảng nguyên hàm  dx = x + C  du = u + C  x α dx = x α+1 α + 1 + C  (ax + b) α dx = 1 a (ax + b) α+1 α + 1 + C  dx x = ln |x|+ C  dx ax + b = 1 a ln |ax + b|+ C  e x dx = e x + C  e ax+b dx = 1 a e ax+b + C  a x dx = a x ln a + C, (0 < a  1)  a u du = a u ln a + C  cos xdx = sin x + C  cos(ax + b)dx = 1 a sin(ax + b) + C  sin xdx = −cos x + C  sin(ax + b)dx = − 1 a cos(ax + b) + C  dx cos 2 x = tan x + C  dx cos 2 (ax + b) = 1 a tan(ax + b) + C  dx sin 2 x = −cot x + C  dx sin 2 (ax + b) = − 1 a cot(ax + b) + C  1 x 2 + 1 dx = arctan x + C  1 x 2 + a 2 dx = arctan x a + C  1 √ 1 −x 2 dx = arcsin x + C  1 √ a 2 −x 2 dx = arcsin x a + C 1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm 1.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp Bằng việc sử dụng một số phép biến đổi sơ cấp, ta có thể đưa tích phân cần tính về tích phân có dạng các hàm số đã có trong bảng nguyên hàm. Ví dụ 1.1. Tính các tích phân bất định sau: 1. y = x 2 −3x + 2 2. y = 4x 5 −3x 3 − 1 x 3. y = 2x 4 + 4x −1 x 2 4. y = x 3 −3x 2 −x + 4 x 3 5. y = (x −3) 2 x 2 6. y = √ x + 3 √ x + 3 √ x 2 7. y = 1 √ x − 1 3 √ x 8. y = ( √ x − 1) 2 x 9. y = x − 1 3 √ x 10. y = 2 sin 2 x 2 11. y = cot 2 x 12. y = cos 2 x 2 13. y = 1 sin 2 x cos 2 x 14. y = e x (1 − e −x ) 15. y = e x  2 + e −x cos 2 x  16. y = 2a x + √ x 17. y = 2 x + 3 x 18. y = 2sinx + 3cosx 19. y =  3 √ x + 1 √ x  2 20. y = 3x 5 − x 4 + 2x 3 − 1 x 4 21. y = e 3x + 1 e x + 1 1.2.2 Phương pháp 2: Đổi biến số 1.2.2.1 Đổi biến số dạng 1: Đặt u = ϕ(x) ⇒ du = ϕ  (x)dx 7 Khi đó I =  f(x)dx =  g(u)du Ví dụ 1.2. Tính tích phân bât định sau: I 1 =  ax + bdx I 2 =  sin(ax + b)dx I 3 =  cos(ax + b)dx I 4 =  dx sin 2 (ax + b) I 5 =  dx cos 2 (ax + b) I 6 =  sin 3 x cos xdx I 7 =  cos 7 x sin xdx I 8 =  sin 4 2x cos 2xdx I 9 =  (2e x − 3)e x dx K 1 =  (2x 3 + 1)x 2 dx K 2 =  x 2x 2 + 1 dx K 3 =  dx ax + b K 4 =  dx x 2 −1 dx K 5 =  dx x(x −2) K 6 =  dx x 2 +3x−4 K 7 =  xdx (2x−1)(x+3) K 8 =  2x + 3 x − 2 dx K 9 =  2x + 1 x 2 − x + 2 dx L 1 =  xdx √ x 2 + 1 1.2.2.2 Đổi biến số dạng 2: Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ  (t)dt. Khi đó I =  f(x)dx =  f[ϕ(t)]ϕ  (t)dt 1.2.2.2.0.1 Dạng 1. Tích phân  √ 1 − x 2 dx hoặc  dx √ 1 −x 2 . Đặt x = sin t, t ∈  − π 2 ; π 2  Tổng quát  √ k 2 − x 2 dx hoặc  dx √ k 2 −x 2 . Đặt x = k. sin t, với  − π 2 ; π 2  1.2.2.2.0.2 Dạng 2. Tích phân  dx x 2 + 1 hoặc  √ x 2 + 1dx . Đặt x = tan t, t ∈  − π 2 ; π 2  Tổng quát  dx x 2 + k 2 , Đặt x = k t an t, t ∈  − π 2 ; π 2   dx (αx + β) 2 + k 2 . Đặt αx + β = k tan t, t ∈  − π 2 ; π 2   f  (x)dx f 2 (x) + k 2 . Đặt f(x) = k tan t, t ∈  − π 2 ; π 2   √ x 2 + k 2 dx, Đặt x = k tan t, t ∈  − π 2 ; π 2    (αx + β) 2 + k 2 dx, Đặt αx + β = k tan t, t ∈  − π 2 ; π 2  1.2.2.2.0.3 Dạng 3. Tích phân I =   a + x a −x dx hoặc I =   a −x a + x dx Đặt x = a. cos 2t 1.2.2.2.0.4 Dạng 4. Tích phân I =   (x −a)(b − x)dx Đặt x = a + (b − a) sin 2 t Ví dụ 1.3. Tich tích phân bất đị nh sau; I 1 =  dx 1 + x 2 dx I 2 =  dx a 2 + x 2 dx I 3 =  dx √ 1 − x 2 dx I 4 =  dx √ a 2 − x 2 dx I 5 =  √ 1 −x 2 dx I 6 =  √ a 2 −x 2 dx 8 1.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần Đặt  u = dv = ⇒  du = v = Công thức tích phân từng phần  u.dv = u.v −  v. du Chú ý 1.2. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng. 2) Nếu f(x) có dạng f(x) =  P (x). sin(ax + b) P (x). cos(ax + b) thì đặt u = P (x) 3) Nếu f(x) có dạng f(x) =  e ax+b . sin(a  x + b  ) e ax+b . cos(a  x + b  ) thì đặt u = e ax+b 4) Nếu f(x) có dạng f(x) =  P (x). ln n (ax + b) k. ln n (ax + b) thì đặt u = ln n (ax + b) Ví dụ 1.4. Tích các tích phân bất định sau: I 1 =  x 2 e x dx I 2 =  ln xdx I 3 =  x sin xdx I 4 =  x 2 cos xdx I 5 =  e x sin xdx I 6 =  e x cos 2xdx I 7 =  ln 3 x x 3 dx I 8 =  √ x 2 + 1dx 1.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 1.3.1 Tính chất của tích phân xác định Định nghĩa 1.3. Gi ả sử f(x) là hàm số liên tục trên đọan [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là  b a f(x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a) Tính chất 1.5.  b a kf(x)dx = k  b a f(x)dx Tính chất 1.6.  a b [f(x) ± g(x)]dx=  b a f(x)dx ±  b a g(x)dx Tính chất 1.7.  b a f(x)dx =  c a f(x)dx +  b c f(x)dx 1.3.2 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp 1.3.3 Phương pháp 2: Đổi biến số Giả s ử ta cần tính tích phân  b a f(x)dx, trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. 9 1.3.3.1 Đổi biến số dạng 1: Bước 1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β], f(u(t)) xác định trên đoạn [α; β] và u(α) = a, u(β) = b. Bước 2: Biến đổi f (x)dx = f[u(t)]u  (t)dt = g(t)dt. Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t). Bước 4: Tí nh  β α g(t)dt = G(t)    β α 1.3.3.2 Đổi biến số dạng 2: Bước 1: Đặ t t = v(x) sao cho v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục. Bước 2: Biểu thị f (x)dx theo t, giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 3: Tì m nguyên hàm G(t) của g(t). Bước 4: Tí nh  v(b) v(a) g(t)dt = G(t)    β α Bước 5: Kết luận  b a f(x)dx = G(t)    β α 1.3.4 Phương pháp 3: Tích phân từng phần  b a u(x)v  (x)dx = u(x)v(x)    β α −  b a v(x)u  (x)dx Hay  b a u(x)dv = u(x)v(x)    β α −  b a v(x)du Chú ý 1.3. 1) Phải chọn dv sao cho có thể tính v dễ dàng. 2) Nếu f(x) có dạng f(x) =  P (x). sin(ax + b) P (x). cos(ax + b) thì đặt u = P (x) 3) Nếu f(x) có dạng f(x) =  e ax+b . sin(a  x + b  ) e ax+b . cos(a  x + b  ) thì đặt u = e ax+b 4) Nếu f(x) có dạng f(x) =  P (x). ln n (ax + b) k. ln n (ax + b) thì đặt u = ln n (ax + b) 1.4 Các dạng tích phân thường gặp 1.4.1 Tích phân của hàm phân thức P n (x) Q m (x) Trong đó P n (x) và Q m (x) là các đa thức theo x có bậc lần lượt là n và m. ta xét các dạng sau: Dạng 1: I =  dx ax + b = 1 a ln |ax + b|+ C Dạng 2: I =  dx ax 2 + bx + c Xét ∆ = b 2 − 4ac, ta có 3 khả năng xảy ra: Khả năng 1: ∆ > 0, ta có ax 2 + bx + c = a(x −x 1 )(x − x 2 ) Hơn nữa 1 (x −x 1 )(x − x 2 ) = 1 x 1 − x 2  1 x −x 1 − 1 x − x 2  trong đó x 1 − x 2 = √ ∆ a [...]... Để xác đinh Qn−1 (x) và hệ số λ ta lấy vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số 15 Chương 2 Tích phân xác định 2.1 Tích phân 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất 2.2 Các phương pháp tính tích phân 2.2.1 Phương pháp 1: Biến đổi về các hàm sơ cấp Với các tích phân dạng này, ta biến đổi về các hàm số sơ cấp mà ta đã có nguyên hàm trong bảng nguyên hàm Ví dụ 2.1 Tính các tích phân sau: a I = 1 2... (x) là hàm số liên tục trên [a; b] và f (x) = f (a + b − x) thì I = a+b b a f (x)dx 2 2.3.5 b a xf (x)dx = Tích phân truy hồi Để tính được các tích phân dạng truy hồi, ta tìm công thức liên hệ giữa In và In−k với (1 ≤ k < n) 2.3.6 Tích phân liên kết Chương 3 Ứng dụng của tích phân 3.1 3.1.1 3.1.1.1 Một số ứng dung hình học Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và Ox,... thức biến x bậc (n − 1), λ ∈ R Để xác đinh Qn−1 (x) và hệ số λ ta lấy vi phân hai vế của (∗), sau đó đồng nhất các hệ số 2.3.4 Tích phân của hàm số đặc biệt Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tích phân của hàm số có tính chất đặc biệt như: hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, 2.3.4.1 Dạng 1: I = a −a f (x)dx αx + 1 f (x)dx với f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a], α > 0 αx + 1 a... đó ta có C x+α I = −A cos x + B sin x + ln tan + C 2 + b2 2 a2 2 b2 a2 trong đó sin α = và cos α = 2 + b2 2 + b2 a2 a2 2 2 2.3.3 Tích phân của hàm chứa căn thức Hầu hết phép tính tích phân của các hàm số chứa căn thức là bài toán phức tạp Trong mục này, chúng tôi trình bày 7 dạng tích phân của hàm số chứa dấu tích phân cơ bản 2.3.3.1 Dạng 1: I = R x, n ax + b dx cx + d Phương pháp chung: Ta thực hiện... của hàm số x = g(y) liên tục và không âm trên đoạn [c; d], trục tung Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục hoành tạo nê một khối tròn xoay có thể tích là b V =π g 2 (y)dy a 3.2 Một số ứng dụng đại số Ứng dụng tích phân trong đại số, ta chứng minh một số đẳng thức, bất đẳng thức trong đại số tổ hợp 29 Tài liệu tham khảo [1] Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng, Phạm Tấn Phước Tích. .. đó tích phân được viết lại là I =A dx + B (a sin cx + b cos x + c) dx + C a sin cx + b cos x + c =Ax + B ln a sin cx + b cos x + c + C Để tính 1.4.3 dx a sin cx + b cos x + c dx a sin cx + b cos x + c dx ta trở lại Dạng 4 a sin cx + b cos x + c Tích phân của hàm chứa căn thức Hầu hết phép tính tích phân của các hàm số chứa căn thức là bài toán phức tạp Trong mục này, chúng tôi trình bày 8 dạng tích phân. .. 0, tích phân có dạng I = √ 2+m a u √ dt du Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u + u2 + m ⇒ =√ t u2 + m 1 dt 1 Khi đó (1) có dạng I = √ = √ ln |t| a t a b b 2 b2 − 4ac 1 Vậy I = √a ln (x + ) + [(x + ) − ] 2a 2a 4a2 1 du √ ∗ Nếu a < 0, tích phân có dạng I = √ (ii) a k 2 − u2 Giải tích phân (ii) bằng như dạng 1 Ta có ax2 + bx + c = 14 1.4.3.8 Dạng 8: I = √ Pn (x)dx , (n ≥ 1) ax2 + bx + c Với tích phân. .. Ox, x = a, x = b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, y = b là y y=f(x) b S= a S |f (x)|dx O 3.1.1.2 a b x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C1 ) của hàm số y = f (x) và () của hàm số y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x... Nếu a > 0, tích phân có dạng I = √ a du √ (i) 2+m u √ Giải tích phân (i) bằng cách đặt t = u + u2 + m ⇒ dt t 1 dt 1 Khi đó (1) có dạng I = √ = √ ln |t| a t a b 1 b b2 − 4ac Vậy I = √ ln (x + ) + [(x + )2 − ] a 2a 2a 4a2 1 du √ ∗ Nếu a < 0, tích phân có dạng I = √ (ii) 2 − u2 a k Giải tích phân (ii) bằng như dạng 1 2.3.3.7 Dạng 7: I = √ du =√ 2+m u Pn (x)dx , (n ≥ 1) ax2 + bx + c Với tích phân dạng này,... các tích phân sau: a I = 2 1 √ x4 −x−4 +2 dx x3 b I = 2 0 |x − 1|dx c I = 3 −3 |x2 − 1|dx Ví dụ 2.4 Tính các tích phân sau: a I = 2.2.2 π 2 0 sin 2xdx π 2 0 sin x cos xdx c I = π 4 0 sin2 xdx Phương pháp 2: Đổi biến số Giả sử ta cần tính tích phân 2.2.2.1 b I = b a f (x)dx, trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Đổi biến số dạng 1: Bước 1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm . CAO HỒNG SƠN NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dùng cho học sinh lớp 12 Ôn thi tốt nghiệp và luyện thi đại học QUY NHƠN, NĂM 2010 1 Mục lục 0 Lời nói đầu 4 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định. năm 2010. Cao Hồng Sơn 5 Chương 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 1.1 Nguyê n hàm - Tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên. số phương pháp tính tích phân cơ bản cho các dạng hàm số thường gặp. Chuyên đề này gồm 3 chương: Chương 1: Nguyên hàm. Chương 2: Tích phân. Chương 3: Các ứng dụng của tích phân. Trong mỗi chương,