Trn Thin Hựng CQ46/11.14 Chơng Giới hạn liên tục hàm số 2.1 Giới hạn hữu hạn hàm số x tiến dần tới a (a hữu hạn) 2.1.1 Định nghĩa 2.1 Hằng số b (hữu hạn) đợc gọi giới hạn hàm f(x) x tiÕn dÇn tíi a (x → a) nÕu: Víi > 0, tồn số > (δ phơ thc a, b, f(x) vµ ε) cho với x mà: 0), (∃δ > 0 ∀x: 0), (∃δ > ) cho gọn, nhng không đợc hiểu tồn > chung cho > mà phải hiểu lµ δ phơ thc ε) VÝ dơ 2.1 Chøng minh r»ng lim ( x − 1) = x Chứng minh Với > cho tríc, ta cã: f(x) − 5< ε ⇔(3x − 1) − 5< ε ⇔ x − 2< ε Đặt = Khi đó, ta có: (∀ε > 0), (∃δ = ε > 0 ∀x: cho trớc, ta cã: f(x) − (−4)< ε ⇔ Toán Cao cấp x +1 ε +3 0 ∀x: cho trớc, đặt = >0 Khi ®ã, ta cã: (∀ε > 0), (∃δ = ε > 0 ∀x: ) ( ∃δ > ∀ x : < x − a < δ ) ⇒ f ( x ) − b < ε (2.1) x→a lim f ( x ) = k ⇔ ( ∀ε > ) ( ∃α > ∀ x : < x − a < α ) ⇒ f ( x ) − k < ε x→a Vì (2.1) (2.2) với > nên với = Toỏn Cao cp (2.2) k−b > Trần Thiện Hùng CQ46/11.14  f ( x ) − b < ε0 ; 0 < x − a < δ0 ;  ⇒ Tøc tồn 0, > để với x mµ  0 < x − a < α  f ( x ) − k < ε   f ( x ) − b < ε0 ;  Khi ®ã, víi mäi x mµ ⇒   f ( x ) − k < Điều vô lý vì: b < b+ ε0 < k− ε0 < k+ ε0 ⇒(®pcm) Nhận xét 2.1 Từ ý 2.1 định lý 2.1 ta cã kÕt luËn sau: NÕu tån t¹i hai d·y xk → a (khi k → +∞), yk → a (khi k → +∞) mµ f(xk) → b (khi k → +∞), f(yk) → b1 (khi k → +) b b1 Thì không tồn lim f ( x ) x →a VÝ dô 2.4 Chøng minh r»ng lim sin x →0 kh«ng tån t¹i x 1 Chøng minh Ta cã: xk= → 0, yk= π → (khi k→ +∞) Nhng f(xk)→ + kπ kπ (khi k → +∞), f(xk)→1 (khi k→ +∞) vµ ≠ ⇒ (đpcm) 2.1.3 Giới hạn phía Định nghĩa 2.2 + Nếu giới hạn hàm f(x) x a (x < a) b (a, b hữu hạn) Thì ta nói hàm f(x) có giới hạn bên trái x → a vµ ký hiƯu lµ: lim f ( x ) = b hc lim f ( x ) = b x → a− x→a−0 + NÕu giới hạn hàm f(x) x a (x > a) b Thì ta nói hàm f(x) có giới hạn bên phải x a ký hiƯu lµ: lim f ( x ) = b lim f ( x ) = b (Phát biểu dới dạng lân cận) x a+ x a+ Bài tập Dùng định nghĩa 2.2 CMR: lim + x →3 x + 11 = ; lim− a x = a−2 ( a > 1) x 3 x Định lý 2.2 (Định lý điều kiện cần đủ để tồn giới hạn) Toỏn Cao cp Trn Thin Hựng CQ46/11.14 Điều kiện cần đủ để tồn lim f ( x ) tồn giới hạn x a lim f ( x ) , lim f ( x ) vµ lim f ( x ) = lim f ( x ) Khi ®ã: x → a+ x → a− x → a+ x → a− lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) x →a x → a+ x a ứng dụng Để tính (hoặc kiểm tra giới hạn có tồn hay không) ta tính giới hạn phía áp dụng định lý 2.2 để kết luận Các ví dụ sau thể điều Ví dụ 2.5 Tính giới hạn phía giới hạn (nếu có) cđa hµm: 2 x + x < 1; f ( x) =  x →  x + x ≥ lim lim Giải Ta có: lim f ( x ) =5 vì: + x →1− f ( x ) = x →1− ( x + ) = x →1 ( ) lim lim + x →1+ f ( x ) = x →1+ x + =  x − a x < ; cã x2 + x ≥ Ví dụ 2.6 Với giá trị a hàm f ( x ) = giới hạn x → 2? Gi¶i Ta cã: lim f ( x ) = lim ( x − a ) = − a , − − x →2 ( ) lim f ( x ) = lim x + = + x →2 + x→2 x →2 Do ®ã, ®Ĩ cã lim f ( x ) th× − a = ⇔ a = −4 x →2 VÝ dô 2.7 TÝnh lim x →0 1+2 x lim Giới hạn không tồn vì: x 1+ x = ≠ lim + x→0 1+ x = Chú ý 2.2: Tơng tự định lý 2.1 ta có kết sau: Nếu hàm f(x) cã giíi h¹n Tốn Cao cấp Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 phía số hữu hạn x a(a hữu hạn) giới hạn phía 2.2 Giới hạn hữu hạn hàm số x (+ , ) Định nghĩa 2.3 Hằng số b (hữu hạn) đợc gọi giới hạn hàm f(x) x + nếu: Với > 0, tồn số > (∆ phơ thc b, f(x) vµ ε ) lim cho víi mäi x > ∆ th× f(x) − b< ε Ký hiƯu lµ: x →+∞ f ( x ) Ta phát biểu định nghĩa dới dạng: b = xlim f ( x ) ⇔ (∀ε > 0), (∃∆ > 0 ∀ x > ) f(x) b< + Định nghĩa đợc phát biểu dới dạng lân cận nh sau: b = xlim f ( x ) ⇔ (∀ Vε(b)), (∃V∆(+∞) x V(+) f(x) V(b).(vẽ hình) + Tơng tù, ta cã: lim + b = x →−∞ f ( x ) ⇔ (∀ε > 0), (∃∆ > 0 ∀ x < − ∆) ⇒f(x) − b< ε ⇔ (∀ Vε(b)), (∃V∆(−∞) ∀x ∈ V∆(−∞) ⇒ f(x) ∈ Vε(b) + b = lim f ( x ) ⇔ (∀ε > 0), (∃∆ > 0 ∀x:x > ∆) ⇒f(x) − b< ε x →∞ ⇔ (∀ Vε(b)), (∃V∆ (∞) ∀x ∈ V∆ (∞) ⇒ f(x) ∈ Vε(b) (vÏ h×nh) Chó ý 2.3: Tơng tự định lý 2.1 có kết sau: Nếu hàm f(x) có giới hạn hữu hạn x (+ , ) giới hạn 3x + VÝ dơ 2.8 Chøng minh r»ng: lim  ÷= x x Chứng minh Với ε > cho tríc vµ lu ý x → −∞ th× x ≠ Ta cã: f(x) − 3< ε ⇔ 3x + 1 −3 < ε ⇔ ⇔ x 0), (∃∆ = ε > 0 ∀x < −∆) ⇒ x NhËn xÐt 2.2 NÕu vÝ dô 2.8 thay x x+ Thì thay đổi nh sau: Vì x→+∞ th× x > ⇒ x > ε x < đợc thay x > ε ⇔ x > ε  x2 +  lim  VÝ dô 2.9 (i) Chøng minh r»ng: ÷= x →∞ x2 Chứng minh Với > cho tríc Khi ®ã, ta cã: x2 + 1 −2 0), (∃∆ = > 0 ∀x: x > ∆) ⇒ x + − < ε (®pcm) ε x2  − 5x  (ii) Chøng minh r»ng: lim  ÷ = −5 x →∞ x + Chứng minh Với > cho tríc Khi ®ã, ta cã: f(x) + 5< ε ⇔ NÕu x > th× (2.3) ⇔ x > − 5x 13 +5 ⇔ < ε < ε NÕu x ⇔ < Đặt = max (0, 1) > Khi ®ã, ta cã: (∀ − 5x 13 + < ε (®pcm) > ε > 0), (∃∆ = max (∆0, ∆1) > 0∀x: x > ∆) ⇒ x+2 NhËn xÐt 2.3 NÕu ký hiƯu a∗ lµ a (hữu hạn), (hoặc +, ); δ > Toán Cao cấp Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 > Thì định nghĩa giới hạn đà phát biểu đ ợc phát biểu dới định nghĩa chung nh sau: ( ( ) { } ) ⇒ f ( x) − b < ε ( ) lim f ( x ) = b ⇔ ( ∀ε > ) , ∃Vδ• a• ∀x ∈ Vδ• a• \ a• • x →a 2.3 Đại lợng bị chặn Định nghĩa 2.4 Đại lợng u(x) đợc gọi đại lợng bị chặn (ĐLBC) x→ a∗ nÕu tån t¹i sè M > 0, tån t¹i Vδ( a∗) cho: | u(x)| ≤ M (∀ x ∈ Vδ( a∗)\{ a∗}) Chó ý 2.4 (i) Khi x tiến dần tới a (a đó) đợc gọi trình (ii) Đại lợng u(x) đại lợng không bị chặn x a với số M > 0, V( a) tồn x0 ∈ Vδ( a∗)\{ a∗} cho | u(x0)| > M VÝ dô 2.10 + u(x) = cosx, v(x) = sinx ĐLBC trình + α (x) = b (∀x, b lµ h»ng sè) ĐLBC trình + v (x) = x2 ĐLBC x + 2.3 Vô bé 2.3.1 Định nghĩa vô bé Định nghĩa 2.5 Đại lợng (x) đợc gọi v« cïng bÐ (VCB) x → a∗ nÕu: ( ( ) { } ) ⇒ α( x) ( ) lim α ( x ) = ⇔ ( ∀ε > ) , ∃Vδ• a• : ∀x ∈ Vδ• a• \ a• • x →a VÝ dơ 2.11 + (x) = x VCB x vì: lim α ( x ) = lim x = x →0 x →0 + α(x) = sin x VCB x k (k nguyên) vì: lim α ( x ) = lim sin x = sin kπ = x → kπ Toán Cao cấp x →kπ < ε Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 Nhng (x)= sin x là VCB xa k (k nguyên) vì: lim ( x ) = lim sin x = sin a ≠ = sin kπ x →a x→a + α(x) = (x) VCB trình + (x) = b (x) VCB trình Nhận xét 2.4 (i) Qua ví dụ 2.11 ta thấy đại lợng VCB trình mà VCB trình khác Vì vậy, nói đến VCB phải nói rõ trình (ii) Một VCB trình ĐLBC trình 2.3.2 Tính chất vô bé Tính chất 2.1 Nếu (x), (x) VCB xa (x) (x) VCB x → a∗ Chøng minh V× α (x), β (x) VCB x a nên: ( ∀ε > ) ,( ∃Vδ • ( ∀ε > ) ,( ∃Vσ • ( a ) : ∀x ∈ V ( a ) \ { a } ) ⇒ α ( x ) ) ,( ∃Vδ δ• • • σ• • δ• • •  α ( x) < ε  ⇒ ,  β ( x) < ε  ( a ) = V ( a ) ∩ V ( a ) : ∀x ∈ V ( a ) \ { a } ) • δ• • • σ• ⇒ α ( x) ± β ( x) < ã ã ã Điều chứng tá α(x) ± β(x) cịng lµ VCB x → a∗.(®pcm) Tốn Cao cấp Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 HƯ 2.1.1 Tổng hữu hạn VCB trình VCB trình ®ã TÝnh chÊt 2.2 NÕu α(x) lµ VCB x a, u(x) ĐLBC x a (x)u(x) VCB x a Hệ 2.2.1 TÝch cđa mét VCB vµ mét h»ng sè trình VCB trình ®ã HƯ qu¶ 2.2.2 TÝch cđa hai VCB cïng trình VCB trình Tính chất 2.3 (Định lý bản) Điều kiện cần đủ để hàm f(x) có giới hạn hữu hạn b x a f(x) đợc viết dới dạng f(x) = b +(x), (x) lµ VCB x → a∗ Chøng minh ( ( ) { }) ⇒ ( ) • • • lim Vì x aã f ( x ) = b ⇔ ( ∀ε > ) , ∃Vδ• a : ∀x ∈ Vδ• a \ a ( ( ) { } ) ⇒ α ( x) ( ) ⇔ ( ∀ε > ) , ∃Vδ• a• : ∀x ∈ Vδ• a• \ a• f ( x) − b < ε ; = f ( x) − b < ε (x) VCB x a.(đpcm) ứng dụng Ngoài phơng pháp dùng định nghĩa để chứng minh giới hạn, ta dùng định lý để chứng minh giới hạn 3x + 3x + 1 = v×: = + mµ lµ VCB x → +∞ x →+∞ x x x x VÝ dô 2.12 lim 2.3.3 So sánh hai vô bé Định nghĩa 1.6 Cho (x), (x) VCB x a NÕu: + lim • x→ a α ( x) = k , hữu hạn (x) (x) đợc gọi VCB ( x) cấp x → a∗ Toán Cao cấp Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 + lim • x→ a α ( x) = , (x) (x) đợc gọi VCB tơng đơng ( x) x a∗(ký hiƯu lµ: α(x) ∼ β(x) x → a∗) + lim • x→ a α ( x) = (x) đợc gọi VCB bậc cao (x) x → a∗(ký β ( x) hiƯu lµ: α(x) = o(β(x)) x → a∗) VÝ dô 2.13 (i) (x) = x2 + 2x, (x) = x c¸c VCB x → Cã: α ( x) = lim x + x = lim ( x + ) = x→ x→0 β ( x ) x→0 x lim VËy α(x) = x2 + 2x, (x) = x VCB cấp x → (ii) α(x) = 3x sin x, (x) = x VCB x Cã: α ( x) x sin x lim sin x = = lim = x→0 x→0 β ( x ) x→0 x lim VËy α(x) = 3xsin x VCB bậc cao (x) = x x → (iii) α(x) = 2x2 + x, (x) = x VCB x Cã: α ( x) = lim x + x = lim ( x + 1) = x→0 x→0 β ( x ) x→0 x lim VËy α(x) = 2x2 + x, β(x) = x VCB tơng đơng x 2.4 Giới hạn vô hạn Định nghĩa 2.7 lim f ( x ) = +∞ ⇔ + x →a• ( ∀M > ) ,( ∃δ• > ∀x ∈ Vδ • ( ( a ) \ { a } ) ⇒ f ( x) > M ; • • ( ) { } ) ⇒ f ( x) ∈ V ( ) ⇔ ( ∀VM ( +∞ ) ) , ∃Vδ• a• : ∀x ∈ Vδ• a• \ a• Tốn Cao cấp 10 M ( +∞ ) Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 + lim • x→ a α ( x) = k , hữu hạn (x) (x) đợc gọi VCL ( x) cấp x a Đặc biệt, k = 1, (x) (x) đợc gọi VCL tơng đơng x a(ký hiệu là: (x) β(x) x → a∗) + lim • x→ a ( x) = + (x) đợc gọi VCL bËc cao h¬n β(x) x → β ( x) a∗(ký hiƯu lµ: α(x) = 0(β(x)) x → a∗) VÝ dô 2.17 (i) α(x) = 2x2 + x, (x) = x2 VCL x +∞ Cã: α ( x) x2 + x 1  lim = lim = lim  + ÷ = x →+∞ β ( x ) x →+∞ x →+∞  x x2 VËy α(x) = 2x2 + x, (x) = x2 VCL cấp x → +∞ (ii) α(x) = x + 4, β(x) = x VCL x Có: lim x →−∞ α ( x) x+4 = lim = lim + = x →−∞ x →−∞ β ( x) x x VËy α(x) = x + VCL tơng đơng với (x) = x x → −∞ (iii) α(x) = 2x2 + x, (x) = x VCL x ∞ Cã: α ( x) x2 + x lim x + = +∞ lim = lim = x →∞ x →∞ β ( x ) x →∞ x VËy α(x) = 2x2 + x lµ VCL bËc cao h¬n β(x) = x x → ∞ 2.6 Các phép tính giới hạn, tính chất hàm số có giới hạn 2.6.1 Các phép tính giới hạn.(chỉ nêu phép tính không chứng minh) Toỏn Cao cp 13 Trn Thin Hựng CQ46/11.14 lim lim Định lý 2.3 Nếu tồn giới hạn x aã f ( x ) = b, x → a• g ( x ) = k (b, k số hữu hạn) Khi đó, lim lim + x a•  f ( x ) ± g ( x )  = x → a• f ( x ) ± x → a• g ( x ) = b ± k ;  lim lim lim  + x → a•  f ( x ) g ( x )  = x → a• f ( x ) x → a• g ( x ) = bk ;  lim + lim • x→ a lim f ( x ) x → a• f ( x ) b = = víi k ≠ g ( x ) lim g ( x ) k ã x a Định lý có số b k số vô hạn Chứng minh (Ta chứng minh cho trờng hợp thứ nhất, trờng hợp lại chứng minh tơng tự) lim lim Vì x → a• f ( x ) = b, x → a• g ( x ) = k víi b, k số hữu hạn nên theo định lý ta có: f(x) = b + (x); g(x) = k + (x), (x) (x) VCB x a* Do đó, f(x) g(x) = b ± k + α(x) ± β(x) Mµ α(x) ± β(x) lµ VCB x → a* lim Theo định lý ta có: x a•  f ( x ) ± g ( x )  = b ± k (®pcm)  lim Định lý 2.4 Nếu tồn giới hạn x → a• f ( x ) = b,lim g ( x ) = k (b, k số yb lim hữu hạn) Khi x aã g  f ( x )   = k Định lý có số b k số vô hạn Toán Cao cấp 14 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 NhËn xÐt 2.5 Nếu (x), (x), u(x), v(x) VCB VCL x a; (x) ∼ β(x) x → a∗; u(x) ∼ v(x) x a tồn tại: lim ã x a ( x) Thì v( x) lim ã x →a α( x ) β ( x) = lim u ( x ) x → a• v ( x ) Nghĩa tính giới hạn có dạng ∞ (hc ) ta cã thĨ thay thÕ VCB VCB khác tơng đơng với (hoặc VCL VCL khác tơng đơng víi nã) VÝ dơ 2.18 Cho Pn(x) = a0 xn + a1 xn −1 + a2 xn −2 + + an−1 x , ®ã a0, a1, , an−1 số với a0, an1 Chứng minh r»ng: (i) Pn(x) ∼ a0 xn x→ ±∞(∞); (ii) Pn(x) ∼ an−1 x x→ Chøng minh (i) Ta có Pn(x) a0 xn VCL x→ ±∞(∞) §ång thêi lim x →±∞ ( ∞ ) Pn ( x ) a0 x n   a a a = lim 1 + + 2 + + n −1−1  = (®pcm) x →±∞ ( ∞ ) a0 x n   a0 x a0 x (ii) Pn(x) vµ an−1 x VCB x Đồng thời a0 x n −1 a1 x n − a2 x n − Pn ( x ) a x  lim = lim  + + + + n − + 1 = (®pcm) x→0 x →0 a an −1 an −1 an −1 n −1 x  an −1  NhËn xÐt 2.6 Qua kết ví dụ 2.18 ta có kết luận sau: +Một đa thức theo x tơng đơng với sè h¹ng cã bËc cao nhÊt x→ ±∞(∞) + Một đa thức theo x tơng đơng với số hạng cã bËc thÊp nhÊt x→0 V× vËy, ta cã: Toán Cao cấp 15 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 x2 − x + x2 (i) lim = lim =− 2 x →+∞ −2 x + x x →+∞ −2 x 2x x4 − x2 + x = (ii) lim = lim x→0 x x→0 −2 x + x 2.6.2 C¸c tÝnh chÊt lim TÝnh chÊt 2.7 Cho x → a• f ( x ) = b (b hữu hạn) Khi đó, ( ) ( ) ( a ) cho ∀x ∈ V ( a ) \{ a } có ã ã (i) Nếu b > Thì Vã a cho x Vã a \{ aã } có f(x) > 0; (ii) Nếu b < Thì Vã ã ã ã ã f(x) < Chứng minh Vì b hữu hạn nên ( ) ( ) lim f ( x ) = b ⇔ (∀ε > 0), ( ∃V • a• : ∀x ∈ V • a• \{ a• }) ⇒f(x) − b< ε (2.4) δ δ x → aã (i) Nếu b > Vì (2.4) với > 0, nên = b > ( ) ( ) • • Nghĩa V0ã a : x V0ã a \{ a• }⇒ f(x) > b − ε0 = b − b = b > (i) ®óng (ii) Nếu b < Vì (2.4) với > 0, nên 1= b > ( ) ( ) ã ã Nghĩa ∃Vδ1• a : ∀x ∈ Vδ1• a \{ a• }⇒ f(x) < b + ε1= b − b = b < (ii) ®óng lim TÝnh chÊt 2.8 Cho x → a• f ( x ) = b (b hữu hạn) Khi đó, ( ) ( ) ( a ) cho ∀x ∈ V ( a ) \{ a } • • + NÕu ∃Vδ• a cho x Vã a \{ aã } có f(x) > Thì b 0; + Nếu Vã ã ã ã ã (các tính chất 2.7 2.8 không hẳn ngợc nhau) Toỏn Cao cp 16 có f(x) < Th× b ≤ Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 VÝ dô 2.19 (i) f(x) = x2 > (∀x ∈ V4(+∞)) Nhng lim = x →+∞ x (ii) f(x) = + x2 > (∀x ∈ V4(0)) Cã lim (1 + x2) = > x →0 TÝnh chÊt 2.9 Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn x a* f(x) đại lợng bị chặn x a* Điều ngợc lại không lim Chứng minh Vì: x aã f ( x ) = b ⇔ ( ∀ε > ) ,( ∃Vδ • ( a ) : ∀x ∈ V ( a ) \ { a } ) ⇒ f ( x ) − b < ε • • δ• • (2.3.) Vì (2.3) với > 0, nên với = Nghĩa là: ( = 1) ,( ∃Vδ • ( a ) : ∀x ∈ V ( a ) \ { a } ) ⇒ • • δ• • f ( x) − b < ⇒ b − < f(x) < b + Hay ( ∃V ( a ) : ∀x ∈ V ( a ) \ { a } ) ⇒ f ( x ) < C = max ( b − , b + ) > ã ã ã ã ã (đpcm) 2.6.3 Hai tiêu chuẩn tồn giới hạn (phát biểu, không chứng minh) ( ) ã Tiêu chuẩn Nếu tồn hàm f1(x), f2(x) tồn lân cËn Vδ• a ( ) • cho: f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x) [∀x ∈ Vδ• a ](cã thĨ trõ điểm a) lim lim lim Đồng thời x aã f1 ( x ) = x → a• f2 ( x ) = b Thì tồn x a• f ( x ) = b sin x x →+∞ x VÝ dô 2.20 TÝnh lim Ta cã: Toán Cao cấp −1 sin x = f1(x) ≤ f(x) = x x2 ≤ f2(x) = 17 (∀x ∈V9(+∞)) x2 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 −1 sin x = lim = Theo tiªu chuÈn th× lim = x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x lim Tiªu chuÈn (i) Nếu f(x) đơn điệu tăng bị chặn M x a (hoặc +) tån t¹i giíi h¹n cđa f(x) x → a− (hoặc + ) đồng thời giới hạn M (ii) Nếu f(x) đơn điệu giảm bị chặn dới m x a(hoặc + ) tồn giới hạn f(x) x a (hoặc + ) đồng thời giới hạn m (iii) Nếu f(x) đơn điệu tăng bị chặn dới m x a+ (hoặc ) tồn giới hạn f(x) x a+ (hoặc ) đồng thời giới hạn m (iiii) Nếu f(x) đơn điệu giảm bị chặn M xa+(hoặc ) tồn giới hạn f(x) x a+(hoặc ) đồng thời giới hạn ≤ M NhËn xÐt 2.7 Tõ hai tiªu chuÈn tån giới hạn vừa nêu trên, ngời ta chứng minh đợc hai giới hạn sau tồn đợc gọi hai giới hạn n sin x = lim + ữ = e ,trong e số vô tỷ 2,71828 b¶n: lim x→0 n →+∞  x n x 1 Từ ta dễ dàng chứng minh đợc: lim + ữ = e lim [ + x ] x = e x→0 x →+∞  x 2.7 Sù liªn tơc cđa hàm số 2.7.1 Định nghĩa liên tục hàm số lim Định nghĩa 2.10 Hàm f(x) đợc gọi liên tục x0 x x0 f ( x ) = f ( x0 ) Định lý 2.5 Điều kiện cần đủ để hàm f(x) liên tục x0 điểm x0 f(x) thoả mÃn điều kiện sau: Toỏn Cao cp 18 Trn Thin Hùng CQ46/11.14   ∃f ( x0 ) ;  (C1)  ∃ lim f ( x ) ; ⇔ (C2) x → x0   lim f ( x ) = f ( x0 )  x → x0   ∃f ( x0 ) ;    ∃ lim f ( x ) , ∃ lim f ( x ) ; − + x → x0 x → x0   lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) + x → x0  x → x0 Định nghĩa 2.11 Hàm f(x) đợc gọi liên tục bên trái x0 nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) − x x0 Định nghĩa 2.12 Hàm f(x) đợc gọi liên tục bên phải x0 nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) + x x0 Định lý 2.6 Điều kiện cần đủ để hàm f(x) liên tục x0 f(x) vừa liên tục bên trái x0 vừa liên tục bên phải x0 Định nghĩa 2.13 + Hàm f(x) không liên tục x0 đợc gọi gián đoạn x điểm x0 đợc gọi điểm gián đoạn hàm số + Nếu x0 điểm gián đoạn hàm f(x) Đồng thời giới hạn lim f ( x ) , lim f ( x ) tồn hữu hạn điểm x đợc gọi điểm x x + x x0 gián đoạn loại hàm số Những điểm gián đoạn hàm f(x) điểm gián đoạn loại đợc gọi điểm gián đoạn loại hàm số Định nghĩa 2.14 + Hàm f(x) đợc gọi liên tục (a; b) f(x) liên tục điểm thuộc (a; b) + Hàm f(x) đợc gọi liên tục [a; b] f(x) liên tục (a; b), a liên tục bên phải b liên tục bên trái Tốn Cao cấp 19 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 VÝ dơ 2.21 (i) Xét liên tục hàm f(x) = 3x + x = + Hàm số xác định x = f(1) = Ta cã: + lim f ( x ) = lim ( x + ) = x →1 x Hàm số liên tục x = x3 (ii) Với giá trị f(2) hàm f(x) = liên tục x = 2? x2 Để hàm số liên tục x = th×: x3 − f(2) = lim f ( x ) = lim = lim x + x + = 12 x→ x→ x − x→ ( )  ax + x ≤ 3; (iii) Cho f(x) =   x − x > Víi giá trị a hàm f(x) liên tục x = 3? Ta có: Hàm số xác định x = f(3) = 3a + ( ) lim f ( x ) = lim ( ax + 1) = 3a + , lim f ( x ) = lim x − = − − + + x →3 x →3 x x Để hàm số liên tục x = 3a + = ⇔ a =  x ≠ ;  x (iiii) XÐt sù liªn tơc cđa hàm f(x) = + x = 0?  x =  Ta có: + Hàm số xác định x = vµ f(0) = lim lim + x → 0− f ( x ) = x → 0− =1 = f(0) ⇒ f(x) liªn tơc bªn trái x = 3+2 x lim f ( x ) = lim = ≠ f(0) + x → 0+ x → 0+ x 3+2 f(x) gián đoạn loại x = Nhận xét 2.8 Trong ví dụ 2.21 (iii) đợc thay bëi: Toán Cao cấp 20 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14  ax + x ≤ 3; Cho f(x) = Xét liên tục hàm f(x) x =  x − x > Thì làm nh ví dụ 2.21 (iii) ta đợc: Với a = hàm số liên tục x = 3, với a hàm số gián đoạn loại x = 2.7.2 Các phép tính hàm liên tục (chỉ nêu, không chứng minh) Định lý 2.7 Nếu f(x), g(x) hàm liên tục x0 hàm: f(x) g(x), f(x)ì g(x), f(x): g(x) liên tục x0 (trong phép chia g(x0) 0) Định lý 2.8 Nếu f(x) liên tục x0, g(y) liên tục f(x0) g[f(x)] liên tục x0 Định lý 2.9 Nếu hàm y = f(x) xác định, tăng giảm liên tục miền X; có miền giá trị Y Thì tồn hàm ngợc x = g(y) xác định, tăng giảm liên tục miền Y; có miền giá trị X 2.7.3 Tính chất hàm số liên tục đoạn Định lý 2.10 (Bolzano-Cauchy) Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] (a, b hữu hạn) giá trị trung gian hàm số [a; b] Thì tồn c [a; b] cho: f(c) = µ ý nghÜa cđa định lý: Nếu hàm y = f(x) liên tục [a; b] (a, b hữu hạn) {f(x) : x [a; b]} (tập giá trị hàm số [a; b]) Thì đờng thẳng y = cắt đồ thị hàm y = f(x) điểm Hay hàm y = f(x) liên tục [a; b] (a, b hữu hạn) đồ thị hàm y = f(x) [a; b] đờng liền không bị đứt đoạn Hệ 2.10 Nếu hàm f(x) liên tục [a; b] (a, b hữu hạn) f(a)f(b) < Thì phơng trình f(x) = có Ýt nhÊt mét nghiƯm trªn(a; b) Tốn Cao cấp 21 Trn Thin Hựng CQ46/11.14 Định lý 2.11 (Weierstrass) Nếu hàm y = f(x) liªn tơc trªn [a; b] (a, b hữu hạn) Thì f(x) đạt giá trị lớn nhỏ [a; b] Nghĩa tồn x1 , x2 ∈[a; b] cho: m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M (∀x∈ [a; b]) 2.7.4 Sù liên tục hàm số sơ cấp hàm số sơ cấp (chỉ nêu, không chứng minh) Nhận xét 2.9 + Việc xét liên tục hàm số điểm tính giới hạn hàm số x tiến dần đến số đó; theo định lý 2.7, 2.8 2.9 phép tính hàm số bảo toàn tính liên tục hàm số + Các hàm số sơ cấp liên tục miền xác định Vì vậy, hàm số sơ cấp liên tục miền xác định Ví dụ 2.22 Xét liên tục cđa hµm:  x + a x ≤ −1; f ( x) =  bx − x > Giải Đặt g(x) = 2x + a, h(x) = bx2 Thì g(x) h(x) hàm số sơ cấp xác định (,+) nên liên tục (,+) Do f(x) liên tục t¹i mäi x ≠ −1 T¹i x = −1 ta có: + Hàm số xác định f(1) = a −2; + xlim− f ( x ) = xlim− ( x + a ) = a −2; →−1 →−1 ( ) + xlim+ f ( x ) = xlim+ bx − = b −1 →−1 →−1 (i) NÕu a −2 = b −1 ⇔ a = b + Thì hàm f(x) liên tục (,+) (ii) NÕu a −2 ≠ b −1 ⇔ a ≠ b + Thì hàm f(x) liên tục x 1, liên tục bên trái x = gián đoạn loại x = Toỏn Cao cp 22 Trn Thin Hựng CQ46/11.14 2.7.5 Các công thức tơng đơng Nhận xét 2.10 Từ giới hạn thứ lim x0 sin x = phép tính x giới hạn ta có: (i) lim x →0 sin kx sin kx sin kx = k lim = k.1 = k ⇒ sin kx ∼ kx x → = lim k x→0 x→0 x kx kx (víi k lµ h»ng sè) x cos x − −2 sin2 − x2 (ii) lim = lim = lim = − (v× sin x ∼ x x → 0) x→0 x→0 x x x→0 x2 ⇒ − cos x ∼ x x → lim Nhận xét 2.11 Nếu hàm f(x) liên tục x0 th× x → x0 f ( x ) = f ( x0 ) VËy ®Ĩ lim lim tÝnh x → x0 f ( x ) ta chøng minh hµm liên tục x0, x x0 f ( x ) = f ( x0 ) Toán Cao cấp 23 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 tgx x2 − , (ii) lim x →0 x x→2 x + VÝ dơ 2.23 TÝnh (i) lim Gi¶i (i) f(x) = hàm số sơ cấp xác định x = Do đó, hàm số liên cos x tục x = áp dụng nhận xét 2.11 ta cã: tgx sin x 1 = f(0) = = ⇒ tg x ∼ x x → = lim = lim x →0 x x →0 x cos x x → cos x cos lim (ii) lim x→2 x2 − x2 − Ta cã: f ( x ) = lµ hàm số sơ cấp xác định x = x+2 x+2 Do đó, hàm số liên tục x = ¸p dơng nhËn xÐt 2.11 ta cã: x2 − 22 − = f ( 2) = lim = x→2 x + 2+2 NhËn xÐt 2.12 NÕu hµm y = f(x) lµ hµm liên tục x0, hàm h(y) hàm liên tục f(x0) Khi đó, lim h f ( x )  = h  lim f ( x )     x → x0   x x0 Nghĩa f(x) h(y) hàm liên tục chuyển việc tính giới hạn hàm h(.) vào hàm h(.) loga ( + x ) víi < a ≠ x→0 x VÝ dô 2.24 TÝnh I = lim Vì hàm logarit hàm số sơ cấp nên liên tục điểm loga ( + x ) x0 x thuộc miền xác định cđa nã Do ®ã, theo nhËn xÐt 2.12 ta cã: lim 1 1 = lim loga ( + x ) = lim loga ( + x ) x = loga lim ( + x ) x = x→0 x x→0 x→0 ln a Toán Cao cấp 24 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 NhËn xÐt 2.13 Vì loga(1+ x) x vô bé x nên giới hạn ví dụ 2.24 có dạng Từ kết ví dụ 2.24 định nghĩa so sánh vô bé ta có công thức tơng đơng sau: loga(1+ x) ∼ x x → 0; ln(1+ x) ∼ x x → ln a VÝ dơ 2.25 (VÝ dơ ¸p dơng) TÝnh lim x →0 log2 ( + x ) x Gi¶i Vì loga(1+ x) x vô bÐ x → vµ log2(1+ 3x) ∼ log2 ( + x ) 3x 3 x x → Nªn lim = = lim x → x ln x →0 ln ln x ax − VÝ dô 2.26 TÝnh J = lim víi < a ≠ x0 x Vì hàm ax hàm số sơ cấp xác định điểm nên liên tục điểm liên tục điểm x = Đặt t = ax1 Thì x →0 ⇒ t →0 vµ: x = loga(1+ t) ∼ Do ®ã: t t → ln a t t a x − lim = ln a = x → log ( + t ) = lim t lim x→0 a x→0 x ln a Nhận xét 2.14 (i) Vì ax x vô bé x nên giới hạn ví dụ.26 có dạng Từ kết ví dụ 2.26 định nghĩa so sánh vô bé 2ta có công thức tơng đơng sau: ax x lna x → 0, ex −1 ∼ x x → (ii) Từ nhận xét 2.12, 2.13 phần (i) cđa nhËn xÐt nµy ta cã: Tốn Cao cấp 25 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 lim u ( x )    v( x ) x → a• = lim e • v( x ) ln u ( x ) x→a =e lim v( x ) ln u ( x )    x → a• Trêng hợp đặc biệt, giới hạn có dạng (nghĩa x 0, u(x) v(x) → ∞) th×: lim u ( x )    v( x ) x → a• =e lim v( x ) u ( x ) −1   x → a• x x  x2 + x −  52 x − 1  VÝ dô 2.27 TÝnh (i) lim , (ii) lim  ÷ , (iii) lim  cos ÷ x →+∞ x→0 x →+∞  x2 + 3x  x x Giải (i) Vì 52x x vô bé x 52x −1 ∼ 2x ln5 x x ln 52 x − = ln lim = lim x0 x0 x x Nên: (ii) Vì u(x) = x2 + x − → , v(x) = x → ∞ x → +∞ nªn theo nhËn xÐt x2 + x  x2 + x −1 x lim x     2.14 phÇn (ii) ta cã: lim  x 2+ x − ÷ = e x→+∞  x →+∞  x + 3x  (iii) V× u(x) = cos lim x 1  x →+∞ lim  cos ÷ = e x →+∞  x VÝ dô 2.28 TÝnh K = 2   cos −1 ÷ x   ( + x) α − lim x→0 x =e −1 víi số Với = giới hạn không tồn Toỏn Cao cp lim x2 − x = e x→+∞ x +3 x = e−1 → , v(x) = x2 → ∞ x → +∞ nªn theo nhËn xÐt 2.14 x x2 (ii) ta cã:  −1 ÷ ÷ x +3 x  26 Trần Thiện Hùng CQ46/11.14  −1  Víi α ≠ V× hàm (1+ x) hàm số sơ cấp xác định ; 2 1  nªn nã liªn tơc trªn  ;   2 Ta cã α ln(1+x) = ln(1+x)α = ln[(1+x) α−1+1] Nªn K = ( + x) α − lim x→0 x = lim x→0 α ln ( + x ) α = ln ( + x ) − + 1   α ln ( + x ) ( + x ) − = αx ( + x ) α − lim lim lim lim = α α x→0 x→0 x ln ( + x ) − + 1 x → x x → ( + x ) α −  Nhận xét 2.15 Vì (1+ x) x vô bé x nên giới hạn ví dụ 2.28 có dạng Từ kết ví dụ 2.28 định nghĩa so sánh vô bé ta có công thức tơng đơng sau: (1+ x) αx x → (víi α lµ h»ng sè) VÝ dô 2.29 TÝnh ( + 2x) − , lim (i) x x→0 (i) V× (1+ 2x) −1 ∼ 6x x → Nªn (ii) lim x→0 ( + 2x) − = lim x→0 x cos x − − x x sin x 6x = x→0 x lim cos x − − x2 lim = lim = − ; x → x sin x x→0 x (ii) V×  −  − x2 − − 2x lim = lim  x→0 x→0 x sin x x2 ( )  − 1  = lim x = x →0 x2 2 cos x − + lim − − x = − + = Nªn lim cos x − − x = lim x → x sin x x→0 x→0 x sin x x sin x 2 Toán Cao cấp 27 ... x 2.7 Sù liên tục hàm số 2.7.1 Định nghĩa liên tục hàm số lim Định nghĩa 2.10 Hàm f(x) đợc gọi liên tục x0 x x0 f ( x ) = f ( x0 ) Định lý 2.5 Điều kiện cần đủ để hàm f(x) liên tục x0 điểm... loại hàm số Định nghĩa 2.14 + Hàm f(x) đợc gọi liên tục (a; b) f(x) liên tục điểm thuộc (a; b) + Hàm f(x) đợc gọi liên tục trªn [a; b] nÕu f(x) liªn tơc trªn (a; b), a liên tục bên phải b liên tục. .. cđa hàm f(x) = 3x + x = + Hàm số xác định x = f(1) = Ta cã: + lim f ( x ) = lim ( x + ) = x x Hàm số liên tục x = x3 (ii) Với giá trị f(2) hàm f(x) = liên tục x = 2? x2 Để hàm số liên tục x