Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois Đề tài NCKH "Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo hướng tích cực hóa nhận thức người học" Chủ nhiệm đề tài: Ths. Ngô Thị Ngoan ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Văn Hoàng Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois Lời mở đầu - Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Công thức nghiệm (chỉ sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu. Đến giữa thế kỉ 16, công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy, Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc năm. Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức với bậc tùy ý có công thức nghiệm. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức có công thức nghiệm. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois - Mục tiêu của môn học Lý thuyết Galois là tìm hiểu kiến thức để thấy được sự kết nối đó và đến được Định lý Lớn của Galois chính là điều kiện cần và đủ để một đa thức giải được bằng căn thức. - Môn học Lý thuyết Galois là môn học rất hay, cần thiết và là môn học khó. Nó đòi hỏi sinh viên nắm vững các kiến thức của nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý thuyết trường. Thời gian trên lớp quá ít cho việc giảng dạy và học tập của thầy và trò. - Vì vậy chúng tôi chọn đề tài thiết kế bài giảng điện tử cho môn học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức. Mong muốn các em có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực của toán học. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 1.1 Mở rộng trường Bổ đề 1.1 Cho F là trường và f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả quy. Khi đó K = F[x]/(f(x)) là trường và x = x + (f(x)) là một nghiệm của f(x). Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta có thể coi F là trường con của K. Chứng minh - Đặt I = (f(x)). Vì f(x) bất khả quy nên K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. Lấy g(x) + I ∈ K sao cho g(x) /∈ I. Khi đó (g(x), f(x)) = 1. Suy ra tồn tại q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f(x). Từ đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Chứng tỏ g(x) + I khả nghịch trong K, do vậy K là trường. Ta thấy ϕ : F −→ K, a −→ a + I là một đơn cấu. Đặt x = x + I ∈ K. Giả sử f(x) =  n i=0 a i x i . Khi đó f(x) =  n i=0 a i x i =  n i=0 (a i x i + I) = (  n i=0 a i x i ) + I = f (x) + I = 0. Suy ra x là nghiệm của f(x). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.2 Cho F là trường con của trường K. Khi đó quan hệ F ⊆ K được gọi là một mở rộng trường, nó còn được kí hiệu bởi K/F . Một dãy các mở rộng trường F 1 ⊆ F 2 ⊆ . . . ⊆ F n , thường được gọi là một tháp các trường. Chú ý 1.3 Nếu K/F là một mở rộng trường, thì K là một F -không gian véctơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với một véctơ của K xác định bởi F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí hiệu [K : F ] = dim F K và gọi là bậc của mở rộng trường. Định lý 1.4 Cho f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả quy, đặt K = F [x]/(f (x)). Khi đó K/F là một mở rộng trường và [K : F ] = deg(f(x)). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Chứng minh Đặt d = deg(f(x)) và I = (f(x)). Khi đó K = F [x]/I là trường và là F -không gian véctơ.Đặt S = {1 + I, x + I, . . . , x d−1 + I}. Ta sẽ chứng tỏ S là cơ sở của K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó từ Định lý phép chia với dư, tồn tại q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho g(x) = f(x)q(x) + r(x), với r(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a d−1 x d−1 ∈ F [x]. Do đó g(x) + I = r(x) + I = a 0 (1 + I) + a 1 (x + I) + . . . + a d−1 (x d−1 + I). Mặt khác, giả sử ∃b 0 , b 1 , . . . , b d−1 ∈ F sao cho b 0 (1 + I) + b 1 (x + I) + . + b d−1 (x d−1 + I) = 0, suy ra b 0 + b 1 x + . . . + b d−1 x d−1 chia hết cho f(x). Chứng tỏ b 0 = b 1 = . . . = b d−1 = 0. Vậy [K : F ] = deg(f(x)). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.5 Cho E/F là mở rộng trường và α 1 , . . . , α n ∈ E. Khi đó trường con bé nhất của E chứa F và α 1 , . . . , α n , kí hiệu là F (α 1 , . . . , α n ), và nó được gọi là mở rộng của F bằng cách ghép thêm các phần tử α 1 , . . . , α n . Nhận xét 1.6 i) F (α 1 , . . . , α n ) là giao của mọi trường con của E chứa F và α 1 , . . . , α n . ii) Khi n = 1 và α = α 1 , ta gọi F (α)/F là mở rộng đơn. iii) Mỗi phần tử của F (α 1 , . . . , α n ) có dạng f(α 1 , , α n ) g(α 1 , , α n ) , với f(x 1 , , x n ), g(x 1 , , x n ) ∈ F [x 1 , . . . , x n ] và g(α 1 , . . . , α n ) = 0. iv) Giả sử E/F là mở rộng trường và α ∈ E. Ta xét cấu trúc của F (α)/F như sau. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Trường hợp 1. α là phần tử đại số trên F . Lấy f(x) ∈ F [x] −{0} là đa thức có bậc bé nhất nhận α là nghiệm. Khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trên F . Xét ánh xạ δ : F[x] −→ F [α], g(x) −→ g(α), rõ ràng δ là toàn cấu và có Ker δ = (f(x)). Do đó F [x]/(f(x)) ∼ = F [α], suy ra F (α) ∼ = F [α]. Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn đại số.Ví dụ: Q( √ 2) ∼ = Q[x]/(x 2 − 2). Trường hợp 2. α là phần tử siêu việt trên F . Ánh xạ δ : F[x] −→ F [α], g(x) −→ g(α) là toàn cấu, và có Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α] ∼ = F [x]. Do đó F (α) ∼ = F (x) = { g(x) h(x) | g(x), h(x) ∈ F[x], h(x) = 0}. Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn siêu việt.Ví dụ: Q(π) ∼ = Q(x). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.7 Cho E/F là mở rộng trường. Khi đó - E/F được gọi là mở rộng hữu hạn nếu [E : F ] < ∞. - E/F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của E đều là phần tử đại số trên F . Bổ đề 1.8Cho E/K và K/F là các mở rộng trường. Khi đó [E : F ] = [E : K][K : F ]. Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu và chỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn. Chứng minh Lấy {α i } i∈I là một cơ sở của K-không gian vectơ E, và {β j } j∈J là một cơ sở của F -không gian vectơ K. Khi đó ta chứng minh được rằng {α i β j } (i,j)∈I×J là một cơ sở của F -không gian vectơ E. Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F là mở rộng đại số. Thật vậy, giả sử [E : F ] = n. Lấy α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , α n phụ thuộc tuyến tính. Nên ∃a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ F không đồng thời bằng 0 để a 0 + a 1 α + a 2 α 2 + . . . + a n α n = 0. Suy ra α đại số trên F . Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 ii) Mọi mở rộng đơn đại số là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, giả sử E = F (α) với α là phần tử đại số trên F . Lấy f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả quy bậc n nhận α là nghiệm. Khi đó E = F [x]/(f(x)) ∼ = {  n−1 i=0 a i α i | a i ∈ F } là F −không gian véc tơ chiều n. iii) Giả sử E = F (α 1 , . . . , α n ) với α 1 , . . . , α 2 là phần tử đại số trên F . Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, có tháp trường F ⊆ F (α 1 ) ⊆ F (α 1 , α 2 ) ⊆ . . . ⊆ F(α 1 , . . . , α n ) = E, trong đó mỗi bước là một mở rộng đơn đại số. Vì thế E/F là mở rộng hữu hạn. iv) Nói chung, một mở rộng đại số không là mở rộng hữu hạn. Chẳng hạn, lấy F = Q và E = Q(S). Trong đó S = { p √ 2 | p là số nguyên tố } ⊆ R và Q(S) là trường con nhỏ nhất của R chứa Q và S. Khi đó, E/F là mở rộng đại số nhưng không là mở rộng hữu hạn. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois [...]... phần tử tách được nếu α siêu việt trên F hoặc đa thức tối tiểu của α (tức là, đa thức bất khả quy, hệ tử cao nhất bằng 1 và nhận α là nghiệm) là đa thức tách được iii) Mở rộng trường E/F được gọi là mở rộng tách được nếu mọi phần tử của E đều là phần tử tách được Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức. .. • Bài tập Chương 2 Định nghĩa 2.13 Cho E/F là một mở rộng hữu hạn Một phần tử α ∈ E được gọi là phần tử nguyên thủy của E nếu E = F (α) Nhận xét 2.14 Cho F là trường hữu hạn Khi đó i) Theo chứng minh của Hệ quả 2.12, ta thấy mỗi phần tử sinh α của nhóm xyclic F ∗ đều là một phần tử nguyên thủy của F ii) Nếu α là phần tử nguyên thủy của F thì mọi phần tử của F hoặc là 0 hoặc là lũy thừa của α Bổ đề. .. Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.11 Trường F được gọi là trường hoàn thiện nếu mọi đa thức khác hằng trong F [x] đều là đa thức tách được Nhận xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy Nếu đạo hàm p (x) = 0 thì deg(p (x)) < deg(p(x))... (x) trên Q Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định lý 1.14 Cho F là một trường và f (x) ∈ F [x] là đa thức có bậc dương Khi đó luôn tồn tại trường... |Gal(E/ Q)| = 2 × 3 = 6 Suy ra Gal(E/ Q) ∼ S3 (theo Định lý 2.4) = Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 2.1 Định nghĩa và tính chất 2.2 Căn của đơn vị, một số cấu trúc nhóm Galois • Bài tập Chương 2 Định lý 2.6 Cho F ⊆ B ⊆ E là một tháp trường trong... thêm G là nhóm xyclic, thì từ Bổ đề 2.7 và đẳng thức trên cho ta n = d|n ϕ(d) Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 2.1 Định nghĩa và tính chất 2.2 Căn của đơn vị, một số cấu trúc nhóm Galois • Bài tập Chương 2 Định lý 2.9 Một nhóm G cấp n là nhóm... Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.10 i) Cho F là trường, và f (x) ∈ F [x] phân tích được thành tích các nhân tử bất khả quy (không nhất thiết phân biệt) f (x) = p1 (x) pk (x) Ta nói f (x) là đa thức tách được nếu mỗi pi (x) không... lên ϕ Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 - Vì f (x) tách được nên p(x) có d nghiệm phân biệt α Khi đó, từ Bổ đề 1.15, ta có d đẳng cấu trường ϕ... của ϕ theo cách như trên Hệ quả 1.18 (Tính duy nhất của trường phân rã) Cho f (x) ∈ F [x] là đa thức có bậc dương Khi đó trường phân rã của f (x) trên F là duy nhất sai khác một đẳng cấu giữ nguyên các phần tử của F Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết. .. ∈ E Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1 Mở rộng trường Chương 2 Nhóm Galois Chương 3 Giải được bằng căn thức Chương 4 Mở rộng Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn Định nghĩa 1.20 Trường F được gọi là trường nguyên tố nếu nó không có trường con nào ngoài bản thân nó Nhận