Bài 1: Cho phơng trình: x 2 3mx 6m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = 1. b) Tìm m để phơng trình vô nghiệm. Bài 2: Cho phơng trình: 5x 2 2mx 3m = 0 a) Giải phơng trình với m = 1. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Bài 3: Cho phơng trình: x 2 + 3x (m 2 2m + 1) = 0 a) Giải phơng trình với m = 1 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phơng trình: x 2 + (m 1)x m 2 + m + 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = 3 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 5: Cho phơng trình: mx 2 + 2(m 2)x + m - 3 = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 6: Cho phơng trình: mx 2 + (m + 1)x 2m = 0 a) Giải phơng trình với m = 2 1 b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm. Bài 7: Tìm giá trị của m để các phơng trình sau có 1 nghiệm. a) mx 2 2x + 6m = 0 b) m 2 x 2 + 10 x + 1 = 0 Bài 8: Tỡm giá trị của m để các phơng trình sau vô nghiệm. a) mx 2 + 2(m 3)x + m = 0 b) (m 2)x 2 2(m 2)x m = 0 Bài 9: Cho phơng trình: mx 2 (m + 1)x + 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = 89 b) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm. Bài 10: Cho phơng trình: mx 2 (3m + 1) + 3 = 0 a) Giải phơng trình với m = 2 b) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm. Bài 11: Cho phơng trình: mx 2 + 2 (m 1)x 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = 3 b) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm Bài 12: Chứng minh rằng với mọi m phơng trình sau luôn có nghiệm mx 2 (3m + 1)x + 2m + 2 = 0 Bài 13: Chứng minh rằng với mọi m phơng trình sau luôn có nghiệm m(m 1)x 2 (2m - 1)x + 1 = 0 Bài 14: Cho hai số dơng a,b và phơng trình: 032 2 =+ a b b a xx Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm từ đó xác định điều kiện của a, b để phơng trình có nghiệm kép. Bài 15: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ph- ơng trình : x 2 - 2x ab(a + b 2c) bc(b + c 2a) ca(c + a 2b) + 1 = 0 luôn luôn có nghiệm, khi đó tìm điều kiện của a, b, c để phơng trình có nghiệm kép. Bài 16: Giả sử a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình: b 2 x 2 + b 2 + c 2 a 2 )x + c 2 = 0 vô nghiệm. Bài 17: Cho hai phơng trình: x 2 mx + 2 = 0 x 2 4x + m = 0 Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất 1 nghiệm chung. Bài 18: Cho hai phơng trình: x 2 + x + a = 0 và x 2 + ax + 1 = 0 a) Với giá trị nào của a thì hai phơng trình có nghiệm chung. b) Với giá trị nào của a thì hai phơng trình tơng đơng. Bài 1: Xác định m để hệ phơng trình sau có nghiệm: +=+++ =++ 1)(4 )4)(4( 22 myxyx myxxy Giải: +=+++ =++ +=+++ =++ 1)4()4( )4)(4( 1)(4 )4)(4( 22 22 22 myyxx myyxx myxyx myxxy Đặt: +=+= +=+= 44)2(4 44)2(4 22 22 yYyyY xXxxX Ta có: +=+ = 1mYX mXY X, Y là nghiệm cảu phơng trình: t 2 (m +1)t + m = 0 Vì a + b + c = 0 nên phơng trình có hai nghiện là: t 1 = 1; t 2 = m Do đó để hệ phơng trình có nghiệm thì 4 4 41 4 4 2 1 m mt t Vậy để hệ phơng trình có nghiẹm thì 4 m Bài 2: Cho phơng trình: (m 1)x 2 + 2mx + m + 1 = 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 .x 2 + x 2 2 .x 1 = 2m Giải: a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu: 11 11 1 01 01 01 01 1 0 1 1 01 0 0 << << > <+ < >+ < + < m m m m m m m m m m m P a Vậy để phơng trình có hai nghiệm trái dấu thì: -1 < m < 1 b) Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x : 01 01 01 01 01 0' 0 22 + m m mm m a Theo hệ thức Vi ét ta có: + = =+ 1 1 . 1 2 21 21 m m xx m m xx Do đó: x 1 2 .x 2 + x 2 2 .x 1 = 2m x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) = 2m = =+ = =+ =+++=++ =+= + m m m m mmm mmmmmmmm mmmmm m m m m 0 0 4 7 2 1 0 0)2(2 0)121(20)2(2)1(2 )1(2)1(22 1 2 . 1 1 2 2 2 2 m = 0 thoả mãn m 1 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Bài 3: Cho phơng trình (2m 1)x 2 2mx + 1 = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: | x 1 2 - x 2 2 | = 1 Giải: a) - Xét 2m 1 = 0 2m 1 = 0 2 1 =m Phơng trình trở thành: -x + 1 = 0 x = 1 - Xét 2m 1 0 2m 1 0 m 2 1 Ta có a + b + c = 2m 1 2m + 1 = 0 do đó phơng trình có hai nghiệm là: x 1 = 1; x 2 = 12 1 m Mà 1 (-1; 0) do vậy phơng trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0) thì: 0 12 1 1 )0;1( 12 1 012 < < m m m Giải hệ phơng trình trên ta có: m < 1 Bài 4: Cho phơng trình: 2x 2 + 2mx + m 2 2 = 0 a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm. b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức: 42 2121 +++= xxxxA Bài 5: Cho phơng trình: x 2 5mx + 6m 2 + m 1 = 0 a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình trên có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 đều lớn hơn 2. Giải: a) Ta có: mmmmmmmmmm =+=+=+= ,0)2(44442425)16(4)5( 222222 Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 20)2(0 2 >> mm Hai nghiệm của phơng trình là: 12 2 25 13 2 25 21 += + == + = m mm xm mm x Hai nghiệm x 1 , x 2 đều lớn hơn hai: 1 2 1 1 12 33 212 213 > > > > > >+ > m m m m m m m Vậy m > 1 và m 2 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 đều lớn hơn 2. Bài 6: Cho phơng trình: (m 1)x 2 + 2(m 1)x m = 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. Giải: Phơng trình có nghiệm kép 2 1 2 1 1 012 1 0)1)(1( 1 0)1()1( 01 0' 0 2 = = = =+ =+ = m m m m m mmm m mmm m a Phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = 1 1 )1( ' = = m m a b b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm: 2 1 0 0; 2 1 ;1 0; 2 1 ;1 0;012;01 0;012;01 0)1( 02 0)12)(1( 01 0 0 0' 0 << ><< <>> ><< <>> > < > > < > m mmm mmm mmm mmm mm mm m P S a Vậy 2 1 0 << m thoả mãn đầu bài. Bài 7: Cho phơng trình: x 2 + 8x m = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn: 2 1 2 2 1 <+ x x x x Giải: m += 16' Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 160160' >>+> mm Theo hệ thức Viét ta có: x 1 .x 2 = -m Ta có: 0000 )( 0 2 022 21 21 2 21 21 21 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ><<< < + <+<+ mmxx xx xx xx xxxx x x x x x x x x m > 0 thoả mãn điều kiện m > -16 Bài 8: Cho phơng trình: mx 2 (5m 2)x + 6m 5 = 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m. Giải: a) Xét hai trờng hợp: - Trờng hợp 1: m = 0, phơng trình trở thành: 2x 5 = 0 2x = 5 x = 2 5 Trờng hợp 2: m 0 = (5m 2) 2 4m(6m 5) = 25m 2 20m + 4 24m 2 + 20m = m 2 + 4 >0 Phơng trình có hai nghiệm có hai nghiệm phân biệt khi m 0 Tóm lại phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Theo hệ thức Viét ta có: = =+ m m xx m m xx 56 . 25 21 21 Phơng trình có hai nghiệm đối nhau: 2 5 25 0 25 0 0 0 0 21 == = =+ > mm m m m xx a c) Ta có: 13.2)(5 10 12.2 10 25)(5 5 6. 2 5 56 . 25 2121 21 21 21 21 21 21 =+ = =+ = =+ = =+ xxxx m xx m xx m xx m xx m m xx m m xx Vậy hệ thức cần tìm là 13.2)(5 2121 =+ xxxx Bài 9: Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình: 00 12 4612 2 22 >=++ m m mmxx Tìm m để A = x 1 3 + x 2 3 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải: Ta có: 2 2 2 22 2 22 144 483 144 48129 12 4129' m m m mm m mx +=+= += Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 124484 4)8(164816 048160 144 4830' 22 22224 24 2 2 + ++ mm mmm mm m m Do m > 0 nên ta có: 322 m Theo hệ thức Viét ta có: + = ==+ 12 12 4 . 212 6 2 2 21 21 m m xx mm xx Do đó: A = x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 +x 2 ) = = + = + m m m mm mm m m m 3 2 1 8 12 4 82 . 12 12 4 .3 2 3 8 2 2 3 Vì 2 m 32 nên 2 33 2 3 m Ta có: 2 333 2 1 m m do đó 4 33 4 1 A * 4 33 A , đâu = xảy ra m = 32 Vậy giá trị lớn nhất của A là 4 33 * 4 1 A , dấu = xảy ra m = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 1 khi m = 2 Bài 10: Cho phơng trình mx 2 2(m + 1)x + m 5 = 0 a) Xác định m để phơng trình có nghiệm duy nhất. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: (x 1 + 1)(x 2 + 1) = 3 Giải: a) Xét hai trờng hợp: - Với m = 0, phơng trình trở thành: -2x 5 = 0 2 5 = x - Với m 0 , Ta có: 17512)5()1(' 222 +=+++=+= mmmmmmmm Phơng trình có nghiệm duy nhất: 7 1 017 0' = =+ = m m Vậy với m = 0 hoặc m = 7 1 phơng trình có nghiệm duy nhất. b) Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 + 7 1 0 017 0 0' 0 m m m mm Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 , áp dụng hệ thức Viét ta có: = + =+ m m xx m m xx 5 . )1(2 21 21 Ta có: (x 1 + 1)(x 2 + 1) = x 1 x 2 + (x 1 + x 2 ) + 1 = 3 x 1 x 2 + (x 1 + x 2 ) = 2 3 25)1(2 2 5 )1(2 = =++ = + + m mmm m m m m thoả mãn 0 m và m 7 1 Vậy m = 3 thoả mãn đầu bài. Bài 11: Cho phơng trình: x 2 2x + 3m 1 = 0 Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 = 10 Giải: Ta có: ' = 1 3m + 1 = 2 3m Phơng trình có hai nghiệm: 3 2 0320' mm áp dụng hệ thức Viét: = =+ 13. 2 21 21 mxx xx Ta có: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 10 2 2 2(3m 1) = 10 4 6m + 2 = 10 m = 3 2 thoả mãn điều kiện 3 2 m Vậy với m = 3 2 là số cần tìm. Bài 12: Cho phơng trình: x 2 2mx + 4m 4 = 0 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 4 13 11 1 2 2 1 = + + + x x x x Giải: Ta có: ' = m 2 4m + 4 = (m 2) 2 m ,0 Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 . áp dụng hệ thức Viét ta có: = =+ 44. 2 21 21 mxx mxx Ta có: 017)(4 4 13 4 13 11 21 2 21 21 21 2 2 2 1 1 2 2 1 =+ = ++ = + + + xxxx xx xxxx x x x x = + = =+ = 8 1717 8 1717 07174 0)44(17)2(4 2 2 m m mm mm Vậy với 8 1717 + =m hoặc 8 1717 =m thoả mãn đầu bài. Bài 13: Cho phơng trình: x 2 5x + 2m 1 = 0 a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt. b) Tìm giá trị của m sao cho 3 19 1 2 2 1 =+ x x x x Giải: a) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt 8 29 08290)12(4250 <>>> mmm Vậy với m < 8 29 phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b) Với 8 29 m phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . áp dụng hệ thức Viét ta có: = =+ 12. 5 21 21 mxx xx Ta có: 8 29 2 050100 0)12(255.3 025)(3 19)(3 3 19 3 19 2 21 2 21 21 2 2 2 1 21 2 2 2 1 1 2 2 1 <= = = =+ =+= + =+ m m m xxxx xxxx xx xx x x x x Vậy với m = 2 hai nghiệm của phơng trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức của bài. Bài 14: Cho phơng trình: x 2 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 10x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 Giải: a) Phơng trình có hai nghiệm: >++ 3 3 9090)102()1(0' 222 m m mmmm Vậy với 3m hoặc 3m phơng trình có hai nghiệm. b) A = 10x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 + 8x 1 x 2 Theo hệ thức Vi ét ta có: += +=+ 102. )12( 21 21 mxx mxx A = 4(m + 1) 2 + 8(2m + 10) = 4(m 2 + 6m + 21) = 4.[(m + 3) 2 +12] 48 Vậy A min = 48 m = -3 Bài 15: Cho phơng trình: (m 4)x 2 2mx + m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = 3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm là 3 , tìm nghiệm còn lại. c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Giải: a) Với m = 3 ta đợc phơng trình: -x 2 6x + 1 = 0 x 2 + 6x - 1 = 0 Giải ta đợc hai nghiệm x 1 = 103 và x 2 = 103 + b) Thay x = 3 vào phơng trình đã cho ta đợc: )32(7 )32(2 14 014)32(2 0232)4(3 += == =+ mm mmm Ta có x 1 + x 2 = 4 2 m m và x 1 = 3 21 3132 3 10)37( )1037)(32(14 3 4)32(7 )32(14 3 4 2 22 2 = + = + + = = m m x c) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: > > > > 3 4 4 086 4 0)2)(4( 04 0' 0 2 m m m m mmm m a Vậy để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thì m 3 4 và m 4 Bài 16: Cho phơng trình: mx 2 2(m + 3) x + m 2 = 0 a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 3x 1 x 2 2(x 1 + x 2 ) + 7 = 0 Giải: a) 98)2()3(' 2 +=+= mmmm Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: