KiĨm tra kú II - M«n To¸n 9 N¨m häc 2009 - 2010 B i 1à ( 2 ®iĨm) a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 2 1 1 16 4 x x x + = − − + b. Chứng minh đẳng thức : ( ) ( ) x x y y x y x y + − + + 2 y x y + - 1 xy x y = − víi , 0x y x y >   ≠  B i 2à ( 1,5 ®iĨm). Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – ( 2 m - 1 )x – m = 0 a, Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi m. b, T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ A = x 1 2 + x 2 2 – 6 x 1 .x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt B i 3à ( 2 ®iĨm). Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc 30 km/h , sau ®ã l¹i ngù¬c tõ B trë vỊ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngỵc 1 giê 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h B i 4à ( 3,5 ®iĨm). Cho đường tròn ( O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R, từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) tại điểm B, C là hai tiếp điểm . a) Chøng minh tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp. b ) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác điểm B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác điểm D ). Chøng minh AB 2 = AE . AD c) Chøng minh BC.EC = AC.AD d ) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD v AC theo R B i 5à ( 1 ®iĨm). Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iỊu kiƯn : 1−x + x 2 = 1−y + y 2 . Chøng minh r»ng x = y. HƯỚNG DẪN Bài 4: I E D O C B A · · · · 0 0 0 0 0 OBA 90 (OB AB) ( 2 ttuyến cắt nhau) a) OCA = 90 (OC AC) ( 2 ttuyến cắt nhau) OBA OCA 90 90 180  = ⊥   ⊥   ⇒ + = + = ⇒ OBAC là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180 0 ) b) Xét ∆ AEB và ∆ ABD, ta có: · · » µ ABE ADB ( góc tạo bởi t/tuyến va ødây va øgóc n/tiếp cùng chắn BE) A la øgóc chung  =     Vậy: ∆ AEB ~ ∆ ABD(g-g) 2 AE AB AB AE.AD AB AD ⇒ = ⇒ = · · · · ¼  ⇒ =   =   c) Gọi Ex la øtia đối của tia EC Co ù AC // BD(gt) EAC EDB (slt) Ma ø: ECB EDB (cùng chắn BE) · · · · · » · · ∆ ∆ ⇒ = = = = EAC ECB ( cùng EDB ) Xét AEC va ø CEB ; ta có : EBC ECA (cùng chắn CE) EAC ECB (cmt) · · · · · ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = Vậy : AEC CEB (g - g) BEC AEC BEx AEx (kề bu øvới hai góc bằng nhau) Vậy : tia đối của tia EC la øtia phân giác của BEA. : d) ∆ ABC vuông tại B cho OA 2 = OB 2 + AB 2 ( Pitago) và chứng minh được OA ⊥BC tại H ⇒ AB 2 =(3R) 2 - (R) 2 ⇒ AB = R 8 ∆ ABO vuông có ba cạnh là R, R 8 ,3R Các tam giác vuông OHC và ICB cùng đồng dạng với tam giác vuông ABO cho Bµi 5: Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n 1−x + x 2 = 1−y +y 2 => x ≥ 1; y ≥ 1 - NÕu x = 1 = y th× cã ngay x = y (®pcm!)- NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®îc: 1−x + x 2 = 1−y + y 2 <=> ( 1−x - 1−y ) + (x 2 - y 2 ) = 0 <=> (x - y)/( 1−x + 1−y ) + (x 2 -y 2 ) = 0 <=> (x - y).(1/( 1−x + 1−y ) + x + y) = 0 <=> x - y = 0 (v× 1/( 1−x + 1−y ) + x + y > 0) <=> x = y VËy nÕu cã x, y tho¶ m·n 1−x + x 2 = 1−y + y 2 th× x = y (®pcm!)Chó ý: Cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch xÐt c¸c trêng hîp: - NÕu x > y, CM ®îc 1−x + x 2 > 1−y + y 2 - NÕu x < y, CM ®îc 1−x + x 2 < 1−y + y 2 - VËy nÕu 1−x + x 2 = 1−y + y 2 th× x = y . y. HƯỚNG DẪN Bài 4: I E D O C B A · · · · 0 0 0 0 0 OBA 90 (OB AB) ( 2 ttuyến cắt nhau) a) OCA = 90 (OC AC) ( 2 ttuyến cắt nhau) OBA OCA 90 90 180  = ⊥   ⊥   ⇒ + = + = ⇒ OBAC là tứ giác nội. KiĨm tra kú II - M«n To¸n 9 N¨m häc 20 09 - 2010 B i 1à ( 2 ®iĨm) a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 2 1 1 16 4 x x x + = − − +