Chuyên đề : Mặt cầu 1. Bài toán I (Về phương trình mặt cầu ) Có hai cách lựa chọn : - Nếu dùng phương trình + + =z z(S) : 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y- y ) ( - ) R , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là z 0 0 0 x ,y , ,R - Nếu dùng phương trình + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là a, b, c, d Ví dụ 1 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,0,1) và tâm I nằm trên + + − =z(P):x y 3 0 Giải Xét phương trình của mặt cầu (S ) theo dạng + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 ( + + > 2 2 2 a b c d ). Vì (S ) đi qua A, B, C nên ta có  + + =  + + =   + + =  1 2b d 0(1) 1 2a d 0(2) 1 2c d 0(3) , (S ) có tâm I(-a, -b, -c), mà I thuộc (P), nên có – a – b – c – 3 = 0 hay a + b + c = - 3 (4) Giải hệ (1) (2) (3) (4) và có a = -1 , b = -1, c = -1, d = 1, tức là + + − − − 2 z z (S) : 2 2 x y 2x 2y 2 + 1 = 0 Ví dụ 2 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(3, 1, 0), B(5, 5, 0) và tâm nằm trên trục Ox ? Giải Gọi tâm là I, thì I(a,0,0). Vậy mặt cầu (S ) có dạng + + =z(S) : 2 2 2 2 (x- a) y R Theo bài ra ta có hệ phương trình  − + =  − + =  2 2 2 2 (3 a) 1 R (5 a) 25 R , giải ra ta có a = 10, R 2 = 50. Vậy phương trình (S )là + + =z(S) : 2 2 2 (x-10) y 50 Ví dụ 3 : Cho họ mặt phẳng cong (S m ) có phương trình (S m ) + + − − − + 2 z z 2 2 2 : x y 4mx 2my 6 + m 4m = 0 Trang 1 a) Tìm m để (S m ) là một họ mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của (S m ) luôn nằm trên một đường thẳng cố định Giải a) Viết lại họ dưới dạng + + = + + − − = − +z 2 2 2 2 2 2 2 (x- 2m) (y- m) ( - 3) 4m m 9 m 4m 4m 4m 9 Vì ∆' = 4 – 36 < 0, nên − + > ∀ 2 4m 4m 9 0 m . Vậy ∀m thì (S m ) luôn là một họ mặt cầu b) Tâm I của (S m ) là I(2m,m,3). Do đó nếu gọi m )z m m I(x ,y , là tâm của (S m ), thì với mọi m ta có  =  =  = ⇒   =   =  m m z z m m m x 2m x 2ym y m 3 3 . Vậy I luôn nằm trên đường thẳng sau  =  − = ⇔   = =   z z x 2y x 2y 0 d: 3 3 Ví dụ 4 : Cho họ mặt phẳng cong (S α ) có phương trình : (S α ) + + − α − α − 2 z 2 2 : x y 2xsin 2ycos 3 = 0 a) Tìm điều kiện α để (S α ) là một mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của họ (S α ) luôn nằm trên một đường tròn cố định Giải a) Viết lại họ (S α ) dưới dạng α + α + =z 2 2 2 (x- sin ) (y- cos ) 4 . Vậy ∀α thì (S α ) là phương trình của mặt cầu b) Gọi α I là tâm của mặt cầu (S α ), ta có α α α α )zI (x ,y , , ở đây α α α  = α  = α   =  z x sin y cos 0 . Từ đây suy ra ∀α , thì α I thuộc mặt phẳng xOy. Trên mặt phẳng này ta có α α + = 2 2 x y 1 , vậy α I nằm trên đường tròn tâm tại O, và bán kính bằng 1. Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy Ví dụ 5 : Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình Trang 2  =  + =  =   + + =   =  z z 1 2 x 2t x y- 3 0 (d ): y t (d ): 4x 4y 3 -12 0 4 a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) Giải a) (d 1 ) là đường thẳng qua M 1 (0,0,4) và có véc tơ chỉ phương = uur 1 u (2,1,0) , (d 2 ) là đường thẳng qua M 2 (3,0,0) và có véc tơ chỉ phương = − uur 2 u (1, 1,0) . Rõ ràng (d 1 ) không song song với (d 2 ) (vì uur 1 u không song song uur 2 u ). Xét hệ phương trình  + − =  = ⇔   + + − = =   2t t 3 0 t 1 8t 4t 12 12 0 t 0 Vậy hệ vô nghiệm, tức là (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau bằng cách tính và thấy   ≠   uur uur uuuuur 1 2 1 2 u ,u .M M 0 b) Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số  =  =   = = −     = =   z z 1 2 x 2t x 2s (d ): y t (d ): y s 4 0 . Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d 1 ), (d 2 ). Ta có M(2t, t, 4), N(3+s,-s, 0) ⇒ = − + − − − uuur MN (s 2t 3, s t, 4) . Vì ⊥ ⊥ uuur uur uuur uur 1 2 MN u và MN u , nên ta có hệ phương trình sau để xác định t và s  − + − + =  − = −  = ⇔ ⇔    − + + + = = − = −    2(s 2t 3) (s t) 0 s 5t 6 t 1 s 2t 3 s t 0 2s- t 3 s 1 Vậy chân đoạn vuông góc chung là M(2,1,4) và N(2,1,0). Tâm I hình cầu là trung điểm MN, nên I(2,1,2), ngoài ra bán kính R = 1/2MN = 2. Do vậy mặt cầu có phương trình + + =z(S) : 2 2 2 (x- 2) (y-1) ( - 2) 4 Trang 3 2. Bài toán II (Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng) Để viết phương trình một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng + + + =z(P): Ax By C D 0 , cần lưu ý các điều sau đây: a) Điều kiện cần và đủ để mặt cầu + + =z z(S) : 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y- y ) ( - ) R tiếp xúc với + + + =z(P): Ax By C D 0 là + + + = + + 0 z 0 0 2 2 2 Ax By C D R A B C b) Phụ thuộc vào số ẩn số phải tìm (tối đa có 4 ẩn 0 z 0 0 x ,y , ,R ), và dựa vào các điều kiện phụ khác mà mặt cầu (S ) cần thỏa mãn để lập cho đủ số phương trình tương ứng với số ẩn cần tìm. Từ đó tìm được tâm 0 z 0 0 I(x ,y , ) và bán kính R của mặt cầu Ví dụ 1. a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm tại I(1,2,3) và tiếp xúc với mặt phẳng − − =(P):3x 4y 10 0 . b) Viết phương trình mặt cầu (S ) bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng + + + =z(P):2x 2y 3 0 tại điểm M(-3,1,1) Giải I P M a) Bán kính R của mặt cầu (S ) chính bằng khoảng cách từ I tới (P), ta có − − = = + 3 8 10 R 3 9 16 Vậy (S ) có phương trình + + =z(S) : 2 2 2 (x-1) (y- 2) ( - 3) 9 b) Gọi 0 z 0 0 I(x ,y , ) là tâm của mặt cầu. Khi đó MI có véc tơ chỉ phương chính là véc tơ pháp = r n (2,2,1) của (P). Vậy đường thẳng MI có phương trình tham số là  = − +  = +   = +  z x 3 2t y 1 2t 1 t . Ta có tọa độ của I là I(-3 + 2t 0 ,1 + 2t 0 ,1 + t 0 ) Trang 4 Từ đó =  − + −  +  + −  +  + −        2 2 2 2 0 0 0 IM ( 3 2t ) 3 (1 2t ) 1 (1 t ) 1 Hay = + + ⇔ = ± 2 2 2 0 0 0 0 9 4t 4t t t 1 Nếu t 0 = 1, thì tọa độ của tâm I là I(-1,3,2). Lúc này (S ) có phương trình + + + =z(S) : 2 2 2 (x 1) (y- 3) ( - 2) 9 Nếu t 0 = -1, thì tọa độ của tâm I là I(-5,-1,0). Lúc này (S ) có phương trình + + + + =z(S) : 2 2 2 (x 5) (y 1) 9 Ví dụ 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng  =  =   = −  z x t (d): y 0 1 và tiếp xúc với hai mặt phẳng + + = + − + =z 1 2 (P ):3x 4y 3 0 (P ):2x 2y 39 0 Giải Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Vì I thuộc (d), nên tọa độ của I có dạng I(t 0 ,0,-1). Vì (S ) tiếp xúc với (P 1 ) và (P 2 ), nên ta có phương trình sau + + + + + = ⇔ = + + + 2 2 0 0 0 0 3t 3 2t 1 39 9(t 1) 4(t 20) 25 9 9 16 4 4 1  = − ⇔ + + = + + ⇔  = −  2 2 0 0 0 0 0 0 t 191 81(t 2t 1) 100(t 40t 400) t 11 + nếu t 0 = -11, thì I có tọa độ I(-11,0,-1) và bán kính R = 6. Lúc này (S ) có dạng + + + + =z(S) : 2 2 2 (x 11) y ( 1) 36 + nếu t 0 = -191, thì I có tọa độ I(-191,0,-1) và bán kính R = 114. Lúc này (S ) có dạng + + + + =z(S) : 2 2 2 (x 191) y ( 1) 12996 Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng  + + + =  − + − =  z z x y 1 0 (d): x y 1 0 và tiếp xúc với hai mặt phẳng + + + = + + + = z z 1 2 (P ):x 2y 2 3 0 (P ):x 2y 2 7 0 Trang 5 Giải Do (P 1 ) // (P 2 ), nên khoảng cách giữa (P 1 ), (P 2 ) là khoảng cách từ M 1 (-3,0,0) thuộc (P 1 ) xuống (P 2 ), và − + = = + + 2 2 3 7 4 h 3 1 2 2 . Từ đó do (S ) tiếp xúc với (P 1 ), (P 2 ) nên bán kính hình cầu R = 1/2.h = 2/3. Gọi 0 z 0 0 I(x ,y , ) là tâm của (S ). Do I thuộc (d) nên ta có  + + + =  − + − =  0 0 z z 0 0 0 0 x y 1 0 (1) x y 1 0(2) Theo bài ra ta có + + + + + + = = 0 0 z z 0 0 0 0 x 2y 2 3 x 2y 2 7 2 3 9 9   + + + =   + + + = −   + + + = + + + = ⇔   + + + =    + + + = −   0 0 0 0 0 0 z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 2y 2 3 2 x 2y 2 3 2 x 2y 2 3 x 2y 2 7 2 x 2y 2 7 2 x 2y 2 7 2 ⇔ + + + = 0 z 0 0 x 2y 2 5 0 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra x 0 = 3, y 0 = -1, = − 0 z 3 . Vậy mặt cầu (S ) có dạng − + + + + =z(S) : 2 2 2 (x 3) (y 1) ( 3) 4 / 9 Chú ý: ( ) ( ) + + + = + + + ⇔ + + + = + + + 0 0 0 0 z z z z 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x 2y 2 3 x 2y 2 7 x 2y 2 3 x 2y 2 7 ( ) ⇔ + + + = ⇔ + + + = 0 0 z z 0 0 0 0 4 2x 4y 4 10 0 x 2y 2 5 0 . Đây là cách khác thu lại (3) Ví dụ 4. Cho đường thẳng + − = = z y 2 x 1 (d): 3 1 1 và mặt phẳng + − + =z(P ):2x y 2 2 0 a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên (d), tiếp xúc với (P) và có bán kính R = 1 b) Gọi M là giao điểm của (d) với (P), T là tiếp điểm của (S ) với (P). Tính MT Giải Trang 6 a) Viết lại (d) dưới dạng  = +  = − +   =  z x 1 3t (d): y 2 t t . Gọi I là tâm mặt cầu (S ), khi đó tọa độ của I là I(1 + 3t 0 , -2 + t 0 , t 0 ). (S ) tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1, nên ta có phương trình sau để xác định t 0 . + + − − +  = − = ⇔ + = ⇔  = + + −  0 0 0 0 0 2 2 2 0 2(1 3t ) (t 2) 2t 2 t 1 1 5t 2 3 t 1/ 5 2 1 ( 2) Với t 0 = -1 => I 1 có tọa độ là I 1 (-2,-3,-1). Lúc này (S ) có phương trình + + + + + =z(S) 2 2 2 :(x 2) (y 3) ( 1) 1 Với t 0 = 1/5 => I 2 có tọa độ là I 2 (8/5, -9/5, 1/5). Lúc này (S ) có phương trình − + + + − =z(S) 2 2 2 8 9 1 :(x ) (y ) ( ) 1 5 5 5 b) Để xác định tọa độ của M, xét phương trình + + − + − + = ⇔ = − 2 2(1 3t) ( 2 t) 2t 2 0 t 5 Vậy M có tọa độ là M(-1/5, -12/5, -2/5) Để xác định tọa độ của T, ta chỉ xét trường hợp với hình cầu + + + + + =z(S) 2 2 2 :(x 2) (y 3) ( 1) 1 (với hình cầu còn lại làm tương tự). Đường thẳng IT có véc tơ chỉ phương chính là véc tơ pháp = − r n (2,1, 2) của (P), và qua I 1 (-2,-3,-1), nên có phương trình dưới dạng tham số  = − +  = − +   = − −  z 1 x 2 2t I T: y 3 t 1 2t Vậy xét phương trình sau − + + − + − − + = ⇔ = 1 2( 2 2t) ( 3 t) 2( 2t) 2 0 t 3 Vậy tọa độ của T là T(-4/3, -8/3, -5/3) từ đó suy ra = 666 MT 15 Để viết phương trình tiếp diện của mặt cầu, nên đi theo hai hướng sau đây: Trang 7 + Giả sử cho mặt cầu + + =z z(S) 2 2 2 2 0 0 0 :(x- x ) (y- y ) ( - ) R , tâm I bán kính R. Nếu biết tiếp điểm )z 1 1 1 T(x ,y , , thì do tiếp diện đi qua )z 1 1 1 T(x ,y , và nhận véc tơ = − − − uur )z z 1 0 1 0 0 1 IT (x x ,y y , làm véc tơ pháp tuyến, nên phương trình của tiếp diện là − − + − − + − − =) )z z z z 1 0 1 1 0 1 0 1 1 (x x )(x x ) (y y )(y y ) ( ( 0 + Giả sử cho mặt cầu + + =z z(S) 2 2 2 2 0 0 0 :(x- x ) (y- y ) ( - ) R , tâm I bán kính R. Nếu biết véc tơ pháp = r n (A,B,C) của tiếp diện, khi ấy tiếp diện sẽ có dạng + + + =zAx By C D 0 Sau đó dựa vào điều kiện + + + = + + 0 z 0 0 2 2 2 Ax By C D R A B C Suy ra D. Từ đó tiếp diện hoàn toàn xác định. Ví dụ 5. Cho mặt cầu ( ) + + + 2 z z S 2 2 : x y 2x - 4y - 6 + 5 = 0 . Viết phương trình tiếp diện của (S ), biết rằng tiếp diện chứa đường thẳng (d) với  − − =  − =  z 2x y 1 0 (d): 1 0 Giải Vì tiếp diện chứa đường thẳng (d), nên nó thuộc chùm mặt phẳng sau: + =z 2x - y -1 m( -1) 0 hay − + − − =z 2x y m 1 m 0 Viết lại (S ) dưới dạng sau: ( ) + + + =zS 2 2 2 2 :(x 1) (y- 2) ( - 3) 3 Từ đó suy ra (S ) là mặt cầu có tâm I(-1,2,3) và bán kính R = 3. Ta có khoảng cách từ I tới tiếp diện bằng 3, nên đi đến phương trình sau để xác định m − − + − − = ⇔ − = + + + 2 2 2 2 3m 1 m 3 2m 5 3 5 m 4 1 m ⇔ − + = + ⇔ + + = ⇒ = − 2 2 2 4m 20m 25 45 9m m 4m 4 0 m 2 Vậy tiếp diện cần tìm có phương trình − − + =z2x y 2 1 0 Chú ý: 1/ Ta giải thích vì sao phương trình chứa mặt phẳng lại có dạng − − + − =z2x y 1 m( 1) 0 Trang 8 Thật vậy phương trình chùm mặt phẳng chứa (d) có dạng α − − +β − =z(2x y 1) ( 1) 0 với α +β ≠ 2 2 0 Ta thấy rằng α ≠ 0 . Thật vậy nếu α = ⇒ β ≠0 0 , và ta có − =z( 1) 0 . Tuy nhiên − =z( 1) 0 không phải là tiếp diện của (S ). Vậy khoảng cách từ tâm I(-1,2,3) tới mặt phẳng − =z( 1) 0 là − = = 2 3 1 h 2 1 , tức là ≠h R Do α ≠ 0 , nên β α − − +β − = ⇔ − − + − = α z z(2x y 1) ( 1) 0 (2x y 1) ( 1) 0 ⇔ − − + − =z2x y 1 m( 1) 0 2/ Nếu không muốn làm như vậy, thì có thể làm như bình thường Tiếp diện của (S ) thuộc chùm mặt phẳng α − − +β − =z(2x y 1) ( 1) 0 , hay α −α −α +β −β =z2 x y 0 . Theo bài ra ta có phương trình sau để xác định α β, − α − α + β−α −β = ⇔ β− α = α +β α +α +β 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 5 3 5 4 ⇔ β + α − αβ = α + β ⇔ α + αβ+β = 2 2 2 2 2 2 4 25 20 45 9 4 4 0 ⇔ α +β = ⇔ α +β = 2 (2 ) 0 2 0 Cho α = 1 , thì β = −2 . Vậy tiếp diện có dạng − − + =z2x y 2 1 0 . Ta thu lại kết quả đã giải ở trên 3/ Xét bài toán trong đó thay d bằng d’ ( )  − − =  =  z 2x y 1 0 d' : 0 . Tiếp diện (S ) thuộc chùm mặt phẳng sau α − − +β =z(2x y 1) 0 hay α −α −α +β =z2 x y 0 với α +β ≠ 2 2 0 Ta có phương trình sau để xác định α β, − α − α + β−α = ⇔ β − α = α +β α +α +β 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 3 5 4 Trang 9 ⇔ β + α − αβ = α + β ⇔ α + αβ = 2 2 2 2 2 9 25 30 45 9 2 3 0  α = ⇔ α α + β = ⇔  α = − β  0 (2 3 ) 0 2 3 + Nếu α = 0 , khi đó chọn β = 1 . Ta có tiếp diện =z 0 . + Nếu α = β2 3 , khi đó chọn α = 3 , thì β = −2 . Ta có tiếp diện − − − =z6x 3y 2 3 0 Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn yêu cầu đầu bài ! Bây giờ nếu áp dụng “máy móc” cách giải trên Tiếp diện thuộc chùm mặt phẳng sau: − − + =z2x y 1 m 0 hay − + − =z2x y m 1 0 Ta có phương trình sau để xác định m − − + − = ⇔ − = + + + 2 2 2 2 3m 1 3 3m 5 3 m 5 4 1 m ⇔ − + = + ⇒ = − 2 2 2 9m 30m 25 9m 45 m 3 Vậy tiếp diện là − − − =z2x y 2 / 3 1 0 hay − − − =z6x 3y 2 3 0 Giải như thế này ta mất một nghiệm =z 0 , vì sao lại như thế ? Điều này được lí giải như sau: Từ α − − +β =z(2x y 1) 0 , không thể suy ra α ≠ 0 . Vì nếu α = 0 => β = 1 . Ta có tiếp diện =z 0 . Do vậy khi giả thiết α ≠ 0 , là đã mất đi một đáp số Tuy nhiên nếu giải như cách sau thì lại đi đến kết quả đúng: tiếp diện thuộc chùm mặt phẳng sau: − − + =zm(2x y 1) 0 hay − + − =z2mx my m 0 Ta có phương trình sau để xác định m − − + − = ⇔ − = + + + 2 2 2 2m 2m 3 m 3 3 5m 3 5m 1 4m m 1 Trang 10 [...]... − 1) + β z = 0 ta thấy β ≠ 0 Thật vậy nếu β = 0 => α ≠ 0 => 2x - y - 1 = 0 Tuy nhiên 2x - y - 1 = 0 không phải là tiếp diện của mặt cầu (lí do đơn giản, vì khoảng cách từ I ( -1 ,2,3) tới 2x - y - 1 = 0 là h = −2 − 2 − 1 4 +1 = 5 ≠R=3 ) 2 2 2 Ví dụ 6 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2x - 4y - 6z - 2 = 0 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S ) và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y − 12 z + 1. .. Ví dụ 7 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 10 x + 2y + 26z - 11 3 = 0 và hai đường thẳng (d1 ): x + 5 y − 1 z + 13 = = 2 −3 2 (d 2 ): x+ 7 y +1 z − 8 = = 3 −2 0 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S ) và song song với (d1) và (d2) Trang 11 Giải ur u ur u (d1) có véc tơ chỉ phương u1 = (2, −3,2) và (d2) có véc tơ chỉ phương u2 = (3, −2,0) ur uu u r Do hai véc tơ u1 ,u2 không cộng tuyến, mà (d1) và (d2)... 2c- d = 3  d = 0   2 2 2 Vậy mặt cầu (S ) có dạng ( S ) : x + y + z - x - y- z = 0 Mặt cầu này có tồn tại I (1/ 2 , -1 /2 ,1/ 2), tiếp diện (P) với mặt cầu tại A (1, 0,2), nên (P) nhận véc ur u tơ IA = (1 / 2 ,1 / 2,3 / 2) là véc tơ pháp Do (P) chứa A, nên (P) có dạng 1 1 3 (x − 1) + (y − 0) + ( z − 2) = 0 ⇔ x + y + 3 z − 7 = 0 2 2 2 Trang 15 ... D − 51 = 15 4 ⇔   D = 10 3  4x + 6y + 5 z + 205 = 0 Vậy có hai tiếp diện cần tìm   4x + 6y + 5 z − 10 3 = 0 8x − 11 y + 8z − 30 = 0 Ví dụ 8 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):  và tiếp x − y − 2z = 0  2 2 2 xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2x - 6y + 4z - 15 = 0 Giải 2 2 2 Viết lại (S ) dưới dạng ( S ) : (x + 1) + (y- 3) + ( z + 2) = 29 Từ đó suy ra (S ) có tâm là I ( -1 ,3 ,-2 ) và... 4y + 2 z − 10 = 0 , cách giải này làm mất đi nghiệm 2x − 3y + 4 z − 10 = 0 Tương tự nếu viết phương trình chùm dưới dạng m ( 3x − 4y + 2 z − 10 ) + ( 2x − 3y + 4 z − 10 ) = 0 Vậy tiếp diện là 2x − 3y + 4 z − 10 = 0 , cách giải này làm mất đi nghiệm 3x − 4y + 2 z − 10 = 0 Ví dụ 9 Cho 4 điểm A,B,C,D với A (1, 0,2), B (1, 1,0), C(0,0 ,1) và D (1, 1 ,1) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp... (d), nên (P) thuộc vào chùm mặt phẳng α ( 8x − 11 y + 8 z − 30 ) + β ( x − y − 2 z ) = 0 (1) Trang 12 Có thể thấy rằng α ≠ 0 Thật vậy nếu α = 0 , thì do β ≠ 0 (vì α 2 + β2 > 0 ), nên từ (1) suy ra ( x − y − 2z ) = 0 là tiếp diện của (S ) Tuy nhiên vì khoảng cách h từ I ( -1 ,3 ,-2 ) tới mặt phẳng này là h= 1 − 3 + 4 ( 1) 2 + 3 2 + ( −2)2 = 0 ≠ R = 29 Điều vô lí này chứng tỏ giả thi t α = 0 là sai, tức là... 0 hoặc α = 0, β = 1 Ứng với α = 1, β = 0 ta có tiếp diện 3x − 4y + 2 z − 10 = 0 Ứng với α = 0, β = 1 ta có tiếp diện 2x − 3y + 4 z − 10 = 0 Nếu giải bài toán theo dạng phương trình chùm ( 3x − 4y + 2z − 10 ) + m ( 2x − 3y + 4 z − 10 ) = 0 ( 3 + 2m ) x − (4 + 3m)y + (2 + 4m)z − 10 − 10 m = 0 hay Ta có phương trình sau để xác định tham số m Trang 14 −3 − 2m − 12 − 9m − 4 − 8m − 10 − 10 m (3 + 2m)2 + (4... vì thế luôn tồn tại B, C D Dễ thấy   duy nhất hình cầu ngoại tiếp (S ) tứ diện này Giả sử (S ) có dạng ( S ):x 2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , ở đây a 2 + b 2 + c2 > d Do A,B,C,D thuộc (S ), nên ta có hệ 4 phương trình sau để xác định a, b, c, d:  2a + 4c- d = 5  a = 1/ 2    2a + 2b - d = 2 b = 1 / 2 ⇔  2c- d = 1   c = 1/ 2 2a + 2b + 2c- d = 3  d = 0   2 2 2 Vậy mặt cầu (S )... 12 ) làm véc tơ pháp cho tiếp diện Như vậy tiếp diện có dạng 4x + 3y − 12 z + D = 0 2 2 2 2 Mặt cầu (S ) viết lại dưới dạng sau: ( S ) : (x- 1) + (y- 2) + ( z - 3) = 4 Do đó (S ) có tâm I (1, 2,3) và bán kính R = 4 Từ đó suy ra phương trình sau để xác định D 4 + 6 − 36 + D  D= 8 = 4 ⇔ D − 26 = 52 ⇔  4 2 + 32 + ( 12 )2  D = −26  4x + 3y − 12 z − 26 = 0 Vậy có hai tiếp diện phải tìm   4x + 3y − 12 ... 10 = 0 hay    6x − 9y + 12 z − 30 = 0  2x − 3y + 4 z − 10 = 0 Chú ý: o Cách giải trên dựa vào dạng “rút gọn“ của phương trình chùm mặt phẳng o Nếu giải bình thường ta làm như sau: Tiếp diện thuộc vào chùm α ( 8x − 11 y + 8z − 30 ) + β ( x − y − 2 z ) = 0 hay (8α + β)x − (11 α + β)y + (8α − 2β)z − 30 = 0 Ta có phương trình sau đây để xác định α, β −8α − β − 33α − 3β − 16 α + 4β − 30 (8α + β)2 + (11 α . 4c- d 5 a 1/ 2 2a 2b- d 2 b 1/ 2 2c- d 1 c 1/ 2 2a 2b 2c- d 3 d 0 Vậy mặt cầu (S ) có dạng ( ) + + 2 z zS 2 2 : x y - x - y- = 0 Mặt cầu này có tồn tại I (1/ 2 , -1 /2 ,1/ 2), tiếp diện (P) với mặt cầu. 2 2 (x 11 ) y ( 1) 36 + nếu t 0 = -1 91, thì I có tọa độ I ( -1 91, 0 , -1 ) và bán kính R = 11 4. Lúc này (S ) có dạng + + + + =z(S) : 2 2 2 (x 19 1) y ( 1) 12 996 Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu (S. 2t 1 39 9(t 1) 4(t 20) 25 9 9 16 4 4 1  = − ⇔ + + = + + ⇔  = −  2 2 0 0 0 0 0 0 t 19 1 81( t 2t 1) 10 0(t 40t 400) t 11 + nếu t 0 = -1 1, thì I có tọa độ I ( -1 1,0 , -1 ) và bán kính R = 6. Lúc này