Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit Phần Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Nội dung I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ III Phương pháp đoán nghiệm chứng minh tính đắn nghiệm Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Để giải bất phương trình mũ lơgarit học sinh cần phải biết vận dụng thành thạo phép biến đổi hàm số mũ hàm số lôgarit; nắm vững tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số Ngồi cịn phải biết cách biến đổi tương đương dạng bất phương trình bản, bất phương trình chứa thức… Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết Xét bất phương trình mũ dạng af(x) > b (a > 0) ta có kết luận: a) Nếu b ≤ nghiệm bất phương trình ∀x ∈ D, với D tập xác định f(x) b) Nếu b > bất phương trình tương đương với bất phương trình: - f(x) > logab a > - f(x) < logab < a < Xét bất phương trình mũ dạng af(x) < b (a > 0) ta có kết luận: a) Nếu b ≤ bất phương trình vơ nghiệm b) Nếu b > bất phương trình tương đương với bất phương trình - f(x) > logab < a < 1 f(x) < logab a > Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết (tt) Xét bất phương trình lơgarit dạng: logaf(x) > logag(x) (a > 0, a ≠ 1), a) g(x) > bất phương trình tương đương với hệ Nếu a >  f(x) > g(x) f(x) > f(x) < g(x) b) Nếu < a < bất phương trình tương đương với hệ  Sau phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ sau: a) 7.3 x +1 + x +3 ≤ x + + x + b) 2x.3 x −1.5 x −2 > 12 c) x + x +1 + x + + x +3 > x + x +1 + x +2 d) 2x > x −1 Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) Bài giải a) Chia hai vế bất phương trình cho 5x > ta được: x x x −x 5 3 3 3 5 21  ÷ + 125 ≤ 81  ÷ + 25 ⇔  ÷ ≥ ⇔  ÷ ≥ ⇔ x ≤ −1 3 5 5 5 3 VËy tËp nghiệm bất phư ơng trỡnh S = ( −∞ ; − 1] b) Bất phương trình viết dạng: (2.3.5)x > 900 ⇔ 30x > 900 ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (2 ; + ∞) Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) c) Bất phương trình biến đổi thành: ( ) ( x + + 52 + 53 > x + + ) x 54 − − 156 156 7 ⇔ ÷ < = ⇔ x < log − − 57 57 5  156  VËy tËp nghiƯm cđa bất phư ơng trỡnh S = ; log ÷ 57   Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) d) Lôgarit số hai vế bất phương trình ta được: x2 > (x – 1)log23 ⇔ x2 – xlog23 + log23 > (*) Bất phương trình (*) có ∆ = (log23)2 – 4log23 = log23(log23 – 4) < (Vì log23 > log23 – < 0) nên BPT (*) với giá trị x Vậy tập nghiệm bất phương trình ∀x ∈ R Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ 2: Giải bất phương trình lơgarit sau: 2x − a) log5 >0 2x − c) log > log ( − x ) x +1 35 − x b) log >− x ( d) log ( x + ) > log x + 4 ) Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ 4: Tìm giá trị x thoả mãn: log2x+3 x2 < log2x+3 (2x + 3) Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) Bài giải x ≠  x ≠ 0;x ≠ −1   ÐiỊu kiƯn 2x + > ⇔  x>− 2x + ≠    Xét 2x + > 1, ®ã bất phư ơng trỡnh tư ơng đư ơng với hệ : 2x + >  x > −1, x ≠ x ≠ ⇔ ⇔ (1)  −1 < x <  0 < x < 2x +  x − 2x − < Xét < 2x + < 1, bất phư ơng trỡnh đà cho tư ¬ng ®­ ¬ng v íi hƯ :  x > 2x +  0 < 2x + < ( *) Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) x > Víi x > 2x + ⇔ x − 2x − > ⇔   x < −1  x < −1  Víi < 2x + < ⇔  ⇔ − < x < −1 x>−   VËy tõ hÖ ( * ) suy − < x < −1 ( ) Từ ( ) , ( ) điều kiƯn suy tËp nghiƯm cđa bÊt ph­ ¬ng trình lµ :   S =  − ; − 1÷∪ ( −1; ) ∪ ( 0; )   Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hoá mũ hoá (tt) 2x −   Giải bất phư ơng trỡnh: log x + log2 Ví dụ 5: ÷< x+3   Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) Bài giải a) Xét tr ­ êng hỵp x+4 > ⇔ x > −2 Khi bất phư ơng trỡnh đà cho tư ¬ng ®­ ¬ng víi < log2 2x − 0     >1 −1> >0  x+3  x+3 x +    Kết hợp với điều kiện x > –2 suy trường hợp nghiệm bất phương trình x > Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ (tt) b) XÐt tr ­ êng hỵp < x+4 < ⇔ −4 < x < −2 Khi ®ã bất phư ơng trỡnh đà cho tư ơng đư ơng với : log2 M ũ hoá số hai vế ta đư ợc : 2x >1 x+3 2x − −7 >2 ⇔ > ⇔ x + < ⇔ x < −3 x+3 x+3 Kết hợp với điều kiện suy nghiệm bất phương trình trường hợp –4 < x < –3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (–4 ; –3) ∪ (4 ; +∞) Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải bất phương trình: ( ) a) log3 x + + log 4x +1 > ( b) 26 + 15 ( ) x ( ) +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x v µ log 4x +1 = ( ) t Do bất phư ơng trỡnh đà cho trë thµnh : t > t + > ⇔ 2t − 5t + > ⇔  t < t  ( ) Víi t > ta suy log3 x + > ⇔ x + > = ⇔ x > ⇔ 22x > 23 ⇔ 2x > ⇔ x > Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ (tt) a) (tt) V íi t < 1 suy log3 x + < 2 ( ) ⇔ 4x + < ⇔ 4x < − ⇔ x < log4 ( ) −1 VËy tập nghiệm bất phư ơng trỡnh : ( S = −∞ ; log4 ( )) 3  −1 ∪  ; + ∞÷ 2  Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Vớ d (tt) ( b) Đặt + ) x ( = t > − ( ) ( ) =t ( 26 + 15 ) = ( + ) = t 7+4 x = 2+ 2x x ) x = t 3x VËy bÊt ph­ ¬ng trỡnh đà cho trở thành : t + 2t − < hay t + 2t − t − < t ( ) ⇔ ( t + ) ( t − 1) t + t + < ( )  1 Do t + t + =  t + ÷ + > nê n ( ) tư ơng đư ơng với :  2 ( t + ) ( t − 1) < ⇔ −2 < t < Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ (tt) b) (tt) KÕt hợp với điều kiện t > ta đư ợc < t < ( Tõ ®ã suy < + ) x < hay x < VËy nghiƯm cđa bÊt ph­ ¬ng trình ®· cho lµ : x < Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ 7: Giải bất phương trình + x +1 10 + 1) ≥ lg + lg x lg3 a) x ≤ 3.2 b) lg ( 9lg x x +x Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ (tt) Bài gii a) Điều kiện x Bất phư ơng trỡnh đư ợc viết dạng : 22x 3.2 x +x + 22 x +2 ⇔ 4.22 x + 3.2 x +x − 22x ≥ Chia hai vÕ cđa bÊt ph­ ¬ng trình cho 2 + 3.2x x Đặt t = 2x x ( x− x ) ≥0⇔2 ( x− x ) − 3.2x − x x > ta ®­ ỵc: −4≤0 > bÊt ph­ ¬ng trình tr ª n trë thµnh : t − 3t − ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ Do t > nê n ta đư ợc: < t ≤ hay x − ⇔ 2x − x x ≤4 ≤ 22 ⇔ x − x ≤ ⇔ x − x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy nghiệm bất phư ơng trỡnh đà cho lµ ≤ x ≤ Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ (tt) b) ÐiỊu kiƯn x > BÊt phư ơng trỡnh đư ợc viết v ề dạng : lg ( 9lg x + 1) ≥ − lg3 + lg x.lg3 ⇔ lg ( 9lg x + 1) − ≥ lg3 ( lg x − 1) 9lg x + ⇔ lg ≥ lg3 ( lg x 1) 10 M ũ hoá với số 10 hai vế bất phư ơng trỡnh ta đư ợc : lg x −1) 9lg x + lg x −1) lg3 ( ≥ ( 10 ) = 3( 10 ⇔ 32 lg x + ≥ 10.3( lg x −1) ⇔ 3.32 lg x − 10.3lg x + ≥ Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 II Phương pháp biến đổi đặt ẩn phụ (tt) Ví dụ (tt) b) (tt) éặt t = 3lg x thỡ t > bất phư ơng trỡnh tr ê n trở thành : t ≥ 3.t − 10t + ≥ ⇔  0 < t ≤  Víi t ≥ ta cã 3lg x ≥ ⇔ lg x ≥ ⇔ x ≥ 10 V íi < t ≤ 1 suy < 3lg x ≤ −1 ⇔ lgx ≤ −1 ⇔ < x ≤ 10 1  VËy nghiệm bất phư ơng trỡnh S = ;  ∪ [ 10 ; + ∞ )  10  ... Sau phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ. .. phải biết cách biến đổi tương đương dạng bất phương trình bản, bất phương trình chứa thức… Các phương pháp giải bất phương trình mũ lơgarit – P1 Tóm tắt lý thuyết Xét bất phương trình mũ dạng af(x)... Vậy tập nghiệm bất phương trình ∀x ∈ R Các phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit – P1 I Phương pháp biến đổi chuyển số sau lơgarit hố mũ hố (tt) Ví dụ 2: Giải bất phương trình lơgarit