PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1. Bất đẳng thức CauChy: a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥a ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b b) Cho 3 a+b+c 0, b 0, c 0 3 ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c c) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a 2. Ví dụ: 1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng: a) 2+ ≥ a b b a b) ( ) ( ) 1 4+ + ≥a b ab ab 2) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc với a, b, c không âm. 3) Chứng minh: 3 9 4 2 3 4 9+ + ≥a b c abc 4) Chứng minh: + + ≥ + + xy yz zx x y z z x y với x, y, z > 0 5) Chứng minh: a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b với a, b, c > 0 b) 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c b c c a a b 3. Bài tập: 1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: a) ( ) 1 1 4   + + ≥  ÷   a b a b b) ( ) 1 1 1 9   + + + + ≥  ÷   a b c a b c c) 2 2 2 + + ≥ + +a b c ab bc ca d) ( ) ( ) 2 2 2 9+ + + + ≥a b c a b c abc e) + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c f) 4 4 4 9 2 2 2 + + ≥ + + + + + + + +a b c a b c a b c a b c g) 1 1 1 + + ≥ + + a b c bc ca ab a b c 2) Cho 1 2 , , , n a a a là các số thực dương thoả 1 2 . 1= n a a a . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2+ + + ≥ n n a a a 3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + x y z x y z y z x y z x 4) Chứng minh: 1 ! ; n N 2 + > ∈ n n n 5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 8 . 729 x y y z z x xyz+ + + ≤ 6) Cho 1; b 1≥ ≥a Chứng minh rằng: 1 1− + − ≤a b b a ab 7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 6+ + + + + ≤a b b c c a 8) Chứng minh ( ) ( ) ( ) 8+ + + ≥x y y z z x xyz với x, y, z > 0 9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh 1 1 1 3 2 2 2 + + +       + + ≥  ÷  ÷  ÷       n n n x y z 10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx 11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + a b c a b c 12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 2 4 4 8 3 3 2 − + + ≥ a a 13) Cho , , 0x y z > và thỏa 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 18 2 xyz xy yz zx xyz + + > + 14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 + + + ≥ + + + a b c d b c d a a b c d 15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 + + ≥ + +x y z x y z 16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3 3 2 3 17 18+ ≥x y xy 17) Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 4 3 6 1 4 + + − − ≤ + + + a b c d a b c d với 5, 4, 3, 6a b c d> − > − > > 18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2   + + + + ≥ + +  ÷ + + +   a b c a b c a b b c c a 19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1 1 1 8      + + + ≥  ÷ ÷ ÷      x y z y z x 20) Chứng minh 2 2 3 2 2 x x x + ≥ ∀ ∈ + ¡ 21) Chứng minh 8 6 >1 1 x x x + ≥ ∀ − 22) Cho n số 1 2 , , , n a a a không âm thoả 1 2 1+ + + = n a a a . Chứng minh 1 2 1 3 1 1 . . . 2 − − + + + ≤ n n n a a a a a a 23) Chứng minh + 1 1 , 2 n n n n n < + ∀ ∈ ≥¢ 24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 64       + + + ≥  ÷ ÷ ÷       x y z 25) Cho 0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z và 1 1 1 1 1 1 1x y z + + ≥ + + + . Chứng minh 1 8 ≤xyz 26) Chứng minh: 1 1 1 1 1 ; 1 n n n n n +     + ≤ + ∀ ∈  ÷  ÷ +     ¥ 27) Chứng minh ( ) + 1.3.5 2 1 n n n n− < ∀ ∈¢ 28) Cho 2 2 1+ =x y Chứng minh 2 2− ≤ + ≤x y 29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa 3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x . Chứng minh 2 3 4 2 3 2 2 6 4 6 − + − + − + + ≤ xy z yz x zx y xyz 30) Cho ( ) ( ) ( ) 4 5= + −f x x x với 4 5 − ≤ ≤ x . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN 31) Tìm GTNN của các hàm số sau: a) 3 ( ) = +f x x x với x > 0 b) 1 ( ) 1 = + − f x x x với x > 1 32) Cho 0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x . Tìm GTLN của ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3= − − +A y x y x 33) Tìm GTLN của biểu thức: 2 3 4− + − + − = ab c bc a ca b F abc với 3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a 34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của 1 1 1 = + + + + + x y z P x y z (ĐHNT-1999) 35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + bc ca ab P a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000) 36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , , 0a b c > : 1. 5 5 5 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 2. 5 5 5 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 3. 5 5 5 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + 4. 4 4 4 2 2 2 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + 5. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + 6. 3 3 3 2 2 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b + + ≥ + + + + + 7. 3 3 3 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b b c b c c a c a a b + + ≥ + + + + + + + + 37) Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + (ĐH 2005) 38) Cho , ,x y z là các số dương. Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3 1 ( ) 2 x y z x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + (ĐH 2006) 39) Giả sử ,x y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5 4 x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức 4 1 4 S x y = + (ĐH 2002) 40) Cho , ,x y z là các số dương và 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (ĐH 2003) 41) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + (ĐH 2005) 42) Chứng minh rằng với mọi x ∈ ¡ thì 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       (ĐH 2005) 43) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1xyz = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + ≥ (ĐH 2005) 44) Chứng minh rằng với mọi , 0x y > thì 2 9 (1 ) 1 1 256 y x x y     + + + ≥  ÷  ÷  ÷     (ĐH 2005) 45) Cho , ,x y z thỏa mãn 0x y z+ + = . Chứng minh 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ (ĐH 2005) 46) Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn 3 4 a b c+ + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ (ĐH 2005) 47) Cho , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1 x y z− − − + + = . Chứng minh 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z y x z z x y+ + + + + + + ≥ + + + (ĐH 2006) 48) Tìm GTNN của hàm số 2 11 7 4 1 ( 0) 2 y x x x x   = + + + >  ÷   (ĐH 2006) 49) Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn điều kiện 4x y+ ≥ . Tìm GTNN của biểu thức 2 3 2 3 4 2 4 x y A x y + + = + (ĐH 2006) 50) Ba số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 3 a b c + + = . Chứng minh rằng: (1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥ (ĐH 2001) 51) Giả sử x và y là hai số dương và 1x y+ = . Tìm GTNN của 1 1 x y P x y = + − − (ĐH 2001) 52) Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thỏa mãn 2 2 ( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm GTLN của biểu thức 3 3 1 1 A x y = + (ĐH 2006) 53) Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì 1 4 x y y x− ≤ (ĐH 2006) . PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY 1. Bất đẳng thức CauChy: a) Cho a+b 0, b 0 2 ≥ ≥ ⇒ ≥a ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b b) Cho 3 a+b+c 0, b 0, c 0 3 ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc . Đẳng thức. dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + bc ca ab P a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000) 36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , , 0a b c > : 1. 5. chỉ khi a= b = c c) Cho 1 2 n 1 2 1 2 a +a + +a 0, 0, , 0 . n ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ n n n a a a a a a . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 = = = n a a a 2. Ví dụ: 1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh