Giáo viên Trường THPT Kim Thành II Các bài tập liên quan đến tiệm cận Bài toán tổng quát dcx bax y + + = (C) 1. Tìm tạo độ điểm M trêm (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất Cách làm -Gọi M(x 0 ,y 0 = dcx bax + + 0 0 ) - Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. - Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng - Tổng d=d(M,tcn)+d(M,tcd) và áp dụng BĐT cô si ba + ≥ 2 ab dấu bằng xẩy ra khi a=b. 2. Chứng minh rằng giao điểm tiệm cận là tâm đối xứng của dồ thị Cách làm - Tìm tiệm cận đứng. - Tìm tiệm cận ngang. - Suy ra giao điểm I(x I ,y I ) hai tiệm cận - Dùng phép tịnh tiến chuyển trục OXY thành trục IXY theo phép tịnh tiến véctơ OI bằng cách    += += Yyy Xxx I I - Khi đó ta Y=F(X) - Nếu F(-X)=-F(X) thì I là tâm đối xứng. 3. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M để tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM Cách làm - Tìm tiệm cận đứng. - Tìm tiệm cận ngang. - Suy ra giao điểm I. - Goi M(x 0 ,y 0 ) - Viết pt dt IM 1 0 0 0 0 k xx yy xx yy m m = − − = − − - Tính f’(x 0 )=k2 - viết pt tiếp tuyến tại M 1 Giáo viên Trường THPT Kim Thành II - y-y 0 =f’(x 0 )(x-x 0 ). - Để IM vuông góc với tt thì k1.k2=-1. 4. Tìm toạ độ điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bàng nhau Cách làm -Gọi M(x 0 ,y 0 = dcx bax + + 0 0 ) - Tìm tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. - Tìm tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng - d(M,tcn)=d(M,tcd) 5. Tìm khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến đường thẳng ∆ : ax+by+c=0 Cách làm - Tìm tiệm cận đứng. - Tìm tiệm cận ngang. - Suy ra giao điểm I. - Tính d(I, ∆ ). 6. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận, chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị đến các đường tiệm cận của nó là một hằng số. Cách làm -Gọi M(x 0 ,y 0 = dcx bax + + 0 0 ) - Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d(M,tcn). - Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d(M,tcđ). - d(M,tcn).d(M,tcđ)=const. 7. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), tiếp tuyến tại M của (C) cắt tiệm cận tại A,B. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi. Cách làm 2 Giáo viên Trường THPT Kim Thành II - Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại M. - Tìm giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng. - Tìm giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang. - Tính tạo độ trung bình của điểm A,B. - Tính diện tích tam giác S IAB∆ = 2 1 IA.IB. 8. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào tại M của (C) đi qua I. Cách làm - Tìm tiệm cận đứng. - Tìm tiệm cận ngang. - Suy ra giao điểm I. - Viết pt tiếp tuyến tại M. - Thay toạ độ điểm I vào pttt sau đó giải pt với ẩn là x 0 thấy vô nghiệm thì ta kết luận được. 9. Tính khoảng cách từ một M(x M ,y M ) điểm đến tiệm cận đứng (x-x 0 =0) hoặc ngang (y-y 0 =0). Cách làm - Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d(M,tcn)= 0 yy M − . - Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d(M,tcđ)= 0 xx M − . 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho tam giác IAB cân, với I là giao điểm của hai tiệm cận đó. Cách làm Cách 1. - Tính f’(x 0 ). - Do tam giác IAB cân tại I khi đó hệ số góc của tiếp tuyến f’(x 0 )=-1(1). Giải pt (1) ta tìm được x 0 . - Suy ra điểm M(x 0 ,y 0 ) viết pt tiếp tuyến tai M. Cách 2 - Ta xác định điểm A,B,I và sử dụng điều kiện IA=IB. 3 . THPT Kim Thành II Các bài tập liên quan đến tiệm cận Bài toán tổng quát dcx bax y + + = (C) 1. Tìm tạo độ điểm M trêm (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất Cách làm -Gọi. khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bàng nhau Cách làm -Gọi M(x 0 ,y 0 = dcx bax + + 0 0 ) - Tìm tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. - Tìm tiệm cận đứng và tính khoảng cách. M(x 0 ,y 0 = dcx bax + + 0 0 ) - Tìm đường tiệm cận ngang và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. - Tìm đường tiệm cận đứng và tính khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng - Tổng d=d(M,tcn)+d(M,tcd)