Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân
Chươngư3:ưTíchưphânưbộiư2 (ưtíchưphânưhàmưnhiềuưbiến)ư 3.1 Tích phân bội 3.1.1 Khái niệm: a) Định nghĩa:ưf(x;y)ưxácưđịnhưtrênưD:ưđóngưvàưbịư chặn.ư Si (i n) M i (x i ; yi ) Si (i 1 n) di;d=max{d i} n I n f (x i ; yi )Si i 1 hh I f (x; y)dS Lim I n f (x; y) kt / D D n Chóý: I f (x; y)dS f (x; y) dxdy D ýnghÜah×nhhäc: D V f (x; y) dxdy D b) Điều kiện khả tích: 3.1.2.ưTínhưchấtưcủaưtíchưphânưbộiư2:ư a) f (x; y) g(x; y) dxdy f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy D b) D D kf (x; y)dxdy k.f (x; y)dxdy (k const) D D c) D D1 D ; D1 D : f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy D d) D1 D2 f (x; y) g(x; y) (x; y) D : f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy D e) (x o ; y o ) D : f (x; y)dxdy f (x o ; y o ).S(D) D D 3.2.ưCáchưtínhưtíchưphânưbộiư2ưtrongưhệưtoạưđộư Đềưcác:ư 3.2.1.ưMiềnưlấyưtíchưphânưDư=ư[a;ưb]ưxư[c;ưd];ư f(x;y)ưliênưtụcưtrênưD b d b d f (x; y)dy dx f (x; y)dx dy Df (x; y)dxdy a c c a VÝdơ:TÝnhtÝchph©n: 2 2 2 dxdy dy I dx ( ) dx 2 (x y) (x y) xy 1 1 1 2 x 1 ln dx ln x 1 x x2 1 (3.1) 3.2.2.MiềnưDưbịưchặnưbấtưkỳ: * D (x; y) : a x b; y1 (x) y y (x) y2 (x ) f (x; y)dy dx Df (x; y) dxdy a y1 (x ) * D (x; y) : c y d; x1 (y) x x (y) b x ( y) f (x; y)dx dy Df (x; y) dxdy c x1 ( y) (3.2) d (3.3) VÝdô1:TÝnh I (x y )dx dy D VớiưDưlàưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởi: a) x 1;0 y 1 b) x 1;0 y x c) y 1;0 x y Gi¶i: a) 1 y 2 I dx (x y )dy (x y ) dx 0 1 x x (x )dx ( ) 3 3 b) x y x I dx ( x y )dy x y dx ( x )dx 0 0 0 x2 x x 26 105 Víưdụ:ư(tiếp) c)ưTươngưtựưnhưưcâuưb: y2 26 I dy (x y )dy 105 0 * Chú ý: 3.2.3.ưĐổiưbiếnưsốưtrongưtíchưphânưbộiư2 a)ưĐổiưbiếnưsốưtrongưhệưtoạưđộưĐềưcác: I f (x;y)dx dy; f lt / D D x x(u; v) g: ; y y(u; v) g : D' D (u; v) (x;y) J x y ' u ' u x y ' v ' v 0 / D' I f[x(u; v);y(u; v)] J dudv D' (3.4) VÝdơ:TÝnhtÝchph©n I ( x y )dxdy D VớiưDưgiớiưưhạnưbởiưcácưđườngư yư=ư-x;ưyư=ư-xư+3;ưyư=ư2xư-1;ưyư=2x+1 Đặtưuư=x+ưy;ưvư=ư-2xư+yưnên Dư=ư[0;3]ưxư[ư-1;ư2]ưvàưJư=ư1/3 Vậy: 1 I ( x y )dxdy udu dv 30 D b)ưĐổiưbiếnưsốưtrongưtoạưđộưcực x r cos ; r 0;0 2 x r sin I f (x;y) dx dy f (r cos ;r sin )rdrd D VD : I D /2 0 D' dx dy x2 y rdrd 1r (3.5) /2 2 ; D ( x ; y ) : x ; y ; x y 1 d 0 rdr ( 1) 2 1r 3.3.øngdơngcđatÝchph©nbéi2: a)TÝnhthĨtÝchvËtthĨ: V f (x;y)dx dy (3.6) D Víưdụư:ưThểưtíchưvậtưthểưgiớiưhạnưbởiưx=ư0;ưyư=0;ưzư=0,ư xư+ưyư=1ưvàưzư=ưx2ư+ưxyư+ư1 Giải:ưV (x xy 1)dx dy;D (x;y) : x 0;y 0;x y 1 D 1 x dx (x xy 1)dy x3 x dx 2 S dx dy b)ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳng: (3.7) D Víưdụư1:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiư cácưđườngưyư=ưxưvàưyư=ư2ưx2 Giải: D (x;y) : x 1;x y 2 x 2 x2 S dx dy dx dy (2 x x)dx y x 2 Víưdụư2:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiưđư ờngưLemưưnixưưcat:ư (x2+ưy2)2ưư=ư2a2ư(x2ưưy2)ư(1) Giải:ưchuyểnưsangưtoạưđộưcực:ưư r 2a 2cos2;D (x;y) : ; r a 2cos a 2cos S 4 d rdr a / c)TÝnhdiƯntÝchmỈt: S (f x' )2 (f y' )2 dx dy (3.8) D Víưdụ:ưTínhưdiệnưtíchưmặtưcủaưphầnưmặtưParabolôitư trònưxoayưzư=ưx2ư+ưy2ưđượcưchứaưtrongưhìnhưtrụư x2ư+ưy2ưư=ư1 Giải:ưưD (x;y) : x y 1 ; z f (x;y) x y ;f x' 2x;f y' 2y Khiưđóưchuyểnưsangưtoạưđộưcực:ư 2 S 4(x y )dx dy d D 0 4r rdr (5 1) ... y rdrd 1r (3.5 ) /2 2 ; D ( x ; y ) : x ; y ; x y 1 d 0 rdr ( 1) 2 1r 3.3 .øngdơngcđatÝchph©nbéi2: a)TÝnhthĨtÝchvËtthĨ: V f (x;y)dx dy (3.6 ) D Víưdụư:ưThểưtíchưvậtưthểưgiớiưhạnưbởiưx=ư0;ưyư=0;ưzư=0,ư... I dx ( ) dx 2 (x y) (x y) xy 1 1 1 2 x 1 ln dx ln x 1 x x2 (3.1 ) 3.2 .2.MiềnưDưbịưchặnưbấtưkỳ: * D (x; y) : a x b; y1 (x) y y (x) y2 (x ) f (x;... d; x1 (y) x x (y) b x ( y) f (x; y)dx dy Df (x; y) dxdy c x1 ( y) (3.2 ) d (3.3 ) VÝdô1:TÝnh I (x y )dx dy D VớiưDưlàưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởi: a) x 1;0 y 1 b) x