Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét Bài tập : Định giá trị tham số m để phơng trình x + m(m + 1) x + 5m + 20 = Cã mét nghiÖm x = - Tìm nghiệm Bài tập : Cho phơng trình (1) x + mx + = a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phơng trình (1) x2 − 8x + m + = a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phơng trình trờng hợp Bài tập : Cho phơng trình (1) (m 4) x − 2mx + m − = a) m = ? (1) có nghiệm x = b) m = ? th× (1) cã nghiệm kép Bài tập : Cho phơng trình (1) x − 2(m + 1) x + m − = a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m b) m =? th× (1) cã hai nghiệm trái dấu c) Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) CMR : M = ( − x2 ) x1 + ( − x1 ) x2 không phụ thuộc m Bài tập : Cho phơng trình (1) x 2(m 1) x + m − = a) Chøng minh (1) có nghiệm với m b) Đặt M = x12 + x2 ( x1 , x2 lµ nghiệm phơng trình (1)) Tìm M Bài tập 7: Cho phơng trình x + ax + b − = 0(1); x + bx + c − = 0(2); x + cx + a − = 0(3) Chøng minh r»ng phơng trình phơng trình có nghiệm Bài tập 8: Cho phơng trình (1) x ( a − 1) x − a + a − = a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm trái dấuvới a b) x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) Tìm B = x12 + x2 Bài tập 9: Cho phơng trình (1) x − 2(a − 1) x + 2a − = a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi a b) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x1 < < x2 c) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x12 + x2 = Bài tập 10: Cho phơng trình (1) x + (2m − 1) x + m − = a) m = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x1 − x2 = 11 b) Chøng minh (1) hai nghiệm dơng c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m Chuyên đề: Phơng trình bậc hai Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý Bài tập 11: Cho hai phơng trình x (2m + n) x − 3m = 0(1) x − ( m + 3n) x − = 0(2) T×m m n để (1) (2) tơng đơng Bài tập 12: Cho phơng trình (1) điều kiện cần đủ để phơng trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm ax + bx + c = 0( a ≠ 0) kb − (k + 1) ac = 0(k ≠ 0) Bµi tËp 13: Cho phơng trình (1) a) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n x1 − x2 = c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 14: Cho phơng trình (1) x − (2m + 3) x + m + 3m + = a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với m b) Tìm m ®Ĩ phong tr×nh cã hai nghiƯm ®èi c) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 15: Cho phơng trình (1) (m − 2) x + 2(m − 4) x + (m − 4)(m + 2) = a) Víi gi¸ trị m phơng trình (1) có nghiệm kép b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức x1 , x2 ®éc lËp víi m mx + 2(m − 4) x + m + = c) TÝnh theo m biểu thức A = d) Tìm m để A = 1 + ; x1 + x2 + Bài tập 16: Cho phơng trình (1) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mäi x − mx − = b) Tìm giá trị lớn biểu thức A = 2( x1 + x2 ) + x12 + x2 c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình nghiệm nguyên Bài tập 17: Với giá trị k phơng trình x + kx + = có hai nghiệm đơn vị Bài tập 18: Cho phơng trình (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm Bài tập 19: Cho phơng trình (1) x ( m + 1) x + m = a) CMR phơng rình (1) có nghiệm phân biệt với m b) Gäi x1 , x2 lµ hai nghiƯm phơng trình Tính x12 + x2 theo m x − ( m + 2) x + m + = GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x12 + x2 = Bài tập 20: Cho phơng tr×nh (1) x + (2m + 1) x + m + 3m = a) Giải phơng trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm Bài tập 21: Cho phơng trình (1) x 12 x + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 toả mÃn x2 = x12 Bài tập 22: Cho phơng trình (1) (m 2) x 2mx + = a) Giải phơng trình với m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn ( + x1 ) ( + x2 ) = Bài tập 23: Cho phơng trình (1) x − 2(m − 1) x + m = a) Giải phơng trình với m = b) CMR phơng trình (1) có hai nghiêm phân biệt với m c) Tính A = 1 + theo m x13 x2 d) T×m m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối Bài tập 24: Cho phơng trình (1) (m 2) x − 2mx + m − = a) Tìm m để phơng trình (1) phơng trình bậc hai b) Giải phơng trình m = c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phơng trình (1) x + px + q = ( ) a) Giải phơng trình p = − + ; q = 3 b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiÖm : x1 = −2, x2 = c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiƯm d¬ng x1 , x2 phơng trình qx + px + = cã hai nghiƯm d¬ng x3 , x4 d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1va3x2 ; Bài tập 26: Cho phơng trình 1 x x ; vµ 2 vµ x1 x2 x2 x1 (1) a) CMR phơng trình (1) có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn : x1 − x2 = ; c) T×m m để x12 + x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 27: Cho phơng trình (1) x − 2(m + 1) x + 2m + 10 = a) Giải phơng trình với m = -6 b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiƯm x1 , x2 T×m GTNN cđa biĨu thøc x − (2m − 1) x − m = A = x12 + x2 + 10 x1 x2 Bài tập 28: Cho phơng trình GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai (1) (m + 1) x − (2m − 3) x + m + = a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để (1) có hai nghiƯm x1 , x2 H·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiệm Bài tập 29: Cho phơng trình (1) x − 2(m − 2) x + ( m + 2m 3) = Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thoả mÃn Bài tập 30: Cho phơng trình 1 x1 + x2 + = x1 x2 cã m = 16n CMR hai nghiệm phơng trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 31 : Gọi x1 , x2 nghiệm phơng trình x x = Không giải phơng trình , x + mx + n = h·y tÝnh : a) 1 + ; x1 x2 b) ( x1 − x2 ) ; c) x3 +x3 d) x1 x2 Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có nghiệm : a) ; b) - vµ + Bài tập 33 : CMR tồn phơng trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm : a) ; 3+ b) 2+ ; 2− c) 2+ Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có nghiệm : a) Bình phơng nghiệm phơng trình x x = ; b) Nghịch đảo nghiệm phơng trình x + mx = Bài tập 34 : Xác định số m n cho nghiệm phơng trình x + mx + n = cịng lµ m n Bài tập 35: Cho phơng trình (1) x − 2mx + (m − 1)3 = a) Giải phơng trình (1) m = -1 b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , nghiệm bình phuơng nghiệm lại Bài tập 36: Cho phơng trình (1) x2 − 5x + = x2 + x2 x1 ( Víi x1 , x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình) Tính x1 Bài tập 37: Cho phơng trình (1) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; ) b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n x12 − x2 = (2m − 1) x − 2mx + = Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k tham số) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm Bµi tËp 39: Tìm giá rị a để ptrình : (a − a − 3) x + ( a + ) x − 3a = NhËn x=2 nghiệm Tìm nghiệm lại ptrình ? Bài tập 40 Xác định giá trị m phơng trình bậc hai : GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai x2 8x + m = để + nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc , phơng trình đà cho nghiệm Tìm nghiệm lại ấy? Bài tập 41: Cho phơng trình : x − 2(m + 1) x + m − = (1) , (m tham số) 1) Giải phơng trình (1) với m = -5 2) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt m 3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1) nói phần 2/ ) Bài tập 42: Cho phng trỡnh Giải phương trình b= -3 c=2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bµi tËp 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x x2 - x1 - x2 đạt giá tr nh nht Bài tập 44: Cho phơng trình ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = 1) Giải phơng trình với m = 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2 – =0 (1) 1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối 2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là: x1 = 3+ vµ x = 3−      +  1) TÝnh : P =       3+  3−  Bài tập 47: Tìm m để phơng trình : x − x − x − + m = có hai nghiệm phân biệt Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau : x (2m − 3) x + = x2 + x + m − = ( x ẩn , m tham số ) Tìm m để hai phơng trình đà cho có nghiệm chung Bài tập 49: Cho phơng trình : x − 2(m + 1) x + m − = víi x lµ Èn , m lµ tham số cho trớc 1) Giải phơng trình đà cho kho m = GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai 2) Tìm m để phơng trình đà cho có hai nghiệm dơng x1 , x2 phân biệt thoả mÃn điều kiện x12 x2 = Bài tập 50: Cho phơng trình : ( m + ) x + ( − 2m ) x + m − = ( x ẩn ; m tham số ) 1) Giải phơng trình m = - 2) CMR phơng trình đà cho có nghiệm với m 3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 52: Cho phơng tr×nh x2 + x – = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức : P = x18 + 10 x1 + 13 + x1 Bµi tËp 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép Bài tập 54: Cho phơng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với m 2 b) Tìm m ®Ĩ nghiƯm x1 , x2 cđa (1) tho¶ m·n : x1 + x2 = 14 Bµi tËp 55: a) Cho a = 11 + , b = 11 − CMR a, ,b lµ hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyªn b) Cho c = + 10, d = − 10 CMR c , d hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyên Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai : x + 2(m + 1) x + m + m + = (x ẩn, m tham số) 1) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả m·n : x1 + x2 = 3) T×m tất giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y = x + 2(m + 1) x + m + m + chứa đoạn [ 2;3] Bài tập 57:Cho phơng trình : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có nghiệm bình phơng nghiệm Bài tập 58: Cho phơng trình : x + x + 6a a = 1) Với giá trị a phơng trình có nghiệm 2) Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình HÃy tìm giá trị a cho x2 = x13 x1 Bài tập 59: Cho phơng trình : mx2 -5x – ( m + 5) = (1) m tham số, x ẩn GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai a) Giải phơng trình m = b) Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm với m c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 , h·y tÝnh theo m giá trị biểu thức B = 10 x1 x2 − 3( x12 + x2 ) T×m m để B = Bài tập 60: a) Cho phơng trình : x 2mx + m2 = ( m lµ tham sè ,x lµ ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện 2000 < x1 < x2 < 2007 b) Cho a, b, c, d ∈ R CMR phơng trình sau có nghiÖm ax + 2bx + c = 0; bx + 2cx + d = 0; cx + 2dx + a = 0; dx + 2ax + b = 0; Bµi tËp 61: 1) Cho a, b , c, số dơng thoả mÃn đẳng thức a + b − ab = c CMR phơng trình x x + (a − c)(b − c) = cã hai nghiÖm phân biệt 2) Cho phơng trình x x + p = cã hai nghiƯm d¬ng x1 , x2 Xác định giá trị p x14 + x2 x15 x2 đạt giá trị lớn Bài tập 62: Cho phơng trình : (m + ) x2 – ( 2m + ) x +2 = , víi m lµ tham số a) Giải phơng trình với m = b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp lần nghiệm Bài tập 63: Cho phơng trình : x y + xy − x − 10 y + = (1) 1) T×m nghiƯm ( x ; y ) phơng trình ( ) tho¶ m·n x + y = 10 2) Tìm nghiệm nguyên phơng trình (1) Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x : a1 x + b1 x + c1 = vµ a2 x + b2 x + c2 = Cã nghiÖm chung CMR : ( a1c2 − a2c1 ) = ( a1b2 − a2b1 ) ( b1c2 b2c1 ) Bài tập 65: Cho phơng trình bËc hai Èn x : x − 2(m − 1) x + 2m − 3m + = a) Chứng minh phơng trình có nghiệm chØ ≤ m ≤ b) Gäi x1 , x2 nghiệm phơng trình , chứng minh : x1 + x2 + x1 x2 ≤ Bµi tËp 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x + 2mx + m − = a) Xác định m để phơng trình cã hai nghiƯm b) Gäi x1 , x2 lµ nghiƯm phơng trình , tìm giá trị lớn biÓu thøc : A = x1 x2 + x1 + x2 Bài tập 67: Cho phơng tr×nh bËc hai Èn x : (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = víi m ≠ (1) a) CMR (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) , tìm m để x1 x2 > x1 = x2 Bµi tËp 68: Cho a , b , c đọ dài cạnh tam giác CMR phơng trình x + (a + b + c) x + ab + bc + ac = vô nghiệm GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình Chuyên đề: Phơng trình bậc hai Bài tập 69: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : ax + bx + c = 0(1); cx + dx + a = 0(2) BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiƯm m n, (2) có nghiệm p q CMR : m + n + p + q Bài tập 70: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x + bx + c = cã c¸c nghiƯm x1 , x2 ; phơng trình x b x + bc = cã c¸c nghiƯm x3 , x4 BiÕt x3 − x1 = x4 − x2 = Xác định b, c Bài tập 71 : Giải phơng trình sau a) b) c) d) e) 3x4 - 5x2 +2 = x6 -7x2 +6 = (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 3x2+ 3x = x + x +1 )-4( x f) (x + g) h) x+ x ) +6 =0 − 2x = x −1 x − 20 = x − 20 x x 48 + = 10( − ) x x i) Bµi tập 72 giải phơng trình sau a) x2 - x - =0 b) - x2- x +1=0 c) ( - 3) x − ( + 1) + = d)5x4 - 7x2 +2 = e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = f) (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = x + x +1 Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiƯm lµ x , x 1/ không giải phơng trình tính giá trị biểu thøc sau: A= x1 + x2 ; B= − x1 x1 + − x2 x2 ; C = x15 + x2 ; D = x1 + x 2/ lập phơng trình bậc hai có nghiệm bằng: a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 b) u = 1 ,v= x1 − x2 −1 Bµi tập 74 Cho hai phơng trình : x2- mx +3 = vµ x2- x +m+2= a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng Bài tập 75 Cho phơng trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) T×m a cho 1 + c vµ a − b > c Bài tập 101: Cho hai phơng trình : x2 + mx + = (1) x2 + x + m = (2) GV: Nguyễn Văn Quyết Trờng THCS Nam Thanh Tiền Hải Thái Bình a) Tìm m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng Bài tập 102: Cho phơng tr×nh: x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = (1) a) C/mr phơng trình (1) có nghiệm Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c Biết a2 + b2 + c2 = 14 Bµi tËp 103: Chøng minh phơng trình :x2 + ax + b = vµ x2 + cx + d = cã nghiƯm chung th× : (b – d)2 + (a- c)(ad bc) = Bài tập 104: Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = C/mr nÕu b > a + c phơng trình có nghiệm phân biệt Bài tập 105: G/s x1 , x2 hai nghiệm hai phơng trình x2 + ax + bc = vµ x2 , x3 lµ hai nghiệm phơng trình x2 + bx + ac = ( víi bc kh¸c ac ) Chøng minh x1, x3 nghiệm phơng trình x2 + cx + ab = Bµi tËp 106: Cho phơng trình x2 + px + q = (1) Tìm p,q nghiệm phơng trình (1) biết thêm vào nghiệm chúng chở thành nghiệm phơng trình : x2 p2x + pq = Bµi tËp 107: Chøng minh r»ng phơng trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = Lu«n cã nghiƯm víi mäi a,b,c Bµi tËp 108: Gäi x1; x2 lµ hai nghiệm phơng trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + = T×m GTLN cđa biĨu thøc A = x1 x2 − x1 − x2 Bµi tËp 109: Cho a ≠ G/s x1 ; x2 nghiệm phơng trình x − ax − =0 2a Chøng minh r»ng : x 41 + x2 ≥ + Bài tập 110 Cho phơng trình x − ax + = Gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình a 4 Tìm GTNN cđa E = x1 + x2 Bµi tËp 111: Cho phơng trình x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = a) Với giá trị a phơng trình có nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm lớn Bài tập 112.Cho phơng trình : x2 – 2mx – m2 – = 0(1) a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả m·n : x1 x2 −5 + = x2 x1 ... phơng trình (1) có hai nghiÖm : x1 = −2, x2 = c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiƯm d¬ng x1 , x2 phơng trình qx + px + = cã hai nghiƯm d¬ng x3 , x4 d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1va3x2 ;... CMR a, ,b lµ hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyªn b) Cho c = + 10, d = − 10 CMR c , d hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyên Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai : x + 2(m... hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x12 + x2 = Bài tập 20: Cho phơng tr×nh (1) x + (2m + 1) x + m + 3m = a) Giải phơng trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai