Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ: 1.1. Bình phương của một tổng: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 1.2. Bình phương của một hiệu: (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 1.3. Hiệu của hai bình phương: A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) 1.4. Lập phương của một tổng: (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 1.5. Lập phương của một hiệu: (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 1.6. Tổng của hai lập phương: A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) 1.7. Hiệu của hai lập phương: A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) 1.8. Bình phương một tổng ba số: (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2AC 1.9. Lập phương của một tổng ba số: (A + B + C) 3 = A 3 + B 3 + C 3 + 3(A + B)(B + C)(C + A) A 3 + B 3 + C 3 – 3ABC = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 – AB – BC – CA) (A + B + C)(AB + BC + CA) – ABC = (A + B)(B + C)(C + A) Ba đẳng thức sau cùng, phải chứng minh trước khi sử dụng để làm bài tập. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. 1. Phương pháp đặt nhân tử chung. 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. 3. Phương pháp nhóm các hạng tử. 4. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 9x 2 - 10x + 1 Cách 1: Tách hạng tử tự do, làm xuất hiện hai tích có nhân tử chung: A = 9x 2 – 9 – 10x + 10 = 9(x 2 – 1) – 10(x-1) = (x – 1)(9x – 1) Cách 2: Tách hạng tử tự do, làm xuất hiện hiệu hai bình phương: A = (3x) 2 – 2.(3x). 5 3 + 25 10 9 9 − 2 2 5 4 3x 3 3     = − −  ÷  ÷     5 4 5 4 3x 3x 3 3 3 3    = − − − +  ÷ ÷    ( ) ( ) ( ) 1 3x 3 3x x 1 9x 1 3   = − − = − −  ÷   Cách 3: Tách hạng tử bậc nhất làm xuất hiện hai tích có nhân tử chung: A = 9x 2 -9x – x + 1 = 9x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(9x – 1) Hoặc A = 9x 2 – x – 9x +1 = x(9x – 1) – (9x – 1) = (9x – 1)(x -1) Cách 4: Tách hạng tử bậc hai làm xuất hiện hai tích có nhân tử chung: A = 10x 2 – 10x – x 2 +1 = 10x(x – 1) – (x – 1)(x + 1) = (x – 1)(9x – 1) Cách 5: Tách hạng tử bậc hai làm xuất hiện hiệu hai bình phương: A = 25x 2 – 10x + 1 – 16x 2 = (5x - 1) 2 – (4x) 2 = (5x – 1 - 4x)(5x – 1 + 4x) = (x - 1)(9x – 1) 1 Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà Cách 6: Tách hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất để tạo hai tích có nhân tử chung: A = (9x 2 – 18x + 9) + (8x – 8) = 9(x 2 – 2x + 1) + 8(x – 1) = 9(x – 1) 2 + 8(x – 1) = (x – 1)(9x -1) Cách 7: Tách hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất để tạo hai tích có nhân tử chung: A = (5x 2 – 10x + 5) + (4x 2 – 4) = 5(x – 1) 2 + 4(x – 1)(x + 1) = (x – 1)(9x – 1) Cách 8: Tách hạng tử bậc nhất và hạng tử bậc hai để tạo hai tích có nhân tử chung: A = (8x 2 – 8x) + (x 2 – 2x + 1) = 8x(x – 1) + (x – 1) 2 = (x – 1)(9x -1) 5. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử: Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 4 + 81 Giải: Thêm và bớt 36x 2 : 4x 4 + 81 = 4x 4 +36x 2 + 81 - 36x 2 = (2x 2 + 9) 2 – (6x) 2 = (2x 2 + 9 + 6x)(2x 2 + 9 – 6x) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 5 + x – 1 Giải: x 5 + x – 1 = x 5 – x 4 + x 3 + x 4 – x 3 + x 2 – x 2 + x – 1 = x 3 (x 2 – x + 1) + x 2 (x 2 – x + 1) – (x 2 – x + 1) = (x 2 – x + 1)(x 3 + x 2 – 1) 6. Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x 2 + 10x)( x 2 + 10x + 24) + 128 Đặt x 2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng: (y – 12)(y + 12) + 128 = y 2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = (x 2 + 10x + 16)( x 2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)( x 2 + 10x + 8) 7. Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 3 Giải: Các số 1, 3± ± không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d). Phép nhân này cho kết quả x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện: a c 6 ac b d 12 ad bc 14 bd 3  + = −  + + =   + = −   =  Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b { } 1, 3∈ ± ± . Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành: 2 Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà a c 6 ac 8 a 3c 1 4  + = −  =   + = −  Suy ra: 2c = -14 –(- 6) = - 8. Do đó c = - 4, a = - 2 Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x 2 – 2x + 3)(x 2 – 4x + 1) 8. Phương pháp xét giá trị riêng: Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng của các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại: Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x 2 (y – z) + y 2 (z – x) + z 2 (x – y) Giải: Thay x bởi y thì P = 0. Như vậy P chia hết cho x - y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi (ta nói đa thức P có hoán vị vòng quanh x y z x→ → → ). Do đó, nếu P đã chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho y – z và z – x. Vậy P có dạng: k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì dẳng thức: x 2 (y – z) + y 2 (z – x) + z 2 (x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0, ta được: k = -1 Vậy P = -(x – y)(y – z)(z – x) = k(x – y)(y – z)(x – z) III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1) 16x 3 y + 0,25yz 3 2) x 4 – 4x 3 + 4x 2 3) 2ab 2 – a 2 b – b 3 4) a 3 + a 2 b – ab 2 – b 3 5) x 3 + x 2 – 4x - 4 6) a 2 + 2ab + b 2 – 2a – 2b + 1 7) (xy + 4) 2 – (2x + 2y) 2 8) (a 2 + b 2 + ab) 2 – a 2 b 2 – b 2 c 2 – c 2 a 2 9) (a + b + c) 2 + (a + b – c) 2 – 4c 2 10) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 11) (b – c) 3 + (c – a) 3 + (a – b) 3 12) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 13) (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 – x 2 ) 3 – (y 2 + z 2 ) 3 14) (x + y) 3 – x 3 – y 3 15) (x + y) 5 – x 5 – y 5 16) 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – 1) 2 17) x 2 y 2 + 1 – x 2 – y 2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. 3 Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà 1. x 2 – 6x + 8 2. x 2 – 7xy + 10y 2 3. a 2 – 5a - 14 4. 2m 2 + 10m + 8 5. 4p 2 – 36p + 56 6. x 3 – 5x 2 – 14x 7. a 4 + a 2 + 1 8. a 4 + a 2 – 2 9. x 4 + 4x 2 + 5 10. x 3 – 10x - 12 11. x 3 – 7x - 6 12. x 2 – 7x + 12 13. x 2 – 5x – 14 14. 4 x 2 – 3x – 1 15. 3 x 2 – 7x + 4 16. 2 x 2 – 7x + 3 17. 6x 3 – 17x 2 + 14x – 3 18. 4x 3 – 25x 2 – 53x – 24 19. x 4 – 34x 2 + 225 20. 4x 4 – 37x 2 + 9 21. x 4 + 3x 3 + x 2 – 12x - 20 22. 2x 4 + 5x 3 + 13x 2 + 25x + 15 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x 4 + x 2 + 1 2. x 4 – 3x 2 + 9 3. x 4 + 3x 2 + 4 4. 2x 4 – x 2 – 1 5. x 4 y 4 + 4 6. x 4 y 4 + 64 7. 4 x 4 y 4 + 1 8. 32x 4 + 1 9. x 4 + 4y 4 10 . x 7 + x 2 + 1 11. x 8 + x + 1 12. x 8 + x 7 + 1 13. x 8 + 3x 4 + 1 4 Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà 14. x 10 + x 5 + 1 15. x 5 + x + 1 16. x 5 + x 4 + 1 Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. x 2 + 2xy – 8y 2 + 2xz + 14yz – 3z 2 2. 3x 2 – 22xy – 4x + 8y + 7y 2 + 1 3. 12x 2 + 5x – 12y 2 + 12y – 10xy – 3 4. 2x 2 – 7xy + 3y 2 + 5xz – 5yz + 2z 2 5. x 2 + 3xy + 2y 2 + 3xz + 5yz + 2z 2 6. x 2 – 8xy + 15y 2 + 2x – 4y – 3 7. x 4 – 13x 2 + 36 8. x 4 + 3x 2 – 2x + 3 9. x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 2. (a – x)y 3 – (a – y)x 3 – (x – y)a 3 3. x(y 2 – z 2 ) + y(z 2 – x 2 ) + z(x 2 – y 2 ) 4. (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 5. 3x 5 – 10x 4 – 8x 3 – 3x 2 + 10x + 8 6. 5x 4 + 24x 3 – 15x 2 – 118x + 24 7. 15x 3 + 29x 2 – 8x – 12 8. x 4 – 6x 3 + 7x 2 + 6x – 8 9. x 3 + 9x 2 + 26x + 24 Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. a(b + c)(b 2 – c 2 ) + b(a + c)(a 2 – c 2 ) + c(a + b)(a 2 – b 2 ) 2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) 3. a(b 2 – c 2 ) – b(a 2 – c 2 ) + c(a 2 – b 2 ) 4. (x – y) 5 + (y – z) 5 + (z – x) 5 5. (x + y) 7 – x 7 – y 7 6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc 7. (x + y + z) 5 – x 5 – y 5 – z 5 8. a(b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ) + 2abc 9. a 3 (b – c) + b 3 (c – a) + c 3 (a – b) 10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1 Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x – 12 5 Trần Thanh Hải – Trường THCS Dực Yên – Đầm Hà 2. (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2 3. (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 5. (x 2 + 2x) 2 + 9x 2 + 18x + 20 6. x 2 – 4xy + 4y 2 – 2x + 4y – 35 7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 8. (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) – 12 9. 4(x 2 + 15x + 50)(x 2 + 18x + 72) – 3x 2 6 . các hạng tử. 4. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 9x 2 - 10x + 1 Cách 1: Tách hạng tử tự do, làm xuất hiện hai tích có nhân tử chung: A. trước hết ta xác định dạng của các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại: Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x 2 (y – z) + y 2 (z –. hai tích có nhân tử chung: A = (8x 2 – 8x) + (x 2 – 2x + 1) = 8x(x – 1) + (x – 1) 2 = (x – 1)(9x -1) 5. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử: Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 4