BỐ CỤC BÀI GIẢNG 1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính: 1.1 Lập kế hoạch sản xuất: 1.2 Phân bổ vốn đầu tư: 2. Định nghĩa: 1. Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT): 1.1 Lập kế hoạch sản xuất: sản phẩm Chi phí S 1 S 2 S 3 Số lượng nguyên liệu hiện có Nguyên liệu 1 (N1) Nguyên liệu 2 (N2) Nguyên liệu 3 (N3) Lao động 4 2 3 10 5 4 6 7 3 3 4 6 15.000 12.000 10.000 500.000 Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi nhuận khi bán một đơn vị sản phẩm S 1 , S 2 , S 3 tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng). Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu. Gọi x j là số sản phẩm của S j (j = 1,2, 3) cần sản xuất (x j ≥ 0, j = 1, 2, 3.) 1 2 3 4 5 3 15000x x x + + ≤ Theo kế hoạch sản xuất phải tìm lượng nguyên liệu tiêu hao là: N 1 : 1 2 3 2 4 3 12000x x x + + ≤ N 2 : 1 2 3 3 6 4 10000x x x + + ≤ N 3 : Số phút cần sử dụng: 1 2 3 10 7 6 500.000x x x+ + ≤ Tổng lợi nhuận theo kế hoạch sản xuất là: 1 2 3 5000 10000 7000x x x + + Yêu cầu tối ưu là: 5000 10000 7000 max 1 2 3 x x x+ + → Mô hình bài toán: Tìm x = (x 1 , x 2 , x 3 ) sao cho: ( ) 5000 10000 7000 max 1 2 3 4 5 3 15000 1 2 3 2 4 3 12000 1 2 3 3 6 4 10000 1 2 3 10 7 6 500000 1 2 3 0, 1,2,3 f x x x x x x x x x x x x x x x x x j j            = + + → + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ = Tổng quát: ta có bài toán lập kế hoạch sản xuất dưới dạng bảng số liệu sau đây: Yếu tố sản xuất Số lượng hiện có Sản phẩm S 1 S 2 … S n Y 1 b 1 a 11 a 12 … a 1n Y 2 b 2 a 21 a 22 … a 2n … … … … … … … … … … … … Y m b m a m1 a m2 … a mn Lợi nhuận đơn vị c 1 c 2 … c n Mô hình: Tìm x = (x 1 , x 2 ,…, x n ) sao cho: max 1 n f c x j j j = → ∑ = , 1, , 1 n a x b i m ij j i j ≤ = ∑ = 0, 1, ,x j n j ≥ = 2.2 Phân bổ vốn đầu tư: Một nhà đầu tư có 4 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực Lĩnh vực đầu tư Lãi suất/năm Chứng khoán Công trái Gửi tiết kiệm Bất động sản 20% 12% 15% 18% Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng không nên đầu tư vào chứng khoán vượt quá 30% tổng số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết kiệm ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiệm ít nhất 300 triệu đồng. Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm là lớn nhất. • Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền hiện có nên: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 4000 (triệu đồng) • Điều kiện về số tiền đầu tư vào chứng khoán: 0,3( ) 0,7 0,3 0,3 0,3 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x ≤ + + + ⇔ − + + + ≥ Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tương ứng là số tiền (triệu đồng) đầu tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiệm, bất động sản ( ) 0, 1, , 4 j x j ≥ = • Thu nhập của năm là: 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18x x x x + + + • Yêu cầu tối ưu: 1 2 3 4 0, 2 0,12 0,15 0,18 maxx x x x + + + → • Điều kiện về số tiền đầu tư vào công trái và gửi tiết kiệm: ( ) 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0, 25 0, 25 0,75 0,75 0, 25 0x x x x x x x x x x + ≥ + + + ⇔ + + − ≥ 3 300 x ≥ Và Mô hình: Tìm x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) sao cho: 1 2 3 4 ( ) 0, 2 0,12 0,15 0,18 maxf x x x x x = + + + → 1 2 3 4 0, 25 0,75 0,75 0, 25 0x x x x+ + − ≥ 3 300 x ≥ 0, 1, , 4 j x j ≥ = 0,7 0,3 0,3 0,3 0 1 2 3 4 x x x x − + + + ≥ 1 2 3 4 4000x x x x+ + + ≤ [...]... xm+1 + + a1n xn = b1 1( m +1) a xm+1 + + a2n xn = b2 1( m +1) xm + a xm+1 + + amn xn = bm m( m +1) x j ≥ 0 ( j = 1, , n ) ; bi ≥ 0 ( i = 1, , m )  Các biến tạo thành ma trận đơn vị gọi là ẩn cơ bản Ẩn còn lại gọi là ẩn không cơ bản  Cách đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn: - Nếu ∃bi < 0 ( i ∈1, , m ) thì nhân hai vế ràng buộc với -1 - Nếu ma trận A chưa có... bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng chính tắc: - Nếu có ràng buộc dấu dạng x j ≤ 0 thì đặt xj = -xj , với x j ≥ 0 - Nếu xj không có ràng buộc dấu đặt x j = x j′ − x j′′ với x j′ , x j′′ ≥ 0 ≥ -Nếu có ràng buộc dạng ∑ aij x j  ÷bi thì thay bằng n j =1 ≤ p p aij x j + − xi = bi với xi ≥ 0 n ∑ j =1 ( ) Ví dụ 3: đưa bài toán QHTT ở ví dụ 1 về dạng chính tắc... lỏng rạng buộc đó  Mô t số khái niệm: - Ứng với ràng buộc thứ i ta có vectơ Ai* = (ai1, ai2, …,ai3) - Ký hiệu:  a1 j    là vectơ các hệ số của biến xj trong các  a2 j  Ai =   ràng buộc (không kể ràng buộc dấu)    a3 j    - Hệ vectơ Ai* tương ứng với các ràng buộc chính tạo thành ma trận ràng buộc chính, ký hiệu là A - Các ràng buộc gọi... dấu  Mô t số khái niệm:  Vectơ x=( x1, x2, x3, x4)T được gọi là phương án (PA) của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán  Phương án x*=( x1*, x2*, x3*, x4*)T được gọi là phương án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất  Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có)  Mô t số...Vậy để lập mô hình toán học của mô t bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau: Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính Bước 3: Lập hàm mục tiêu 2 Định nghĩa: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng: Tìm x = (x1, x2, …,xn) sao cho:... là PACB suy biến Ví dụ 1: f ( x ) = 10 x1 + 12 x2 + 9 x3 → max  x1 − 12 x2 + 5 x3 ≥ 0  8 x1 + 4 x2 − 6 x3 = 52  x ≥ 0, x ≤ 0, x 2 3  1 1  1 -1 2 5  A = (1, −12,5); A1 =   ; A=   8 8 4 -6  * 1 x 0 = ( 13 2;0;0 ) ; x1 = ( 8;0;2 ) Mô hình bài toán: Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho: f ( x ) = 5000 x + 10000 x + 7000 x → max 1 2 3 Hàm mục tiêu 4 x + 5 x + 3x ≤ 15000 2 3  1 2 x +... dạng chính tắc f ( x ) = 2 x1 + x2 + 3x3 → min x1 + 2 x2 + 2 x3 ≥ 2 2 x1 + x2 + x3 = 3 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 6 x1 ≥ 0; x2 < 0; x3 tuy y b Bài toán dạng chuẩn: * Mô t ma trận của hệ ràng buộc chính chứa các vectơ Aj lập được thành mô t ma trận đơn vị được gọi là ma trận chứa ma trận đơn vị Ví dụ: f ( x ) = 2 x + 5 x + 4 x + x − x − x → min 1 2 3 4 5 6 x1 − 6 x2 − 2 x4 − 9 x5 ≥ 30... buộc chính tạo thành ma trận ràng buộc chính, ký hiệu là A - Các ràng buộc gọi là ràng buộc độc lập tuyến tính nếu hệ véctơ Ai* tương ứng độc lập tuyến tính  Mô t số khái niệm: - Phương án cực biên (phương án cơ bản): là phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính + Phương án cực biên (PACB) thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là... của ẩn giả là để tạo vectơ đơn vị khi chưa có ma trận đơn vị Nếu trong ma trận A đã có sẵn mô t số vectơ đơn vị thì chỉ cần thêm ẩn giả vào những phương trình cần thiết để tạo thành bài toán mở rộng có dạng chuẩn  Hệ số của ẩn giả trong hàm mục tiêu là M (-M) nếu f min (max), với M là số dương khá lớn Ví dụ: Đưa các bài toán QHTT đã được đưa về dạng . theo kế hoạch sản xuất là: 1 2 3 5000 10000 7000x x x + + Yêu cầu tối ưu là: 5000 10000 7000 max 1 2 3 x x x+ + → Mô hình bài toán: Tìm x = (x 1 , x 2 , x 3 ) sao cho: ( ) 5000 10000. lập mô hình toán học của mô t bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau: Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn. Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính Bước 3:. án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất.  Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).  Mô t số khái