Phần Hình Học 1. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C , đặt = = = uuur r uuur r uuur r ' , ,AA a AB b AC c . Gọi I là trung điểm của B’C’. a. Phân tích véctơ uur AI theo các vétơ r r r , ,a b c . b. Phân tích vétơ uuur AO theo các véctơ r r r , ,a b c , với O là tâm của hình bình hành BB’C’C. c. Phân tích vétơ uuur AG theo các véctơ r r r , ,a b c , với G là trọng tâm của ∆ ' ' 'A B C . d. Chứng minh rằng: ( ) ( ) = + = + uuuur uuuur uuuuur uuur uuuuur 1 1 ' ' ' ' ' ' 2 2 MN AC A B AB A C , với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’. e. Chứng minh rằng: ( ) = + + + uuur uuur uuur uuuur uuur 1 ' ' 4 AO AB AB AC AC 1/ ( ) ( ) 1 1 1 1 ' ' 2 2 2 2 AI AB AC a b a c a b c = + = + + + = + + uur uuuur uuuur r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ' 1 2 2 1 1 4 ' 2 2 AO AC AB a c b AO a c b AO AC AB a c b  = + = + +   ⇒ = + +   = + = + +   uuur uuuur uuur r r r uuur r r r uuur uuur uuuur r r r ( ) ( ) 1 1 ' ' ' 3 3 2 1 2 3 3 3 AG AA AB AC a a b a c a b c = + + = + + + + = + + uuur uuur uuuur uuuur r r r r r r r r d/Chứng minh rằng: ( ) ( ) = + = + uuuur uuuur uuuuur uuur uuuuur 1 1 ' ' ' ' ' ' 2 2 MN AC A B AB A C , với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’. Chứng minh: ( ) ( ) 1 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' AC A B AB A C AC A B AC A C AC AB A C A B B C B C + = + ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ = uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur 2/ 3/ Cho hình chóp S.ABC có AB = 2a , SA = SB = SC =a. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC . a. Chứng minh rằng: ⊥ ⊥ ,SA BC SB AC b. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ SH ABC . c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC). a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có SB =SC suy ra SN ⊥ BC, AH ⊥ BC suy ra BC ⊥ SA Tương tự AC ⊥ SB Ta có SN BC BC SH AH BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Tương tự AB ⊥ SH thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 1 c r a r b r b/ Từ câu a Suy ra ( ) ⊥ SH ABC c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC). Ta có ( ) HS ABC ⊥ suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC) Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA ( ) 3 3 3 cos 2 2 3 b AH b SAH a SA a = = = Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng  trong đó α là góc sao cho 3 cos 2 b a α = 4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, ( ) ⊥ SA ABCD , SA = a, · = ° 120BAD . a. Tính số đo góc của BD và SC. b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ OH ABCD c. Tính số đo của góc SB và CD. a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra AC BD ⊥ ( ) SA ABCD ⊥ ⇒ AC là hình chiếu của SC lên (ACBD) Suy ra góc giữa chúng bằng 90 0 b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO // SA mà ( ) ( ) SA ABCD OH ABCD ⊥ ⇒ ⊥ c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB bằng 45 0 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A 5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, · = ° 30BAC , = = = = SA SB SC SD a . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ SO ABCD . b. Tính góc giữa SC và (ABCD). c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ MN SBD . d. Tính khoảng cách giữa SB và AC. a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên ( ) SO AC SO ABCD SO BD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  b/ Ta có ( ) SO ABCD ⊥ suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD) thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 2 vì · 0 30BCA = suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra 3 2 a CO = · ( ) · 0 3 cos 30 2 OC SCO SCO SC = = ⇒ = .Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 30 0 c/ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) SO ABCD SO BD BD SO BD SAB DB AC BD SAB MN SAB MN AC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ⊥   ⇒ ⊥    P d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB Ta có ( ) AC SBD AC HO ⊥ ⇒ ⊥ . Đoạn thẳng OH là đoạn vuông góc chung của AC và SB Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH = 2 a 7/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và AH= a, góc · = ° 120BAC , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, = 3SA a . Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ AK SBC . b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC). c. Tính khoảng cách giữa SA và BC. a/ Ta có ( ) SA ABC SA BC ⊥ ⇒ ⊥ HA là đường cao của tg ABC suy ra AH BC ⊥ ( ) ( ) ( ) AH BC BC SAH SA BC BC SAH BC AK AK SAH ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ⊥   ⇒ ⊥  ⊂   K là hình chiếu của A lên SH suy ra AK SH ⊥ ( ) AK SH BC AK AK SBC BC SH H ⊥   ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  b/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · ( ) · , , , AH ACB SH SBC ABC SBC SH AH AHS SBC ABC BC SH AH BC ⊂   ⊂  ⇒ = =  ∩ =   ⊥  0 tan 3 60 SA H H AH = = ⇒ = thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 3 Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a 8/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc · = ° 60BAD , = 3 2 a SA . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ∆ ABD . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BD SAC . Tính SH, SC. b. Gọi α là góc của (SBD) và (ABCD). Tính α tan c. Tính khoảng cách giữa DC và SA. a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥ BD ABCD là hình thoi suy ra AC ⊥ BD ( ) SH BD AC BD BD SAC SH AC H ⊥   ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  ABCD là hình thoi cạnh a và góc · 0 60BAD = nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a. 3 3 ; 6 2 a a OH OA OC = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 5 . 2 3 2 3 2 4 3 12 5 12 5 4 5 12 3 12 3 3 2 a a a a a a SH SA AH AO SH a a a a SC SH HC AO a SC         = − = − = − = − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         ⇒ =   = + = + = +  ÷   ⇒ = b/ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) , 5 6 tan . 5 12 3 SAC BD SAC ABCD AC OH SO SAC SBD SO SH a HO a α α ⊥   ∩ = ⇒ =   ∩ =  = = = 9/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC đều cạnh 2a, ( ) ⊥ SA ABC , SA = a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BC SAI b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) a/ Ta có ( ) SA ABC SA BC ⊥ ⇒ ⊥ (1) ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) Ta có thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 4 ( ) ( ) ( ) ( ) SBC SAI H SI SBC SAI SI ⊥   ⇒ ∈  ∩   Xét tam giác vuông SAI có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 3 3 2 a AH AH AI SA AH a = + ⇒ = ⇒ = c/ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · ( ) ¶ ¶ ( ) ¶ 0 , , 3 tan 30 3 3 2 2 BC SAI ABC ABC BC SBC ABC SI AI SIA SBC SAI SI ABC SAI AI SA a SIA SIA AI a ⊥   ∩ =  ⇒ = =  ∩ =   ∩ =  = = = ⇒ = 10/ Cho hình chóp S.ABC, ( ) ⊥ SA ABC , ∆ ABC đều. Gọi I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và = =2 3, 2SA a AB a . a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ AH SBC . b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC) c. Tính khoảng cách giữa SA và BC. a/ Ta có ( ) SA ABC SA BC ⊥ ⇒ ⊥ (1) ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) ( ) ( ) BC SAI SA AH AH SAI ⊥   ⇒ ⊥  ⊂   2 3a H là hình chiếu của A lên SI nên AH SI ⊥ ( ) SA AH SI AH AH SBC SI BC I ⊥   ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  b/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · ( ) ¶ ¶ ( ) ¶ 2 3 , , ; tan 2 3 2 2 BC SAI ABC ABC BC SA a SBC ABC SI AI SIA SIA SIA AI SBC SAI SI a ABC SAI AI α ⊥   ∩ =  ⇒ = = = = = ⇒ =  ∩ =   ∩ =  Trong đó α là góc sao cho tan α = 2 c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI = 2 3a thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 5 11.Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC vuông cân với AB = BC = a, ( ) ⊥ SA ABC , SA = a. Gọi I là trung điểm của AC. a. Chứng minh rằng: ( ) ⊥ BI SAC b. Tính số đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC). c. Tính khoảng cách giữa SB và AC. thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 6 . ACB SH SBC ABC SBC SH AH AHS SBC ABC BC SH AH BC ⊂   ⊂  ⇒ = =  ∩ =   ⊥  0 tan 3 60 SA H H AH = = ⇒ = thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 3 Ta có AH là đoạn vuông. AB và BC Ta có SB =SC suy ra SN ⊥ BC, AH ⊥ BC suy ra BC ⊥ SA Tương tự AC ⊥ SB Ta có SN BC BC SH AH BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Tương tự AB ⊥ SH thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B –. AI ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAI) b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) Ta có thanhbinhgr@yahoo.com.vn Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 4 ( ) ( ) ( ) ( ) SBC SAI H SI SBC SAI