Chuyên đề 1 Phơng trình lợng giác A. Công thức lợng giác cần nhớ I. Một số công thức lợng giác cần nhớ 1) 2 2 2 2 2 2 1 1 sin x cos x 1;1 tan ;1 cot . cos sin x x x x + = + = + = 2) sin cos 1 tanx ;cot x ;tan cos sin cot x x x x x x = = = . 3) Công thức cộng: sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin a b a b asinb a b a b a b = = m 4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 - 2 sin 2 x 5) Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 cos ;sin 2 2 x x x x + = = 6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx 4sin 3 x; cos3x = 4cos 3 x 3cosx. 7) Công thức biểu diễn theo tanx: 2 2 2 2 2tan 1 tan 2tan sin 2 ;cos2 ;tan 2 1 tan 1 tan 1 tan x x x x x x x x x = = = + + . 8) Công thức biến đổi tích thành tổng: ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + 9) Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = - 1 - B. Một số dạng bài tập vê phơng trình lợng giác Dạng 1. Phơng trình bậc hai. Bài 1. Giải các phơng trình sau: 1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx 3 = 0 3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x 1 = 0 5) 2 cosx + sin2x = 0 Bài 2. Giải các phơn trình sau: 1) 2cos 2 x 3cosx + 1 = 0 2) cos 2 x + sinx + 1 = 0 3) 2cos 2 x + 2 cosx 2 = 0 4) cos2x 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos 2 x - 4 3 cosx + 3 = 0 7) 2sin 2 x cosx + 7 2 = 0 8) 2sin 2 x 7sinx + 3 = 0 9) 2sin 2 x + 5cosx = 5. Bài 3. Giải các phơng trình: 1) 2sin 2 x - cos 2 x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos 2 x - 5sin 2 x - 5cosx + 4 = 0 3) 5sinx(sinx - 1) - cos 2 x = 3 4) cos2x + sin 2 x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx (3 + 2 ) = 0 6) tan 2 x + ( 3 - 1)tanx 3 = 0 7) 3 3cot 3 2 sin x x = + 8) 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + = 9) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1 sin 2 1 x x x x x x + + + = . Dạng 2. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 1. Giải các phơng trình sau: 1) 4sinx 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1 3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2 5) 5cos2x 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 Bài 2. Giải các phơng trình: 1) 3cos3 sin3 2x x+ = 2) 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x = + 3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin7 sin5x x x x x = 4) cos7 3sin7 2x x = 5) 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + Dạng 3. Phơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin. 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x 3sinxcosx + 1 = 0. 3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5 2 . 4) 5 2 3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 2 2 x x x + + + 3 2 5sin ( ) 0 2 x + = . 5) a) 1 3 sin cos cos x x x + = ; b) 1 4sin 6cos cos x x x + = . 6) cos2x 3sinxcosx 2sin2x 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx cos2x = 2. 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0. 10) 2 2 sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+ . Dạng 4. Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Bài 1. Giải các phơng trình sau: 1) (2 2)+ (sinx + cosx) 2sinxcosx = 2 2 + 1 2) 6(sinx cosx) sinxcosx = 6 - 2 - 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 2 2 . 3) 1 1 10 cos sin cos sin 3 x x x x + + + = . 4) sin 3 x + cos 3 x = 2 2 . 5) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 6) (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x+ − + = + . 7) sin 2 2sin( ) 1 4 x x π + − = . 8) sin cos 4sin 2 1x x x− + = . 9) 1 + tgx = 2 2 sinx. 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. - 3 - C. Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) sin3x = 1 2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 2 2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60 o ) = - 3 13) sin3x = cos4x 4) cot 5 7 x π   −  ÷   = 1 3 14) tan3x.tanx = 1 5) sin2x = sin 3 4 x π   +  ÷   15) sin(2x + 50 o ) = cos(x + 120 o ) 6) tan 2 3 x π   +  ÷   = tan 3 6 x π   −  ÷   16) 3 - 2sin2x = 0 7) cos(3x + 20 o ) = sin(40 o - x) 17) 2cos 3 4 x π   +  ÷   - 3 = 0 8) tan 4 x π   +  ÷   = - cot 2 3 x π   −  ÷   18) 3tan 2 20 3 o x   −  ÷   + 3 = 0 9) sin(2x - 10 o ) = 1 2 víi -120 o < x < 90 o 19) 2sinx - 2 sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = 2 2 víi - π < x < π 20) 8cos 3 x - 1 = 0 Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) sin 2 x = 1 2 11) sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x 2) cos 2 3x = 1 12) sin ( ) 2cos 2 4 x x π   − +  ÷   tan2x = 0 3) sin 4 x + cos 4 x = 1 2 13) (2sinx + 1) 2 - (2sinx + 1)(sinx - 3 2 ) = 0 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin 2 2x = cos 2 2x - cosx 8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1 2 Bµi 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2sin 2 x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin 2 x + 4cosx - 1 = 0 3) tan 2 6 x π   +  ÷   + 2cot 2 6 x π   +  ÷   - 3 = 0 4) 2 2 + (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0 sin 2x 5) cot 2 x - 4cotx + 3 = 0 6) cos 2 2x + sin2x + 1 = 0 - 4 - 7) sin 2 2x - 2cos 2 x + 3 4 = 0 8) 4cos 2 x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan 4 x + 4tan 2 x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 11) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 Bµi 5. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2 3) 2sin 4 x π   +  ÷   + sin 4 x π   −  ÷   = 3 2 2 4) 2 3cos + 4sinx + = 3 3cos + 4sinx - 6 x x 5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx Bµi 6. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos 3 x + sin 3 x = 1 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45 o ) = 1 9) 2sin2x + 3 |sinx + cosx| + 8 = 0 10) (sinx - cosx) 2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0 Bµi 7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sin 2 x - 10sinxcosx + 21cos 2 x = 0 2) cos 2 x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos 2 x - sin 2 x - 3 sin2x = 1 4) 3sin 2 x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos 2 x = 0 5) 4sin 2 x + 3 3 sin2x - 2cos 2 x = 4 6) 2sin 2 x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos 2 x = 1 7) 2sin 2 x - 3sinxcosx + cos 2 x = 0 8) cos 2 2x - 7sin4x + 3sin 2 2x = 3 Bµi 8. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) 4cos 2 x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan 2 x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin 2 2x - 2cos 2 x + 3 4 = 0 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 Bµi 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sin 2 x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos 2 x + 1 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 6) sin(4x + π 4 )sin6x = sin(10x + π 4 ) 7) (1 + tan 2 )(1 + sin2x) = 1 - 5 - 8) tan( 2π 3 - x) + tan( π 3 - x) + tan2x = 0 Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin 2 x 2) sin 4 x - cos 4 x = cosx 3) 1 1π 1 - cotx + cos(x - ) = 1 + cosx 4 2(1 + cotx) 2 4) 1 - (2 + 2 )sinx = 2 2 2 1 + cot x − 5) tan 2 x = 1 - cosx 1 - sinx 6) 2(sin 3 x + cos 3 x) + sin2x(sinx + cosx) = 2 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin 2 x Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) sinx + cosx - sin2x 3 - 1 = 0 2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0 3) tanx + tan2x = tan3x 4) 1 cosx sinx = x 1 - cosx cos 2 + - 6 - D. Một số Bài thi đại học vê phơng trình lợng giác Bài 1. Giải các phơng trình 1) (1 + tanx)cos 3 x + (1 + cotx)sin 3 x = 2sin2x 2) tan 2 x - tanxtan3x = 2 3) 2 5 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = 4 6) sin 2 1 + sinx x + 2cosx = 0 7) 2tanx + cotx = 2 3 + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin 2 x) = 1 10) 2 2 cot x - tan x = 16(1 + cos4x) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1 16 12) cos10x + cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 2 3x 13) sin 2 xcosx = 1 4 + cos 3 xsinx 14) sin 6 x + cos 6 x = cos4x 15) sin 4 x + cos 4 x = 7 8 cot(x + 3 )cot( 6 - x) 16) sinxcot5x = 1 cos9x 17) sin 3 xcos3x + cos 3 xsin3x = sin 3 4x 18) 2sin3x - 1 sinx = 2cos3x + 1 cosx 19) cos 3 xcos3x + sin 3 xsin3x = 2 4 20) 4 4 sin + cos x 1 = sin 2 2 x x (tanx + cotx) 21) 1 + tanx = 2 2 sinx 22) cosx - sinx = 2 cos3x 23) 2 3sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 24) sin 3 x + cos 3 x + sin 3 xcotx + cos 3 xtanx = 2sin2x 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1 26) 2sin(3x + 4 ) = 2 1 + 8sin2xcos 2x - 7 - Bài 2. Giải các phơng trình 1) sin 4 x 3 ữ + cos 4 x 3 ữ = 5 8 2) 4sin 3 x + 3cos 3 x - 3sinx - sin 2 xcosx = 0 3) cos 3 x - sin 3 x - 3cosxsin 2 x + sinx = 0 4) 2 2 2 2 (1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx - tan xsinx = + tan x 4(1 - sinx) 2 5) sin 2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 6) cos 6 x + sin 6 x = 7 16 Bài 3. Giải các phơng trình 1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2 cot 2 - cos2x x x 2) 2 2 4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x = 0 cosx 3) 2 cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1 = 1 1 + sin2x 4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin 2 x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx Bài 4. Giải phơng trình lợng giác 1) cosx + 3 sinx = 3 - 3 cosx + 3sinx + 1 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin 3 3x 3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin 3 x - 1 = 3sinx - 3 cos3x 7) 3 sin2x + cos2x = 2 8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 9) cos 2 x - 3 sin2x = 1 + sin 2 x Bài 5. Giải các phơng trình (biến đổi đa về dạng tích) 1) sin3x - 2 3 sin 2 x = 2sinxcos2x 2) sin 2 2x + cos 2 8x = 1 2 cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos 2 x 4) cosxcos x 2 cos 3x 2 - sinxsin x 2 sin 3x 2 = 1 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 0 6) cos 3 x + sin 3 x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos 2 x 9) 2cos 3 x + cos2x + sinx = 0 10) sin3x - sinx = sin2x 11) cos 1 sin 1 sin x x x = + 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 13) cos 4 x 2 - sin 4 x 2 = sin2x - 8 - 14) 3 - 4cos 2 x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin 3 x + cos2x = sinx 16) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3 2 17) cos 3 x + sin 3 x = sinx - cosx 18) sin 3 x + cos 3 x = 2(sin 5 x + cos 5 x) 19) sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 20) sin 2 3x - sin 2 2x - sin 2 x = 0 21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 22) 2sin 3 x - sinx = 2cos 3 x - cosx + cos2x 23) 2sin 3 x - cos2x + cosx = 0 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx) 26) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài 6. Giải các phơng trình 1) sin3x - sinx 1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2 2) sin(2x + 5 2 ) - 3cos(x - 7 2 ) = 1 + 2sinx với 2 < x < 3 3) cos7x - 3 sin7x = - 2 với 2 6 < x < 5 7 Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 1) y = 2sin 2 x + 3sinxcosx + 5cos 2 x 2) y = cosx + 2sinx + 3 2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( - ; ) 3) y = 4sin 2 x + 2sin(2x + ) 4 4) y = sinx - cos 2 x + 1 2 Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 1) A_02. Giải phơng trình: 5 cos3x + sin3x sin + 1 2sin2x x ữ + = cos2x + 3 2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 3) A_03. Giải phơng trình: cotx - 1 = cos2x 1 + tanx + sin 2 x - 1 2 sin2x 4) D_03. Giải phơng trình: sin 2 ( x 2 - 4 )tan 2 x - cos 2 x 2 = 0 5) D_04. Giải phơng trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05. Giải phơng trình: cos 2 3xcos2x - cos 2 x = 0 7) D_05. Giải phơng trình: cos 4 x + sin 4 x + cos(x - 4 )sin(3x - 4 ) - 3 2 = 0 8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phơng trình: 4sin 2 x 2 - 3 cos2x = 1 + 2cos 2 (x - 3 4 ) 9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 2 2 cos 3 ( x - 4 ) - 3cosx - sinx = 0 - 9 - 10) D_05_dù bÞ 1. Gi¶i pt: tan( 3π 2 - x) + sin 1 cos x x+ = 2 11) D_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 12) A_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos3xcos 3 x - sin3xsin 3 x = 2 + 3 2 8 13) A_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 14) B_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: (2sin 2 x - 1)tan 2 2x + 3(2cos 2 x - 1) = 0 15) B_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 16) D_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt: cos 3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 17) D_06. Gi¶i pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 18) A_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 19) B_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin 2 2x + sin7x - 1 = sinx 21) D_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (sin 2 x 2 + cos 2 x 2 ) 2 + 3 cosx = 2 22) C§_07. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sin 2 ( π 4 - 2x) + 3 cos4x = 4cos 2 x - 1 23) A_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 7π + = 4sin - x 3π sinx 4 sin x - 2    ÷      ÷   24) B_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 3 x - 3 cos 3 x = sinxcos 2 x - 3 sin 2 xcosx 25) D_08. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 26) C§_08. Gi¶i pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x - 10 - [...]... x2 x 2 11) lim ( 3x 2 ) 4x x 2 12) lim 2x + 2 3x + 1 x 1 x 1 x 1 x 2 3x + 2 2 2 13) lim x 2x + 6 x + 2x 6 14) lim x + 9 + x + 16 7 x 0 x 3 x x 2 4x + 3 3 2 3 15) lim x 2 + x x + 1 x 1 x2 1 0 Bài 3 Tìm các giới hạn(dạng ): 0 3 1) lim x + 7 x + 3 x 1 x 2 3x + 2 3 3) lim 1 + x 1 x x 0 x 3 2 3 5) lim 7 + x 3 + x x 1 x 1 Năm học 2009 - 2010 3 2) lim 2 1 + x 8 x x 0 x 3 4) lim x + 11 8x... một khác nhau và trong từ đó không có chữ "Ê" Bài 10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Bài 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ... k 10) 2 Bài 9: Tìm số nguyên dơng n sao cho: C 0 + 2C1 + 4C n + + 2 n C n = 243 n n n ( ) 2 2 4 4 2000 2000 Bài 10: CMR: C 0 C 2001 = 2 2000 2 2001 1 2001 + 3 C 2001 + 3 C 2001 + + 3 - 13 - Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 1 1 2 1 1) C 0 C1 + C n + ( 1) n Cn n n n 2 3 n+1 1 1 2 1 3 1 2) C 0 + C1 2 + C n 2 2 + C n 2 3 + + Cn 2n n n n 2 3 4 n+1 Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x... tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5? Bài 10 Một tập thể gồm 14 ngời gồm 6 nam và 8 nữ, ngời ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 ngời Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ? Bài 11 Một nhóm học sinh gồm 10 ngời, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ,... 1)(2n + 1) k) 2 2 + 4 2 + 6 2 + + (2n) 2 = với n N* 3 b) 3 + 9 + 27 + + 3n = Bài 2 Chứng minh rằng với mọi n N* ta có: a) n3 + 2n chia hết cho 3 b) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 c) n3 + 11n chia hết cho 6 d) 2n3 - 3n2 + n chia hết cho 6 e) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9 f) 32n + 1 + 2n + 2 chia hết cho 7 g) n7 - n chia hết cho 7 h) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 Bài 3 Chứng minh các bất đẳng... ngồi cùng 1 bàn Bài 4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập đợc bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số Bài 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập đợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2 - 11 - Bài 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau đợc viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài 7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam... y = x x 3 x 3) y = (x 2) x 2 + 1 4) y = x + 2 + 4 - x 5) y = 7) y = x 3 - 2x 2 + 1 x+1 2 6) y = x + 8) y = 4 - x2 x 2 + 1 + 1 - 2x 2 x +1 III Viết phơng trình tiếp tuyến của dồ thị tại một điểm 1 Bài 11 Cho hàm số y = x3 2x2 + 3x (C) 3 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 2 2) Chứng minh rằng là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất Bài 12 Cho hàm số y = -x3 + 3x . 2 2 sinx. 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. - 3 - C. Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1) sin3x = 1 2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x =. dơng sao cho k < n. Chứng minh rằng: 1 1 11 2 1 1 ++++= k k k k k n k n k n CC CCC VI) nhị thức newton: Bài 1: Chứng minh rằng: 1332 211 433323 =++++ nn n n n n n n n .nC.n C.C.C Bài. 1332 211 433323 =++++ nn n n n n n n n .nC.n C.C.C Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: ( ) ( ) ( ) 14109 111 x xx ++++++ ta sẽ đợc đa thức:P(x) = A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + + A 14 x 14 Hãy xác định hệ