Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình Phơng trình bậc nhất một ẩn I. Khái niệm về phơng trình. Phơng trình bậc nhất một ẩn. 1. Ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trình: a 2 x + b = a(x + b) Giải: a 2 x + b = a(x + b) a 2 x + b = ax + ab a 2 x ax = ab -b ax(a 1) = b(a -1) (1) Nếu 1,0 aa thì phơng trình có một nghiệm duy nhất Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x. Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng trình vô nghiệm khi 0 b . Ví dụ 2: Giải phơng trình: Giải: Phơng trình trên có hệ số bằng chữ ở mẫu thức. Điều kiện để phơng trình có nghĩa là 1 a . Với điều kiện này, phơng trình đã cho tơng với (a+x)(a+1) (a-x)(a 1) = 3a Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1) Nếu a 0, phơng trrình có nghiệm duy nhất Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x. Kết luận: Nếu 1,0 aa , phơng trình có nghiệm duy nhất Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x Nếu a = 1 , phơng trình vô nghiệm. Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình: a) 5(m + 3x)(x + 1) 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2. b) 3(2x + m)(3x + 2) 2(3x + 1) 2 = 43 có nghiệm x = 1. Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 04 107 309 105 311 103 313 101 315 =+ + + + xxxx b) 0 16 4 1 4 2 = + + + + a ax a ax a ax c) 3= + + c bax b acx a cbx d) 1 )1(2 1 12 1 1 1 1 4 2 4 = + + a xa a x a x a x II. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức. 1. Ví dụ 1 3 11 2 = + + a a a xa a xa a b x = 2 1 =x 2 1 =x Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình Ví dụ 3: Giải phơng trình: 116 68 14 2 41 3 2 + + = x x xx Giải: Nghiệm của phơng trình nếu có, phải thoả mãn điều kiện 4 1 x Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x) 14x = 7 x = 2 1 Giá trị này thoả mãn điều kiện trên. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2 1 Ví dụ 4: Giải phơng trình: )35)(51( 4 53 2 15 3 = + xxxx Giải: Điều kiện của nghiệm số, nếu có, là 5 3 ; 5 1 xx . Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(3 5x) + 2(5x 1) = 4 Giải phơng trình này, ta đợc x = 5 3 . Giái trị này không thảo mãn điều kiện. Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. Bài tập vận dụng Bài 3: Giải các phơng trình sau: a) )1( 3 1 1 1 1 2422 ++ = + ++ + xxxxx x xx x b) 168 1 )2(2 1 8 7 84 5 2 + =+ xxx x x xx x c) bxax b b ba bx ba ba a + + = + + 4222 d) )10)(( 10 10 111 ++ = + + + ++ xaxx x ax ax e) 2 4 3 3 = + + x x x ax Bài 4: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất? 11 1 2 2 2 2 =+ x x a x xax . III. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến. Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau: 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối: { A A A = 2. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b )0( a : Với A 0 Với A < 0 Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình Nhị thức cùng dấu với a khi x > a b , nhị thức trá dấu với a khi x < a b . Chứng minh: Xét a bax + = x + a b . Nếu x > a b thì x + a b > 0, do đó a bax + > 0, tức là ax + b cùng dấu với a. Nếu x < a b thì x + a b < 0, do đó a bax + < 0, tức là ax + b trái dấu với a. => ĐPCM Chú ý rằng a b là nghiệm của nhị thức. Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau: Nhị thức ax + b )0( a cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. 3. Ví dụ Ví dụ 5: Giải phơng trình: 723 =++ xx Giải: Lập bảng xét dấu ta đợc x -2 3 + x 3 - - 0 + x + 2 - 0 + + Nhìn trên bảng xét dấu ta có: + Nếu x < -2, thì x 3 < 0 => 3x = 3 x và x + 2 < 0 => 2+x = -(x + 2), khi đó phơng trình có dạng 3 x x 2 =7 <=> x = -3, thuộc khoảng đang xét. + Nếu 32 x , thì x 3 < 0 => 3x = 3 x và x + 2 > 0 => 2+x = x + 2, khi đó phơng trình có dạng 3 x + x + 2 = 7 <=> 0x = 2, phơng trình vô nghiệm + Nếu x > 3, thì x 3 > 0 => 3x = x 3 và x + 2 > 0 => 2+x = x + 2, khi đó phơng trình có dạng x 3 + x + 2 = 7 <=> x = 4, thuộc khoảng đang xét. Vậy phơng trình có nghiệm x 1 = -3; x 2 = 4. Ví dụ 6: Giải phơng trình: 594 =+ xx Giải: Cách 1: Lập bảng xét dấu x 4 9 + x 4 - 0 + + x 9 - - 0 + Nhì trên bang xét dấu ta có: + Nếu x < 4, thì x 4 < 0 => 4x = 4 x và x - 9 < 0 => 9x = 9 x, khi đó phơng trình có dạng 4 x + 9 x = 5 <=> x = 4, không thuộc khoảng đang xét. + Nếu 94 x , thì x 4 > 0 => 4x = x 4 và x - 9 < 0 => 9x = 9 - x, khi đó phơng trình có dạng x 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là 94 x . + Nếu x > 9, thì x 4 > 0 => 4x = x 4 và x - 9 > 0 => 9x = x - 9, khi đó phơng trình có dạng x 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét. Vậy phơng trình có nghiệm là 94 x . Cách 2: Viết phơng trình có dạng 594 =+ xx . Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình Chu ý rằng 5 chính là tổng của x 4 và 9 x. Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của hai biểu thức bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x 4)(9 x) 0. Giải bất phơng trình này ta đợc 94 x . Bài tập vận dụng Bài 5: Giải các phơng trình sau: a) 73 = xx b) xx =+ 53 c) 132 =+ xxx d) 0121 =++ xxx e) 31 +=+ xxxx f) 433221 =+ xxx IV. Phơng trình bậc cao giải bằng cách đa về phơng trình bậc nhất một ẩn Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn. 1. Ví dụ Ví dụ 7: Giải phơng trình: (x 1) 3 + x 3 + (x + 1) 3 = (x + 2) 3 Giải: Sau khi biến đổi phơng trình ta đợc. x 3 3x 2 3x 4 = 0 <=> x 3 1 3x 2 -3x 3 = 0 <=> (x 1)(x 2 + x + 1) -3(x 2 + x + 1) = 0 <=> (x 2 + x + 1)(x 4) = 0 Vì x 2 + x + 1 0, nên phơng trình có một nghiệm x = 4. Ví dụ 8: Giải phơng trình: (x + 2)(x 2)(x 2 10) = 72 Giải: (x 2 4) (x 2 10) = 72 Đặt x 2 7 = y, phơng trình trở thành (y + 3)(y - 3) = 72 <=> y 2 = 81 <=> y = 9 + Với y = 9 ta có x 2 7 = 9 <=> x = 4 + Với y = -9 ta có x 2 7 = - 9 <=> x 2 = -2, vô nghiệm. Vậy phơng trình có nghiệm là x = 4 * Chú ý: Trong cách giải trên ta đã đặt ẩn phụ. Khi giải phơng trình bậc bốn dạng: (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ta thờng đặt ẩn phụ y = x + 2 ba + . Khi giải phơng trình đối xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ta thờng đặt ẩn phụ y = x + x 1 . Ví dụ 9: Giải phơng trình: (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2. Giải: Đặt x + 4 = y, phơng trình trở thành: (y - 1) 4 + (y + 1) 4 = 2. Sau khi biến đổi ta đợc y 2 (y 2 + 6) = 0, do đó y = 0. Vậy x = -4. Ví dụ 10: Giải các phơng trình sau: a) 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0 b) x 4 3x 3 + 4x 2 3x + 1 = 0. Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình * Nhận xét: Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính đối xứng). Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì a 1 cũng là nghiệm. Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1. Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ y = x + x 1 . Giải: a) Biến đổi phơng trình thành (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0 Phơng trình có ba nghiệm: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = 2 1 b) Cách 1: Đa phơng trinh về dạng (x 1) 2 (x 2 x + 1) = 0. Phơng trình có một nghiệm x = 1. Cách2: Chia hai vế của phơng trình cho x 2 (Vì x 0)ta đợc: (x 2 + 2 1 x ) 3(x + x 1 ) + 4 = 0. Đặt y = x + x 1 thì x 2 + 2 1 x = y 2 2, ta đợc: y 2 3y + 2 = 0 nên y 1 = 1; y 2 = 2. Với y = 1, ta có x 2 x + 1 = 0, vô nghiệm Với y = 2 ta có x 2 2x + 1 = 0, nên x = 1. Vậy phơng trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 11: Giải phơng trình: x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 Giải: Ta thấy x 1 0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình. Nhân hai về của phơng trình với x 1 0 ta đợc x 5 1 = 0 hay x = 1, không thoả mãn điều kiện trên. Vậy phơng trình vô nghiệm Bài tập vận dụng Bài 6:Giải các phơng trình sau: a) x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 b) 9ax 3 -18x 2 4ax + 8 = 0 (a là tham số) c) x 3 + x 2 + 4 = 0 d) (x 1) 3 + (x +2) 3 = (2x + 1) 3 Bài 7: Giải các phơng trình bậc bốn: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 b) x(x 1)(x + 1)(x + 2) = 24 c) (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) = 72 d) (x 1)(x 3)(x + 5)(x + 7) = 297 e) (6x + 7) 2 (3x + 4)(x + 1) = 6 Bài 8: Giải các phơng trình sau: a) (x 2 4) 2 = 8x + 1 b) (x 2 4x) 2 + 2(x 2) 2 = 43 c) (x 2) 4 + (x 6) 4 = 82 d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 e) 2x 4 + x 3 6x 2 + x + 2= 0 Bài 9: Cho phơng trình x 3 (m 2 m + 7)x 3(m 2 m 2) = 0 a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1 b) Giải phơng trình ứng với các giá trị đó của m. Phần II Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc hai một ẩn. Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà không nói sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) cùng với một số ph- ơng pháp giải. A/ Lý thuyết: 1/ Công thức nghiệm: Cho phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ) (1) Ta có = b 2 4ac ( ' = b 2 ac) (1) vô nghiệm <=> < 0 ( ' < 0) (1) có nghiệm kép <=> = 0 ( ' = 0) x 1 = x 2 = a b 2 (x 1 = x 2 = a b' ) (1) có hai nghiệm phân biệt <=> > 0 ( ' > 0) x 1 = a b 2 + ( x 1 = a b '+ ) ; x 2 = a b 2 ( x 2 = a b ' ) (1) có nghiệm <=> 0 ( ' 0) 2/ Hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: S = x 1 + x 2 = a b và P = x 1 .x 2 = a c 3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai): Phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0 ). - Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = 1; x 2 = a c - Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = -1; x 2 = a c 4/ Hệ thức Vi ét đảo: Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0. ( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình bậc hai khi khi biết trớc hai nghiệm ) 5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ): Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0 Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=> { 0 0 > P Để PT (1) có hai nghiệm cùng dơng <=> > > 0 0 0 P S Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=> > < 0 0 0 P S B/ Bài tập Bài 1: Cho phơng trình: 2x 2 + mx 5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại. Bài 2: Cho phơng trình: x 2 + 2(m - 1)x 2m +5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình - 1 2 2 1 x x x x + = 2. - x 1 + x 2 + 2x 1 x 2 6. Bài 3: Cho phơng trình: x 2 2x + m + 2. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thảo mãn: - x 1 + x 2 + 2x 1 x 2 6. - x 1 + x 2 + 4x 1 x 2 = 10. Bài 4: Cho phơng trình: x 2 8x + m + 5 = 0. a) Giải phơng trình với m = 2. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng. c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các nghiệm trong trờng hợp này. Bài 5: Cho phơng trình: x 2 2(m + 1)x + 2m = 0. a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x 1 + x 2 x 1 x 2 không phụ thuộc vào m. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 - 3x 1 x 2 = 6 Bài 6: Cho phơng trình: x 2 (2m 1)x + m 2 m 2 = 0. a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2x 1 x 2 + x 1 + x 2 3 Bài 7: Cho phơng trình: x 2 + 2x + 2m + 5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x 1 2 + x 2 2 theo m. c) Tìm m để A = 10. d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y 1 = 2 1 x , y 2 = 1 1 x Bài 8: Cho phơng trình: x 2 + (m + 1)x + m = 0. a) Giải phơng trình với m = 3. b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 = 10. Bài 9: Cho phơng trình: x 2 2x + m 2 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 3 10 1 2 2 1 =+ x x x x Bài 10: Cho phơng trình: 3x 2 4x + m 1 = 0. a) Giải phơng trình với m = 6. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu? c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x 1 = 3x 2 . Bài 1 1 : Cho phơng trình: x 2 4x + m = 0. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 = 12. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 1 2 + x 2 2 Bài 12 : Cho phơng trình: x 2 3x - m + 2 = 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu? b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x 1 2 + x 2 2 = 8. d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1). Bài 13 : Cho phơng trình: x 2 2(a 1)x + 2a - 5 = 0. Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a. b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x 2 < 1 < x 1 Bài 1 4: Cho phơng trình: x 2 + (m +1)x + m - 1 = 0. a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để A = x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 4x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 1 5: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2121 22 xxxxA = . II/ Phơng trình tam thức. 1) Định nghĩa: Phơng trình tam thức là phơng trình có dạng: ax 2n + bx n + c = 0 (a 0) (1) trong đó a, b, c là các số thực, n nguyên dơng, n 2. 2) Ph ơng pháp giải: - Nếu a, b, c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (1) là phơng trình trùng phơng ma ta đã biết cách giải. - Nếu trờng hợp n > 2. Đặt x n = y, phơng trình (1) đa đợc về dạng { yx cbyay n = =++ 0 2 3) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trrình x 6 + 9x 3 8 = 0. Giải: Cách 1: Đặt x 3 = y, ta có phơng trình y 2 9y + 8 = 0. Phơng trình này có nghiệm y 1 = 1; y 2 = 8, từ đó ta tìm đợc x 3 = 1 và x 3 = 8, suy ra x = 1; x = 2. Cách 2: Phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử, vế phải bằng 0: - x 6 + 9x 3 8 = 0 <=> ( x 6 + x 3 ) + (8x 3 8) = 0 <=> -x 3 (x 3 - 1) + 8(x 3 1) = 0 <=> (x 3 - 1) (8 - x 3 ) = 0 Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoặc x = 2 Bài tập vận dụng Bài 16: Giải các phơng trình sau: a) x 6 7x 3 + 6 = 0 b) x 8 + x 4 + 2 = 0 c) x 8 17x 4 + 16 = 0 d) x 12 10x 6 + 24 = 0 e) x 10 + x 5 - 6 = 0 f) x 6 + x 4 + x 2 = 0 III/ Phơng trình đối xứng 1) Định Nghĩa: Một phơng trình đa thức: a 0 x n + a 1 x n 1 + + a n -1 x + a n = 0. Gọi là đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, nghĩa là: a n = a 0 ; a n 1 = a 1 ,, a n 2 = a 2 Tuỳ theo n là số chẵn hay số lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ. 2)Ví dụ Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x 4 + 3x 3 16x 2 + 3x + 2 = 0. (1) Nhận xét: Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 Phơng trình này không có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình x 2 0 rồi nhóm lại ta đợc: a(x 2 + 2 1 x ) + b(x + x 1 ) + c = 0. Đặt t = x + x 1 thì x 2 + 2 1 x = t 2 2. Sẽ dẫn đến phơng trình bậc hai at 2 + bt + c 2a = 0. Từ đó tính đợc t rồi tính đợc x theo phơng trình: x 2 tx + 1 = 0 để tìm đợc các giá trị của x. Trở lại ví dụ 2 tacó cách giải sau: Chia hai vế của phơng trình cho x 2 , rồi nhóm lại ta có: 2(x 2 + 2 1 x ) + 3(x + x 1 ) -16 = 0. Đặt t = x + x 1 => x 2 + 2 1 x = t 2 2, ta đợc phơng trình: 2t 2 + 3t 20 = 0. Phơng trình này có nghiệm t = -4 và t = 2 5 . Để tìm x ta giải hai phơng trình x + x 1 = -4 và x + x 1 = 2 5 , từ đó phơng trình có 4 nghiệm x 1,2 = -2 3 ; x 3 = 2 1 ; x 4 = 2. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x 5 + 3x 4 5x 3 5x 2 + 3x + 2 = 0 (2) Nhận xét: Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng: ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0. Phơng trình này có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình có nghiệm x = -1. Hạ bậc của phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne a b c c b a -1 a b - a a b c b - a a 0 Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax 4 + (b a)x 3 + (a b c)x 2 + (b a)x + a] = 0 Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn: ax 4 + (b a)x 3 + (a b c)x 2 + (b a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm của phơng trình. Giải: áp dụng nhận xét trên vào ví dụ 3 thì phơng trình (2) có thể viết nh sau: (x + 1)(2x 4 + x 3 6x 2 + x + 2) = 0. (Các bạn cũng có thể thực hiện phép chia hai vế của phơng trình (2) cho x + 1 để đợc phơng trình này). Ngoài nghiệm x = -1 ra để tìm tiếp các nghiệm của phơng trình (2), ta giải phơng trình 2x 4 + x 3 6x 2 + x + 2 = 0. Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn. Tiếp tục cách giải nh ví dụ 2, ta đợc x 1 = x 3 = 1, x 2 = - 0,5 và x 4 = - 2. Qua hai ví dụ trên ta thấy rằng: - Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng. - Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đôi một nghịch đảo của nhau. Nh vậy nếu a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì a 1 cũng là nghiệm của phơng trình. Vì lẽ đó các phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ). Bài tập vận dụng Bài 17: Giải các phơng trình sau: a) x 4 + 5x 3 12x 2 + 5x + 1 = 0. b) 6x 4 + 5x 3 38x 2 + 5x + 6 = 0. c) 6x 4 + 7x 3 36x 2 - 7x + 6 = 0. d) 6x 5 - 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 - 29x + 6 = 0. e) x 7 2x 6 + 3x 5 - x 4 - x 3 + 3x 2 - 2x + 1 = 0. VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao ở chơng trình toán sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc cao. ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao. 1. Phơng pháp đặt ẩn phụ. Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2010 CĐ: Phơng trình Thực ra phơng pháp nay đã đợc tôi đề cập đến ơ trên khi trình bày về phơng trình bậc nhât một ẩn. Song ở trên tôi cha đi sâu mà mới chỉ đa ra và đề cập đến những phơng trình đa về phơng trình bậc nhất một ẩn. ở đây tôi xin đa ra ở mức độ sâu hơn. Ví dụ 4: Giải phơng trình: (x 2 + x + 2) 2 12(x 2 + x + 2) + 35 = 0. (3) Giải: Thực chất phơng trình này ta rất rễ tìm ra cách đặt ẩn phụ ngay. Đặt x 2 + x + 2 = y, ta đợc phơng trình: y 2 12y + 35 = 0. Phơng trình này cho ta y = 5 và y = 7. - Với y = 5, ta có x 2 + x + 2 = 5 phơng trình này cho ta hai nghiệm 2 131 2,1 =x - Với y = 7, ta có x 2 + x + 2 = 7 phơng trình này cho ta hai nghiệm 2 211 4,3 =x Vậy phơng trình (3) có 4 nghiệm 2 131 2,1 =x ; 2 211 4,3 =x Ví dụ 5: Giải phơng trình: (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2 . (4) Nhân xét: Phơng trình trên có dạng: (x a)(x b)(x c)(x d) = Ax 2 , trong đó ad = bc. Để giải phơng trình này ta đặt ẩn phụ x ad xy += . Giải: Ta biến đổi phơng trình (4) về dạng: (x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) 4x 2 . Phơng trình không có nghiệm x = 0; chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 0, ta đợc: (x + 14 + x 24 )(x + 11 + x 24 ) = 4. Đặt y = x + x 24 rồi đa phơng trình về dạng (y + 14)(y + 11) = 4 hay y 2 + 25y + 150 = 0. Suy ra y 1 = -15; y 2 = -10. Từ đó suy ra x 2 + 15x + 24 = 0 hoặc x 2 + 10x + 24 = 0. Hai phơng trình này cho các nghiệm: 2 12915 1 =x ; 2 12915 2 + =x ; x 3 = -6; x 4 = -4. Ví dụ 6: Giải phơng trình: (6 x) 4 + (8 x) 4 = 16 (5). Nhân xét: Phơng trình này có dạng: (x a) 4 + (x b) 4 = A. Để giải phơng trình nay ta dùng phép đặt ẩn phụ. Đặt y = 2 bxax + = x - 2 ba + . Giải: Dặt y = 2 86 xx + = 7 x, rồi đa phơng trình (5) về dạng: y 4 6y 2 7 = 0. Đây là phơng trình trùng phơng, ta rễ ràng tìm ra nghiệm y 1 = 1; y 2 = 8 rồi suy ra x 1 = 8; x 2 = 6. Chú ý: Phơng trình còn có dạng: (x + a) 4 + (x + b) 4 = A, để giải phơng trình dạng nay ta cũng đặt y = 2 bxax +++ = x + 2 ba + và cũng giải tơng tự nh trên. 2. Phơng pháp đa về phơng trình tích Ví dụ 7: Giải phơng trình: x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 3x 1 = 0 (6). Giải: Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phơng đúng rồi sử dụng công thức A 2 B 2 = (A B)(A + B) để biến vế trái thành tích. [...]... 2x3 + xy 7 = 0 x(2x2 + y) = 7 = 7.1 = 1.7 = -7 . (-1 ) = -1 . (-7 ) Vì x, y Z => 2x2 + y Z, do đó có 4 trờng hợp xẩy ra Giải 4 trờng hợp đó ta đợc nghiệm của phơng trình là: (1;5); (-1 ;-9 ); (7 ;-9 7); (-7 ;-9 9) Giải: Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: xy = x + y xy = x + y xy x y = 0 xy x y + 1 = 1 (x 1)(y 1) = 1 = 1.1 = -1 . (-1 ) Vì x, y Z => x 1 và y 1 Z Nên có 2 khả năng... có: x + x =8 x 1 2 x x x2 + 2x + x - 2x =8 x 1 x 1 x 1 2 2 x2 x x + 2 x2 =8 x 1 2 2 2 x 2 x = 8 x 1 x 1 2 Đặt y = x , ta có phơng trình y2 2y 8 = 0 Giải phơng trình này có nghiệm y = -2 ; y = 4; từ đó x 1 suy ra x1 = 2; x2 = -1 + 3 ; x3 = -1 - 3 Vậy phơng trình (9) có nghiệm là: x1 = 2; x2 = -1 + 3 ; x3 = -1 - 3 Ví dụ 11: Giải phơng trình: 2 2 x 4 x2... các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thứ ta có hệ sau: p + r = -4 và s + p + qr = -1 0 và ps + qr = 37 và qs = -1 4 Giải hệ phơng trình này ta đợc p = -5 ; q = 2; s = -7 ; r = 1 do đó phơng trình (7) trở thành: ( x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7 ) = 0 Giải hai phơng trình bậc hai x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x 7 = 0, ta đợc nghiệm của phơng trình (7) là: x1, 2 = 5 17 ; x 3, 4 = 1... (x;y) = (1;1) Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2 010 CĐ: Phơng trình Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 xy + y2 = 3 (2) 2 xy + y2 = 3 Giải: x 2 2 y x = 3 3 y 2 4 2 2 Vì x y 0 => 3 3 y 0 => 2 y 2 2 4 => y { 2;1;0;1;2} Lần lợt thay y vao (2) để tính x ta đợc các nghiệm của phơng trình là: (-2 ;2); (1;2); (-2 ;1); (2;1); (-1 ;1); (1 ;-1 ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng... dng HSG lp 2009 -2 010 CĐ: Phơng trình x 1=1 +) y 1=1 Giải hai trờng hợp trên ta đợc nghiệm của phơng trình là: (2;2); (0;0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 3xy 3 = 5x + 2y (1) Giải: 3xy 3 = 5x + 2y 3xy 5x 2y 3 = 0 9xy 15x 6y 9 = 0 (nhân cả hai vế của phơng trình với 3) 3x(3y 5) 2(3y 5) = 19 (3y 5)(3x 2) = 19 = 1.19 =19.1 =-1 9. (-1 ) = -1 . (-1 9) Có 4 khả năng... = 1 => x = z = 1 thay vào (3) ta đợc y + 2 = 0 vô lý (loại) * Nếu xz = 2 Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2 010 CĐ: Phơng trình - Với x = 1; z = 2 thay vào (3) ta đợc y = 2 (thoả mãn) - Với x = 2; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 3 (thoả mãn) * Nếu xz = 3 - Với x = 1; z = 3 thay vào (3) ta đợc y = 1 (thoả mãn) - Với x = 3; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 2 (không thoả mãn vì x y) Vậy nghiệm nguyên dơng của (3)... nghiệm nguyên: Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2 010 CĐ: Phơng trình 6x2 + 5y2 = 74 (1) Giải: Vì 5y2 0 với mọi y Từ (1) => 6x2 74 => x2 12,3 Mà x2 N, nên x2 { 0,1,4,9} - Với x2 = 0 => x = 0 thay vào (1) không tìm đợc giá trị nào của y - Với x2 = 1 => x = 1 thay vào (1) không tìm đợc giá trị nào của y - Với x2 = 4 => x = 2 thay vào (1) tìm đợc y2 = 10 (loại) - Với x2 = 9 => x = 3 thay vào (1) tìm đợc... +1) = -x3 x(2x + 1 + x2) = 0 x(x + 1)2 = 0 x1 = 0; x2= -1 Thử lại: - với x1 = 0 thảo mãn (1) - với x2 = -1 không thoả mãn (1), loại Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 0 Nhận xét: Các phơng trình (1) và (2) hai tơng đơng, nhng các phơng trình (2) và (3) không tơng đơng Từ (2) ruy ra đợc (3), nhng từ (3) không suy ra đợc (2) Do đó sau khi tìm đợc các nghiệm của (3) là 0 và -1 , phải... + 7 x + 7 = 2 Đặt x 2 + 7 x + 7 = y (y 0) thì (8) x 2 + 7 x + 7 = y2 PT (8) có dạng: 3y2 + 2y 5 = 0 y = 5 (loại); y = 1 (thoả mãn) 3 - Với y = 1 thì x 2 + 7 x + 7 = 1 x 2 + 7 x + 6 = 0 x1 = -1 ; x2 = -6 Vậy phơng trình (7) có nghiệm: x1 = -1 ; x2 = -6 Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ nh hai phơng trình trên đã làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ Ví dụ 8: Giải phơng trình: 3 (9) 2 x +1... x 2 Giải: Ta có Vế trái (VT): 3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 Ti liu bi dng HSG lp 2009 -2 010 = 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 CĐ: Phơng trình 4 + 9 = 5 Vế phải (VP): 4 2 x x 2 = 5 (x + 1)2 5 Vậy để VT = VP khi và chỉ khi hai vế của (11) đều bằng 5, khi đó x = -1 Vậy phơng trình (11) có nghiệm x = -1 3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 11: Giải phơng trình: 3 (12) 2 x +1 + 3 x = 1 Bằng . = 7.1 = 1.7 = -7 . (-1 ) = -1 . (-7 ) Vì x, y Z => 2x 2 + y Z, do đó có 4 trờng hợp xẩy ra. Giải 4 trờng hợp đó ta đợc nghiệm của phơng trình là: (1;5); (-1 ;-9 ); (7 ;-9 7); (-7 ;-9 9). Ví dụ 2:. phơng trình này có nghiệm y = -2 ; y = 4; từ đó suy ra x 1 = 2; x 2 = -1 + 3 ; x 3 = -1 - 3 . Vậy phơng trình (9) có nghiệm là: x 1 = 2; x 2 = -1 + 3 ; x 3 = -1 - 3 . Ví dụ 11: Giải phơng. sau: p + r = -4 và s + p + qr = -1 0 và ps + qr = 37 và qs = -1 4. Giải hệ phơng trình này ta đợc p = -5 ; q = 2; s = -7 ; r = 1 do đó phơng trình (7) trở thành: ( x 2 - 5x + 2) ( x 2 + x - 7 ) = 0.