ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 TOÁN CAO C P A1 CAO Đ NG PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH S ti t: 45 Chương Hàm số biến số Chương Phép tính vi phân hàm biến số Chương Phép tính tích phân hàm biến số Chương Chuỗi số Chương Đại số tuyến tính Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp (bậc Cao đẳng) – ĐH Công nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp Tập 1, (Dùng cho SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục Biên so n: ThS Đoàn Vương Nguyên ThS Đoà T i Slide gi ng Toán A1 CĐ t i Toá A1 dvntailieu.wordpress.com §1 §2 §3 §4 Chương Hàm s m t bi n s Bổ túc hàm số Giới hạn hàm số Đại lượng vô bé – vơ lớn Hàm số liên tục …………………………… §1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) hàm số Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) f, ký hiệu Df, tập X – Miền giá trị (MGT) f là: G = y = f (x ) x ∈ X { } Chương Hàm s m t bi n s Nhận xét – Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung – Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 1.1.2 Hàm số hợp • Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f Khi đó, hàm số h(x ) = ( f hàm số hợp f g Chú ý (f g )(x ) = f [g(x )] gọi g )(x ) ≠ (g f )(x ) VD Hàm số y = 2(x + 1)2 − x − hàm hợp f (x ) = 2x − x g(x ) = x + Toán cao c p A1 Cao đ ng Chương Hàm s m t bi n s – Nếu f (x1 ) = f (x ) ⇒ x1 = x f đơn ánh – Nếu f(X) = Y f toàn ánh – Nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh f song ánh VD a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x đơn ánh b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x toàn ánh c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x song ánh • Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn nếu: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df • Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ nếu: f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df Chương Hàm s m t bi n s 1.1.3 Hàm số ngược • Hàm số g gọi hàm số ngược f, ký hiệu g = f −1 , x = g(y ), ∀y ∈ G f Nhận xét – Đồ thị hàm số y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị hàm số y = f (x ) qua đường thẳng y = x VD Cho f (x ) = 2x f −1(x ) = log2 x , x > ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Hàm s m t bi n s 1.2 Hàm số lượng giác ngược 1.2.1 Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = sin x có hàm ngược  π π f −1 : [−1; 1] → − ;   2   x ֏ y = arcsin x  π π − ;   2   VD arcsin = ; π arcsin(−1) = − ; π arcsin = Chương Hàm s m t bi n s 1.2.2 Hàm số y = arccos x • Hàm số y = cos x có hàm ngược [0; π] f −1 : [−1; 1] → [0; π] x ֏ y = arccos x π VD arccos = ; arccos(−1) = π ; arccos π −1 2π = ; arccos = Chú ý arcsin x + arccos x = Chương Hàm s m t bi n s 1.2.3 Hàm số y = arctan x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược − ;     2     π π −1 f : ℝ → − ;      2   x ֏ y = arctan x VD arctan = ; π arctan(−1) = − ; π arctan = Quy ước arctan (+∞) = π π , arctan (−∞) = − 2 Chương Hàm s m t bi n s 1.2.4 Hàm số y = arccot x • Hàm số y = cot x có hàm ngược (0; π) f −1 : ℝ → (0; π) x ֏ y = arc cot x π VD arc cot = ; 3π arc cot(−1) = ; π arc cot = Quy ước arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π Chương Hàm s m t bi n s §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → x ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho trước ta tìm δ > x →x cho < x − x < δ f (x ) − L < ε Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → x ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = L , dãy {xn} (a ; b ) \ {x } mà x →x x n → x lim f (x n ) = L n →∞ Toán cao c p A1 Cao đ ng π , ∀x ∈ [−1; 1] Chương Hàm s m t bi n s Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → +∞ , ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho trước ta tìm x →+∞ N > đủ lớn cho x > N f (x ) − L < ε • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho x →−∞ trước ta tìm N < có trị tuyệt đối đủ lớn cho x < N f (x ) − L < ε Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn +∞ x → x , ký hiệu lim f (x ) = +∞ , ∀ M > lớn tùy ý cho trước ta x →x0 tìm δ > cho < x − x < δ f (x ) > M ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Hàm s m t bi n s Chương Hàm s m t bi n s • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , ∀ M < có trị x →x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm δ > cho < x − x < δ f (x ) < M Định nghĩa (giới hạn phía) • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x → x với x > x ta nói f(x) có giới hạn phải x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L lim f (x ) = L x →x0 +0 x →x+ • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vơ cùng) x → x với x < x ta nói f(x) có giới hạn trái x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L lim f (x ) = L x → x −0 x →x− Chú ý lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L x →x0 x →x x→x 0 2.2 Tính chất Cho lim f (x ) = a lim g (x ) = b Khi đó: x →x x →x 1) lim [C f (x )] = C a (C số) x →x 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b x →x 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ; x →x f (x ) a = , b ≠ 0; g (x ) b 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) a ≤ b 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) lim f (x ) = lim g (x ) = L lim h (x ) = L 4) lim x →x x →x x →x Chương Hàm s m t bi n s Chương Hàm s m t bi n s Định lý • Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: x →x 2) Xét L = lim lim [u(x )]v (x ) = a b A L = ; B L = ; C L = 1; D L = Các kết cần nhớ 1 1) lim = −∞, lim = +∞ − + x →0 x x →0 x  x  1 +  = lim (1 + x )x = e lim    x →±∞  x →0 x  Chương Hàm s m t bi n s 2x   3x  VD Tìm giới hạn L = lim 1 +      x →∞  2x +  B L = e ; C L = e ; ( VD Tìm giới hạn L = lim + tan2 x + x →0 A L = ∞ ; B L = 1; C L = e ; §3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN D L = ) 4x 3.1 Đại lượng vơ bé a) Định nghĩa • Hàm số α(x ) gọi đại lượng vô bé (VCB) x → x lim α(x ) = (x0 vơ cùng) x →x D L = e ( ) VD α(x ) = tan3 sin − x VCB x → 1− ; β(x ) = Toán cao c p A1 Cao đ ng , ta có: an Chương Hàm s m t bi n s A L = ∞ ; + bm−1x m−1 + + b0 n = m ; bn b) L = n < m ; c) L = ∞ n > m sin αx tan αx 3) lim = lim = αx → α x αx → αx 4) Số e: a) L = x →x  2x  VD Tìm giới hạn L = lim      x →∞  x +   an x n + an −1x n −1 + + a0 x →∞ b x m m x →x 2x x −1 x →x ln2 x VCB x → +∞ ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Hàm s m t bi n s Chương Hàm s m t bi n s c) So sánh VCB • Định nghĩa b) Tính chất VCB 1) Nếu α(x ), β(x ) VCB x → x α(x ) ± β(x ) α(x ).β(x ) VCB x → x Cho α(x ), β(x ) VCB x → x , lim x →x 2) Nếu α(x ) VCB β(x ) bị chận lân cận x α(x ).β(x ) VCB x → x 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), α(x ) x →x VCB x → x Chương Hàm s m t bi n s α(x ) = k β(x ) Khi đó: – Nếu k = , ta nói α(x ) VCB cấp cao β(x ), ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) VCB cấp thấp β(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) β(x ) VCB cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói α(x ) β(x ) VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) Chương Hàm s m t bi n s VD • − cos x VCB cấp với x x → vì: x sin − cos x = lim = lim 2 x →0 x →0 x x  4     2   • Tính chất VCB tương đương x → x0 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )) 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) α(x ) ∼ γ(x ) 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) α1(x )α (x ) ∼ β1(x )β2(x ) 4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) α(x ) + β(x ) ∼ β(x ) • sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 x → • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho α(x ), β(x ) tổng VCB khác cấp x → x α(x ) lim giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →x β(x ) tử mẫu Chương Hàm s m t bi n s VD Tìm giới hạn L = lim x →0 x − cos x + x4 + x2 Chương Hàm s m t bi n s VD Tính giới hạn L = lim x →0 • Các VCB tương đương cần nhớ x → 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; 3) arcsin x ∼ x ; x2 5) − cos x ∼ ; 8) n + x − ∼ x →0 4) arctan x ∼ x 7) ln(1 + x ) ∼ x ; VD Tính L = lim 6) e − ∼ x ; x x n Chú ý Nếu u(x ) VCB x → ta thay x u(x ) cơng thức Tốn cao c p A1 Cao đ ng sin ( ln(1 − 2x sin2 x ) sin x tan x ) x + − + x − tan2 x sin x + 2x Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng cho hiệu tổng VCB chúng làm triệt tiêu tử mẫu phân thức e x + e −x − (e x − 1) + (e −x − 1) VD lim = lim x →0 x →0 x2 x2 x + (−x ) = lim = (Sai!) x →0 x2 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Hàm s m t bi n s 3.2 Đại lượng vơ lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) gọi đại lượng vô lớn (VCL) x → x lim f (x ) = ∞ (x0 vơ cùng) x →x VD cos x + VCL x → ; 2x − sin x x3 + x −1 VCL x → +∞ x − cos 4x + Nhận xét Hàm số f (x ) VCL x → x VCB x → x f (x ) Chương Hàm s m t bi n s b) So sánh VCL • Định nghĩa Cho f (x ), g(x ) VCL x → x , lim x →x Khi đó: – Nếu k = , ta nói f (x ) VCL cấp thấp g(x ) – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) VCL cấp cao g(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) g(x ) VCL cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói f (x ) g(x ) VCL tương đương Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) Chương Hàm s m t bi n s VD • x → vì: 2x + x 3  2x + x x   lim  :  = lim = lim = ∞   x 2x + x   x →0  x →0 x →0 x x x VCL khác cấp với 3 • x + x − ∼ x x → +∞ Chương Hàm s m t bi n s • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) g(x) tổng VCL khác cấp x → x f (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao x →x g(x ) tử mẫu VD Tính giới hạn: x − cos x + x − 2x + A = lim ; B = lim x →∞ x →+∞ 3x + 2x x − sin2 x Chương Hàm s m t bi n s §4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa • Số x ∈ D f gọi điểm cô lập f(x) ∃ε > : ∀x ∈ (x − ε; x + ε) \ {x } x ∉ Df • Hàm số f(x) liên tục x0 lim f (x ) = f (x ) x →x • Hàm số f(x) liên tục tập X f(x) liên tục điểm x ∈ X Quy ước • Hàm số f(x) liên tục điểm cô lập f(x) Toán cao c p A1 Cao đ ng f (x ) =k g(x ) Chương Hàm s m t bi n s 4.2 Định lý • Tổng, hiệu, tích thương hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 • Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn 4.3 Hàm số liên tục phía • Định nghĩa Hàm số f(x) gọi liên tục trái (phải) x0 lim f (x ) = f (x ) ( lim f (x ) = f (x )) − x →x + x →x • Định lý Hàm số f(x) liên tục x0 lim f (x ) = lim f (x ) = f (x ) − x →x + x →x ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Hàm s m t bi n s  tan2 x + sin2 x   , x >0 VD Cho hàm số f (x ) =   2x   α, x ≤    Giá trị α để hàm số liên tục x = là: A α = ; B α = ; C α = 1; D α = 2   ln(cos x )  ,x ≠0  VD Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x   2α − 3, x =    Giá trị α để hàm số liên tục x = là: 17 17 3 A α = ; B α = − ; C α = − ; D α = 12 12 2 §1 §2 §3 §4 §5 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Đạo hàm Vi phân Các định lý hàm khả vi – Cực trị Công thức Taylor Quy tắc L’Hospital ……………………………………………………… §1 ĐẠO HÀM 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận (a ; b) x ∈ (a ; b ) Giới hạn: f (x + ∆x ) − f (x ) ∆y lim = lim ∆x → ∆ x ∆x → ∆x (nếu có) gọi đạo hàm y = f (x ) x Ký hiệu f ′(x ) hay y ′(x ) Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé c) Đạo hàm vô ∆y • Nếu tỉ số → ∞ ∆x → ta nói y = f (x ) có ∆x đạo hàm vơ x • Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm vơ phía VD Cho f (x ) = x ⇒ f ′(0) = ∞, f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ Chú ý Nếu f (x ) liên tục có đạo hàm vơ x tiếp tuyến x đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy Toán cao c p A1 Cao đ ng Chương Hàm s m t bi n s 4.4 Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số f (x ) không liên tục x x gọi điểm gián đoạn f (x ) • Nếu tồn giới hạn: − + lim f (x ) = f (x ), lim f (x ) = f (x ) − x →x − f (x ), + x →x + f (x ) f (x ) không đồng thời ta nói x điểm gián đoạn loại Ngược lại, x điểm gián đoạn loại hai …………………………………………………………………………… Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Nhận xét Do ∆x = x − x nên: f ′(x ) = lim f (x ) − f (x ) x →x x − x0 b) Đạo hàm phía Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận phải f (x ) − f (x ) (x ; b ) x Giới hạn lim (nếu có) + x − x0 x →x gọi đạo hàm bên phải y = f (x ) x + − Ký hiệu f ′(x ) Tương tự, f ′(x ) Nhận xét Hàm số f (x ) có đạo hàm x0 − + f ′(x ) = f ′(x ) = f ′(x ) Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương hai hàm số: (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ; ′ k   u ′ u ′v − uv ′    = −kv ′ , k ∈ ℝ ;   =         v  v   v v2 2) Đạo hàm hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) 3) Đạo hàm hàm số ngược y = y(x ): x ′(y ) = y ′(x ) ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ( )′ = α.x α−1 ; 3) (sin x )′ = cos x ; 5) (tan x )′ = cos x = + tan2 x ; 2) ( sin2 x • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số x = x (t ), y = y(t ) Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược hàm số ngược có đạo hàm thì: y′ y ′(t ) ′ y ′(x ) = hay yx = t x ′(t ) x t′  x = 2t −  VD Tính y ′(x ) hàm số cho  , t ≠ y = 4t    x = et   ′ VD Tính yx (1) hàm số cho   y = t − 2t   Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD Tính f (n )(x ) hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 x − 3x − 10) loga x ( 1− x2 x )′ = x ln a ; ; 12)(arccos x )′ = ; 14) (arc cot x )′ = −1 − x2 ; ; Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1 )′ = x ; 11) (arcsin x )′ = 1.3 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số 8) a x 9) ln x 4) (cos x )′ = − sin x ; VD Tính y (n ) hàm số y = = ex ; 7) e x ( x )′ = 1x ; 6) (cot x )′ = − ( )′ = a ln a ; ( ) Đạo hàm số hàm số sơ cấp 1) x α ′ 13) (arctan x )′ = 1 + x2 −1 + x2 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1.4 Đạo hàm cấp cao • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) f ′(x ) có đạo hàm ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) đạo hàm cấp hai f (x ) • Tương tự ta có: ′ f (n )(x ) = f (n −1)(x ) đạo hàm cấp n f (x ) ( ) VD Cho hàm số f (x ) = sin x Tính đạo hàm f (6)(0) A f (6)(0) = 32 ; B f (6)(0) = −32 ; C f (6)(0) = −16 ; D f (6)(0) = Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1.5 Đạo hàm hàm số ẩn • Cho phương trình F (x , y ) = (*) Nếu y = y(x ) hàm số xác định khoảng cho y(x ) vào (*) ta đồng thức y(x ) gọi hàm số ẩn xác định (*) ′ • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta Fx′ + Fy′.yx = ′ Vậy yx = − Fx′ , F ′ ≠ Fy′ y ′ y ′(x ) = yx gọi đạo hàm hàm số ẩn y(x ) Toán cao c p A1 Cao đ ng ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định xy − e x + e y = Tính y ′(x ) VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: §2 VI PHÂN 2.1 Vi phân cấp • Hàm số y = f (x ) gọi khả vi x ∈ D f ∆f (x ) = f (x + ∆x ) − f (x ) biểu diễn xy − e x + ln y = (*) Tính y ′(0) ∆f (x ) = A.∆x + 0(∆x ) dạng: với A số 0(∆x ) VCB ∆x → VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: y ln x + y = arctan Tính y ′(x ) x Chú ý Ta xem hàm ẩn y(x ) hàm hợp u(x ) thực đạo hàm hàm số hợp Nhận xét VD 10 Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ y + (x + 1)y + x = Tính y ′(x ) Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ∆f (x ) ∆x =A+ 0(∆x ) ∆x Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ∆f (x ) 2.2 Vi phân cấp cao • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n ∆x   →0  A ⇒ f ′(x ) = A  → ∆x ⇒ df (x ) = f ′(x ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x • Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x ⇒ Khi đó, đại lượng A.∆x gọi vi phân hàm số y = f (x ) x0 Ký hiệu df (x ) hay dy(x ) d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n gọi vi phân cấp n hàm y = f (x ) Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx VD Tính vi phân cấp hàm số y = ln(sin x ) VD Tính vi phân cấp f (x ) = x 2e 3x x = −1 VD Tính vi phân cấp n hàm số y = e 2x VD Tính vi phân cấp y = arctan(x + 1) VD Tính vi phân cấp f (x ) = tan x x = VD Tính vi phân cấp hàm số y = ln(arcsin x ) Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1 Các định lý 3.1.1 Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định (a ;b ) có đạo hàm x ∈ (a ;b ) Nếu f (x ) đạt giá trị lớn (hoặc bé nhất) x (a ;b) f ′(x ) = 3.1.2 Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục [a ;b ] khả vi (a ;b ) Nếu f (a ) = f (b ) ∃c ∈ (a ;b ) cho f ′(c ) = Toán cao c p A1 Cao đ ng π Chú ý Khi x hàm số độc lập với y cơng thức d ny = y (n )dx n khơng cịn Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.1.3 Định lý Cauchy Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục [a ;b ], khả vi (a;b ) g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b) Khi đó, ∃c ∈ (a;b) cho: f (b) − f (a ) f ′(c) = g(b) − g(a ) g ′(c) 3.1.4 Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục [a ;b ], khả vi (a;b ) Khi đó, ∃c ∈ (a;b) cho: f (b ) − f (a ) = f ′(c ) b −a ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.2 Cực trị hàm số 3.2.1 Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số f (x ) liên tục trong (a;b ) Khi đó: • f (x ) gọi tăng (đồng biến) (a;b ) f (x1 ) − f (x ) > , ∀x1, x ∈ (a ;b) x1 ≠ x x1 − x • f (x ) gọi giảm (nghịch biến) (a;b ) f (x1 ) − f (x ) < , ∀x1, x ∈ (a;b ) x1 ≠ x x1 − x • f (x ) gọi đơn điệu (a;b ) f (x ) tăng hay giảm (a;b ) • Nếu f (x ) đơn điệu (a;b ) liên tục (a;b ] f (x ) đơn điệu (a;b ] (trường hợp khác tương tự) b) Định lý Cho hàm số f (x ) khả vi trong (a;b) Khi đó: • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) f (x ) tăng (a;b ) • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) f (x ) giảm (a;b ) VD Tìm khoảng đơn điệu y = ln(x + 1) x2 + VD Tìm khoảng đơn điệu f (x ) = (x − 1)2 VD Tìm khoảng đơn điệu y = x − 2x VD Tìm khoảng đơn điệu y = e x −4 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.2.2 Cực trị a) Định nghĩa Nếu f (x ) liên tục (a ;b) chứa x f (x ) < f (x ) hay f (x ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b ) \ {x } f (x ) đạt cực tiểu hay cực đại x b) Định lý Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n (a ;b) chứa x 3.2.3 Giá trị lớn – giá trị nhỏ a) Định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D X ⊂ D • Số M gọi giá trị lớn f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = M f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X Ký hiệu là: M = max f (x ) thỏa f ′(x ) = = f (2n −1)(x ) = f (2n )(x ) ≠ • Nếu f (2n )(x ) > f (x ) đạt cực tiểu x x ∈X • Nếu f (2n )(x ) < f (x ) đạt cực đại x VD Tìm cực trị (nếu có) f (x ) = x , f (x ) = x Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé • Nếu M = max f (x ) m = f (x ) thì: x ∈X x ∈X m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X b) Phương pháp tìm max – Hàm số liên tục đoạn [a; b] Cho hàm số y = f (x ) liên tục đoạn [a; b ] Để tìm max f (x ) f (x ), ta thực bước sau: x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] • Bước Giải phương trình f ′(x ) = Giả sử có n nghiệm x 1, , x n ∈ [a; b ] (loại nghiệm ngồi [a; b ]) • Bước Tính f (a ), f (x ), , f (x n ), f (b) • Bước Giá trị lớn nhất, nhỏ giá trị tính giá trị max, tương ứng cần tìm Tốn cao c p A1 Cao đ ng x ∈X • Số m gọi giá trị nhỏ f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = m f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X Ký hiệu là: m = f (x ) Chú ý • Hàm số khơng đạt max X ⊂ D Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x ) = x − x − x + đoạn [0; 2] Chú ý • Nếu đề chưa cho đoạn [a; b ] ta phải tìm MXĐ hàm số trước làm bước • Có thể đổi biến số t = t (x ) viết y = f (x ) = g(t (x )) Gọi T miền giá trị hàm t (x ) thì: max f (x ) = max g(t ), f (x ) = g(t ) x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T VD Tìm max, f (x ) = −x + 5x + sin x + VD Tìm max, y = sin x + sin x + ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Hàm số liên tục khoảng (a; b) Cho hàm y = f (x ) liên tục (a; b) (a, b ∞ ) 2) Nếu min{f (x ), , f (x n )} < min{L1, L2 } f = min{f (x ), , f (x n )} Để tìm max f (x ) f (x ), ta thực bước: 3) Nếu khơng thỏa 1) (hoặc 2)) hàm số không đạt max (hoặc min) x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) • Bước Giải phương trình f ′(x ) = Giả sử có n nghiệm x 1, , x n ∈ [a; b ] (loại nghiệm ngồi [a; b ]) • Bước Tính f (x ), , f (x n ) hai giới hạn L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ) + − x →a x →b • Bước Kết luận: 1) Nếu max{f (x ), , f (x n )} > max{L1, L2 } max f = max{f (x ), , f (x n )} x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số x3 f (x ) = khoảng (1; +∞) x −1 Chú ý Ta lập bảng biến thiên f (x ) thay cho bước x VD 10 Tìm max, f (x ) = x + −1 …………………………………………………………………… Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 4.1 Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano • Cho hàm f (x ) liên tục [a ; b ] có đạo hàm đến cấp n + (a ; b ) với x , x ∈ (a ; b) ta có: f (k )(x ) k =0 f (x ) = n k! ∑ n b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano x = gọi khai triển Maclaurin Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ = + x + x + + x n + 0(x n ) 1) 1−x x x2 xn 2) e x = + + + + + 0(x n ) 1! 2! n! x x2 x3 x4 3) ln(1 + x ) = − + − + + 0(x n ) x2 x4 x6 + − + + 0(x n ) 2! ! 6! x x3 x5 x7 5) sin x = − + − + + 0(x n ) 1! 3! 5! ! 4) cos x = − Toán cao c p A1 Cao đ ng f (k )(0) k x + O(x n ) k! k =0 n f (x ) = ∑ • Khai triển Maclaurin viết lại: (x − x ) + O((x − x ) ) k Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Vậy: §4 CƠNG THỨC TAYLOR f (x ) = f (0) + f / (0) f // (0) x+ x + 1! 2! (n ) f (0) n + x + O(x n ) n! VD Khai triển Maclaurin f (x ) = tan x đến x Chương Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chú ý • Nếu u(x ) VCB x → ta thay x cơng thức u(x ) VD Khai triển Maclaurin hàm số y = 1 + 3x đến x VD Khai triển Maclaurin y = ln(1 − 2x ) đến x VD Khai triển Maclaurin hàm số y = 2x đến x VD Cho hàm số f (x ) = x cos 2x Tính f (7)(0) 10 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé VD 15 Tích phân suy rộng I = ∫ Chương Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé α x +1 (x + 1)sin x phân kỳ khi: 1 A α ≤ −1; B α ≤ − ; C α ≥ − ; 2 dx D α ∈ ℝ Chú ý • Cho I = I + I với I , I , I tích phân suy rộng ta có: 1) I I hội tụ ⇒ I hội tụ I → −∞ ( phân kỳ ) I   2)     I ≤ I     I phân kỳ  I I → −∞ ( phân kỳ )  3)     I > I     chưa thể kết luận I phân kỳ VD 16 I = xα + ∫ x sin x → +∞ ( phân kỳ ) ≥0 → +∞ ( phân kỳ ) Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ∞ Vậy ∑ aq n −1 hội tụ ⇔ q < n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ chuỗi số hội tụ có tổng S , ta ghi ∞ VD Xét hội tụ chuỗi nhân ∞ n =1 • q ≠ 1: Sn = u1 − qn − qn = a 1−q −q Chương Lý thuy t chu i 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ∞ • Nếu chuỗi ∑ un n =1 hội tụ lim un = , n →∞ n →∞ ∞ ∑ un phân kỳ n =1 n =1  1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ ln 1 +      n   n =1 ∞ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 Toán cao c p A1 Cao đ ng n ∑ aq n−1 với a ≠ Giải • q = 1: Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ngược lại lim un ≠ ∑ n(n + 1) ∑ un = S n =1 Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ Chương Lý thuy t chu i Với q < Sn → hội tụ đến số S hữu hạn ta nói ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số n4 ∑ 3n + n + n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số n5 ∑ n4 + n =1 18 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Lý thuy t chu i Chương Lý thuy t chu i §2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa 1.3 Tính chất ∞ ∑un , • Nếu n =1 ∞ ∞ ∑ hội tụ thì: n =1 ∞ • ∞ n =1 ∞ • Nếu n =1 ∞ Khi un > 0, ∀n chuỗi số dương thực 2.2 Các định lý so sánh n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 ∞ • Nếu ∞ ∑ hội tụ ∑ un phân kỳ n =1 ∞ • Nếu ∑ un Chương Lý thuy t chu i ∑ phân kỳ n =1 Chương Lý thuy t chu i Định lý ∑ n.2n VD Xét hội tụ chuỗi số hội tụ n =1 ∞ n =1 ∞ n =1 ≤ u n ≤ , ∀ n ≥ n n =1 • Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng ∞ ∑ u n , ∑ thỏa: Định lý Cho hai chuỗi số dương ∑un hội tụ thì: ∑ αun = α∑un n =1 ∞ Cho hai chuỗi số ∞ n =1 n =1 n =1 ∑ un , ∑ thỏa: un > > với n đủ lớn lim n →∞ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∞ so sánh với  ∑n   ∑ ln 1 + n       • Nếu k = ∞ ∞ ∑ un n =1 ∞ n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ so sánh với  n   ∑ 3      2n (n + 1) n.3n +1 ∑ cách n =1 ∑ nα n =1 ∑ un , ∑ tính chất ∑ un n =1 hội tụ α > phân kỳ α ≤ lim un +1 n →∞ • Nếu D < chuỗi hội tụ • Nếu D > chuỗi phân kỳ • Nếu D = chưa thể kết luận un = D VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ ∑ n =1 Toán cao c p A1 Cao đ ng ∞ ∞ n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương Chú ý ∞ phân kỳ Chương Lý thuy t chu i n =1 Chuỗi = k hội tụ ⇒ ∑ hội tụ n =1 • Nếu < k < +∞ Chương Lý thuy t chu i n =1 ∞ ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ • Nếu k = +∞ n =1 un ∞ n =1 cách n =1 1 ∀n n =1 ∑(un + ) = ∑ un + ∑vn ∞ ∑ un gọi chuỗi số dương un ≥ 0, n +1 2n + n  1 +    ∑ n  n   n =1  VD Xét hội tụ chuỗi số 5n (n !)2 n =1 (2n )! ∞ ∞ ∑ 19 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Lý thuy t chu i Chương Lý thuy t chu i 2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Cho chuỗi số dương ∑ un nlim n un →∞ =C n =1 2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm giảm nửa khoảng [k ; +∞), k ∈ ℕ Khi đó: ∞ ∫ f (x )dx hội tuï n2 1  VD Xét hội tụ chuỗi số ∑        n =1   ∞ k ∑ f (n ) hội tụ ⇔ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số +∞ n =k • Nếu C < chuỗi hội tụ • Nếu C > chuỗi phân kỳ • Nếu C = chưa thể kết luận nn ∑ 3n ∞ ∑3 VD Xét hội tụ chuỗi số n =1 VD 10 Xét hội tụ chuỗi số Chương Lý thuy t chu i 3.1 Chuỗi đan dấu ∑ n ln3 n Chương Lý thuy t chu i ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số (−1)n n n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ (−1)n ∑ ∞ gọi n =1 chuỗi số đan dấu un > 0, ∀n ∞ (−1)n ∞ 2n + VD ∑ , ∑ (−1)n +1 chuỗi đan dấu 2n +1 n =1 n n =1 b) Định lý Leibnitz Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm nghiêm ngặt un → chuỗi ∞ ∑ (−1)n un n =2 §3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý ∑ (−1)n un n2 ∞ n =1 a) Định nghĩa Chuỗi số ∞ 2n + n =1 2n +1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =2 hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi Leibnitz (−1)n n + (−1)n n =1 Chương Lý thuy t chu i 3.2 Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa ∞ ∞ • Chuỗi ∞ • ∑ un , un ∈ ℝ gọi chuỗi có dấu tùy ý n =1 Nếu ∑ un ∞ hội tụ chuỗi có dấu tùy ý n =1 n =1 ∑ un gọi hội tụ tuyệt đối ∑ un hội tụ ∑ un gọi bán hội tụ n =1 ∞ ∞ n =1 ∑ un hội tụ ∞ (−1)n bán hội tụ n n =1 ∑ Toán cao c p A1 Cao đ ng ∞ cos(n n ) n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số n2 ∑ n =1 ∑ un phân kỳ n =1 VD Chuỗi số ∑ un hội tụ ∞ n =1 ∞ • Chương Lý thuy t chu i b) Định lý ∞ (−1)n + (−2)n +1 n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số 3n ∑ ……………………………………………………… 20 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính §1 §2 §3 §4 Chương Đ i s n tính a  11 a12  a a22   A =  21    a  m am  Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Khơng gian vector ………………………………………………… §1 MA TRẬN 1.1 Các định nghĩa a1n     a2n         amn   • Các số aij gọi phần tử A dòng thứ i cột thứ j a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m × n ℝ hệ thống gồm m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) thành bảng gồm m dòng n cột: Chương Đ i s n tính • Cặp số (m, n ) gọi kích thước A • Khi m = 1, ta gọi: A = (a11 a12 a1n ) ma trận dòng Chương Đ i s n tính a   11      • Khi n = 1, ta gọi A =   ma trận cột     a   m1     • Khi m = n = 1, ta gọi: A = (a11 ) ma trận gồm phần tử • Ma trận vng Khi m = n , ta gọi A ma trận vuông cấp n Ký hiệu A = (aij )n • Ma trận O = (0ij )m×n có tất phần tử gọi ma trận khơng • Tập hợp ma trận A ký hiệu M m ,n (ℝ), để Đường chéo chứa phần tử a11, a22 , , ann gọi đường chéo A = (aij )n , đường chéo lại gọi đường chéo phụ 1   5   7    3    4   8    4   0   cho gọn ta viết A = (aij )m×n Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính • Các ma trận vng đặc biệt Ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo −1 0      0           0 0   Ma trận chéo cấp n gồm tất 1  phần tử đường   chéo I = 0   gọi ma trận đơn vị cấp n 0   Ký hiệu I n Toán cao c p A1 Cao đ ng  0   0    1   Ma trận ma trận vng cấp n có tất phần tử nằm phía (trên) đường chéo gọi ma trận tam giác (dưới)  0 1 −2            B =  0 A = 0 −1            −1 2 0  0         Ma trận vng cấp n có tất cặp phần tử đối xứng qua đường chéo (aij = a ji ) gọi ma trận đối xứng  −1     4 0       −1       21 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính b) Ma trận Hai ma trận A = (aij ) B = (bij ) gọi nhau, ký hiệu A = B , chúng kích thước aij = bij , ∀i, j 1 x y  1 −1       VD Cho A =  z t  B = 2 u           Ta có: A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = Chương Đ i s n tính b) Phép nhân vơ hướng Cho ma trận A = (aij )m×n λ ∈ ℝ , ta có: λA = (λaij )m×n VD −1  −3  −2   2   −4     3 =    −4 6    1 4  = 2   8    −2  −3  ;  12   2  4   Chú ý • Phép nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng ma trận • Ma trận −1.A = −A gọi ma trận đối A Chương Đ i s n tính  0   1 −1        −1  VD Tính   −2        −1        Tính chất 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) AI n = A = I m A , với A ∈ M m,n (ℝ) Toán cao c p A1 Cao đ ng Chương Đ i s n tính 1.2 Các phép tốn ma trận a) Phép cộng trừ hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n , ta có: A ± B = (aij ± bij )m×n −1  2 2 1           VD   −4 + 5 −3 1 = 7 −3;               −1  2 2 −3 0             −4 − 5 −3 1 = −3 −5               Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hốn kết hợp Chương Đ i s n tính c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bjk )n×p , ta có: AB = (cik )m×p n Trong đó, cik = ∑ aijbjk j =1 (i = 1, m; k = 1, p) −1      VD Thực phép nhân         −5      −1 0    VD Thực phép nhân  −1 3     ( ( ) ) Chương Đ i s n tính 1 −1 −1 −2 1             VD Cho A = 2 −2  B =  −3 1            −1 0    3 −3      Thực phép tính: a) AB ; b) BA VD Thực phép nhân:  −1 2     2 −1 −1             A =  −3 0−1 −2  1 −2              −1 4 −1 −3 3   −2           Chú ý • Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn 22 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Đ i s n tính • Đặc biệt, A = (aij )n p ∈ ℕ* , ta có: p In = In A0 = I n , Ap = (Ap−1 )A = A(Ap−1 ) (lũy thừa ma trận) 1 −1  2010   VD Cho ma trận A =  0 , giá trị A là:    −1 −2010  1 −2010   ; ;   A  B   0 0          1 −2010 −1 −2010   ;    C  D  0 0  −1  −1         Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính 2 0  2009   VD 10 Cho B =  1 0, giá trị (I − B ) là:     −1 0 −1  −1 0 1  0            A  −1 1; B −1 −1; C  1; D −1 −1                    VD 11 Cho A = (aij ) ma trận vng cấp 100 có phần tử dịng thứ i (−1)i Tìm phần tử b36 ma trận B = A2 VD 12 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp 40 có phần tử aij = (−1)i + j Phần tử a25 A2 là: A a25 = ; B a25 = −40 ; C a25 = 40 ; D a25 = −1 Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính d) Phép chuyển vị Tính chất Cho ma trận A = (aij )m×n 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; T T 3) (A ) = A; 4) (AB)T = BTAT; 5) AT = A ⇔ A đối xứng Khi đó, AT = (a ji )n×m gọi ma trận chuyển vị A (nghĩa chuyển tất dòng thành cột) 1    1 3       ⇒ AT = 2 5  VD 13 Cho A =   4 6           3    Chương Đ i s n tính 1.3 Phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận (Gauss – Jordan) Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2) Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) dòng e A là: di ↔dk 1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho A   → A′ di →λdi 2) (e2 ) : Nhân dòng với số λ ≠ , A    A′′ → 3) (e3 ) : Thay dòng tổng dịng với λ lần di →di +λdk dòng khác, A     A′′′ → Chú ý di →µdi +λdk 1) Trong thực hành ta thường làm A      B → 2) Tương tự, ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Toán cao c p A1 Cao đ ng    −1  −2         VD 14 Cho A =  , B =  −1 −3         −3 −2     a) Tính (AB )T b) Tính BT AT so sánh kết với (AB )T Chương Đ i s n tính VD 15 Dùng PBĐSC dòng để đưa ma trận 2 −1 1 −2            A = 1 −2  B = 0 −7 / 5             −1  0           Giải Ta có:  −2  1 −2        d →d −2d   d1 ↔d2  2 −1    0 −7 2  A  →   d3 →d3 −3d1 →          3 −1  0 −            −2       d3 →d3 −d2    → 0 −7 / 5 = B     d2 → d2       0  23 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính 1.4 Ma trận bậc thang • Một dịng ma trận có tất phần tử gọi dòng (hay dịng khơng) • Phần tử khác tính từ trái sang dịng ma trận gọi phần tử sở dòng • Ma trận bậc thang ma trận khác khơng cấp m × n (m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện: 1) Các dịng (nếu có) phía dịng khác 0; 2) Phần tử sở dòng nằm bên phải phần tử sở dịng phía dịng Chương Đ i s n tính 1.5 Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa • Ma trận A ∈ M n (ℝ) gọi khả nghịch tồn ma trận B ∈ M n (ℝ) cho: AB = BA = I n • Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B = A−1 Khi đó: A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A Chú ý Nếu B ma trận nghịch đảo A B A ma trận nghịch đảo B Chương Đ i s n tính VD 16 Các ma trận bậc thang:     0 3            0 5 , I =      n          0 0 1         0       2     0 3,       0 0      Các ma trận bậc thang: 0 0 0  1 5            3 4, 0 4, 0 4                             0 5 0 5 2 3       Chương Đ i s n tính 2 5   −5   B =   hai ma trận   VD 17 A =    1 3 −1        nghịch đảo AB = BA = I Chú ý 1) Nếu ma trận A có dịng (hay cột) khơng khả nghịch 2) (AB )−1 = B −1A−1 3) Nếu ac − bd ≠ thì: −1 c − VD 18 Cho hai ma trận: a b b    =    2 5 2 1   −d a      d c  ac −bd  , B =        A= 1 3 3 2         Thực phép tính: a) (AB )−1 ; Chương Đ i s n tính b) Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp dòng (tham khảo) Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 sau: Bước Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) ( ) cách ghép ma trận I n vào bên phải A Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A I n dạng I n B   1 −1 1 −1   Khi đó: A = B 0 −1 0      VD 19 Tìm nghịch đảo A =  0 1      0 0 1     ( ) ( ) Toán cao c p A1 Cao đ ng b) B −1A−1 Chương Đ i s n tính ( Giải Ta có: A I ) 1 −1    0 −1  = 0   0   1   0  d3 →d3 −d4   d    → d2 →d3 − 0 d1 →d1 +d2 −d   0   1 0 0    0 0    1 0 0     0 1  0 −1 −2    0 −1 −1    0 −1     0 10 0 1  I4 A−1 24 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Đ i s n tính §2 ĐỊNH THỨC 2.1 Định nghĩa a) Ma trận cấp k Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ) n • Ma trận vuông cấp k lập từ phần tử nằm giao k dòng k cột A gọi ma trận cấp k A • Ma trận M ij có cấp n − thu từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j gọi ma trận A ứng với phần tử aij Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính 1    VD Ma trận A = 4    7  5 6    M 11 =  8 9, M 12     2 3    M 21 =  8 9, M 22     2 3    M 31 =  5 6, M 32     Chương Đ i s n tính b) Định thức (Determinant) Định thức ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu det A hay A , số thực định nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a  a   Nếu A =  11 12  detA = a11a 22 − a12a21  a  21 a 22    Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11A11 + a12A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i + j det M ij số thực Aij gọi phần bù đại số phần tử aij VD Tính định thức ma trận: 0 −1     4 −1    A= 3         2 3      Toán cao c p A1 Cao đ ng 4 6 4  , M 13 =    =  7 9 7      1 3 1  , M 23 =    =  7 9 7       3 1  , M =    =  33  6 4       5 ,  8   2 ,  8  2     5 Chương Đ i s n tính Chú ý 1) det I n = 1, detOn = a11 a12 a13 2) Tính a 21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 ho c a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 (Tổng tích phần tử đường chéo nét liền trừ tổng tích phần tử đường chéo nét đứt) Chương Đ i s n tính VD Tính định thức ma trận sau: 1 −1   3 −2        , B =  −2   A=      1     2  1     3   6 có ma trận ứng     9 với phần tử a là:  ij Chương Đ i s n tính 2.2 Các tính chất định thức Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có n tính chất sau: a) Tính chất ( ) det AT = det A 2 −1 VD −2 = −2 = −12 −1 1 1 25 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính b) Tính chất Nếu hốn vị hai dịng (hoặc hai cột) cho định thức đổi dấu −1 1 −1 1 VD −2 = − −1 1 − = −2 3 2 1 Hệ Nếu định thức có dịng (hoặc cột) giống x x2 x3 3 2 = 0; 1 VD y2 y5 = y2 y5 c) Tính chất Nếu nhân dịng (hoặc cột) với số thực λ định thức tăng lên λ lần 3.1 3.(−1) VD x +1 x 1) Nếu định thức có dịng (hoặc cột) 2) Nếu định thức có dịng (hoặc cột) tỉ lệ với VD x2 y = 0; x y x3 x x3 x +1 z z3 z z3 Chương Đ i s n tính Hệ = −2 ; x + y y = (x + 1) y y Chương Đ i s n tính x −2 1 −1 d) Tính chất Nếu định thức có dịng (hoặc cột) mà phần tử tổng số hạng ta tách thành tổng định thức VD x + x − 1 −1 x x x y y =x y y +x −6 −9 z z3 z z3 2 −3 = −8 −3 12 cos2 x 3 sin2 x sin x Chương Đ i s n tính x x y y3 ; z z3 3 = 9 + cos x sin x cos2 x Chương Đ i s n tính e) Tính chất Định thức khơng đổi ta cộng vào dịng (hoặc cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác 2.3 Định lý (khai triển Laplace) VD 10 Sử dụng tính chất để đưa định thức sau a) Khai triển theo dòng thứ i dạng bậc thang: ∆ = −1 −1 x n khai triển Laplace định thức A: n det A = 1Ai + 2Ai + + ain Ain = ∑ aij Aij j =1 i+j Trong đó, Aij = (−1) 2 VD 11 Sử dụng tính chất để tính ∆ = x 2 x Toán cao c p A1 Cao đ ng Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có det(M ij ) b) Khai triển theo cột thứ j n det A = a1 j A1 j + a j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij i =1 26 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính 0 VD 12 Tính định thức 2 hai cách 3 khai triển theo dòng khai triển theo cột VD 13 Áp dụng tính chất định lý Laplace, tính 1 2 −1 định thức −1 3 Chương Đ i s n tính VD 14 Tính định thức: det A = VD 15 Tính định thức: 0 1 −1 4         VD 16 Tính detC = 2 2 3         1 −31 1         Chương Đ i s n tính VD 19 Giá trị tham số m để ma trận T      m −  m m      A=   m  m − 1     m2        khả nghịch là: C m ≠ ; Toán cao c p A1 Cao đ ng a11 0 a22 a2n a a22 = 21 = a11a22 ann 0 ann an an ann 2) Dạng tích: det(AB ) = det A.det B 3) Dạng chia khối A ⋮ B … … … = det A.detC , với A, B, C ∈ M n (ℝ) On ⋮ C 1 −12 4−3 4             VD 17 Tính det D = 2 2 3  2         1 −31 1  1            T 0 0 = có nghiệm x −2 x x = ± là: A x = ±1; B x = 1; C x = −1; D  x = ±2 x VD 18 Phương trình x x Chương Đ i s n tính 2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi: det A ≠ m ≠  B  ;  m ≠   a11 a12 a1n Chương Đ i s n tính −2 19 −2 19 det B = 0 3 0 −1 0 −1 m = A  ; m = Các kết đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác D m ≠ b) Thuật tốn tìm A–1 • Bước Tính detA Nếu det A = kết luận A không khả nghịch Ngược lại, ta làm tiếp bước • Bước Lập ma trận (Aij ) , Aij = (−1)i + j det M ij n Suy ma trận phụ hợp (adjunct matrix) A là: T adjA = (Aij )  n  • Bước Ma trận nghịch đảo A là: A−1 = adjA det A 27 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính VD 20 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 1       A = 1 2        3 4   1 1       VD 21 Cho ma trận A = 0 1 Tìm A−1     1 3      Giải Ta có: det A = ≠ ⇒ A khả nghịch Chương Đ i s n tính A31 = 2 1 = −4, A22 = = 1, A32 = − Định thức ma trận cấp k A gọi định thức cấp k A Định lý Nếu ma trận A có tất định thức cấp k định thức cấp k + b) Hạng ma trận Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A Ký hiệu r (A) Chương Đ i s n tính VD 22 Điều kiện tham số m để ma trận m −1 −2      0 A=  có hạng là:      0  1    A m ≠ 1; B m ≠ −1; C m ≠ ±1; D m ≠ VD 24 Tìm r (A) Biết: 2 −1       −1  0     A= 0  0      −1 −4      Toán cao c p A1 Cao đ ng 1 1 = 2, A23 = − = −1, A33 = 2 = 0, =  −4   −4         1   1  ⇒ A−1 =  ⇒ adjA =  −1 −1       2    −1 −1  1 1        Chương Đ i s n tính m×n m×n VD 23 Cho ma trận: 1 −        A = 2 −5 4         −8 6   Tìm r (A) A21 = − Chú ý • Nếu A = (aij ) 2.5 Hạng ma trận a) Định thức cấp k Cho ma trận A = (aij ) Chương Đ i s n tính 1 1 A11 = = 1, A12 = − = 1, A13 = = −1, 3 khác ≤ r (A) ≤ min{m, n} • Nếu A ma trận khơng ta quy ước r (A) = c) Thuật tốn tìm hạng ma trận • Bước Đưa ma trận cần tìm hạng bậc thang • Bước Số dịng khác ma trận bậc thang hạng ma trận cho • Đặc biệt Nếu A ma vng cấp n thì: r (A) = n ⇔ det A ≠ Chương Đ i s n tính Chú ý Ta hốn vị cột ma trận đưa bậc thang  VD 25 Giá trị tham số m để ma trận A m = −2 ; m = m +  3      B m = 1;  A= m + 0 có r (A) = là:   C m = −2 ;      3 m = −1   2m  −1 VD 26 Tùy theo   giá trị m , tìm  m −1   hạng ma trận:A =  1   1   m 2 D  m = −1     −1 −1    1    −1   28 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Đ i s n tính §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i = 1, , n ) m phương trình: a x + a x + + a x = b  11 12 1n n   a x + a x + + a x = b  21 22 2n n (I )     a x + a x + + a x = b  m1 m2 mn n m   đó, hệ số aij ∈ ℝ (i = 1, , n; j = 1, , m ), gọi hệ phương trình tuyến tính Chương Đ i s n tính VD Cho hệ phương trình: x − x + 2x + 4x =    2x + x + 4x = −3   2x − 7x =    Hệ phương trình viết lại dạng ma trận:   1 −   x         x        2 0  = −3  x               0 −7 0          x     4   α = (1; −1; −1; 1) nghiệm hệ Chương Đ i s n tính VD Tùy theo điều kiện tham số m , biện luận số nghiệm hệ phương trình: x + my − 3z =     (1 − m )z = m −   VD Điều kiện tham số m để hệ phương trình: mx  + 8z − 7t = m −   3x + my + 2z + 4t = m     mz + 5t = m −    5z − mt = 2m +    có nghiệm là: A m ≠ ; B m ≠ 1; C m ≠ ±1; D m ≠ ±5 Toán cao c p A1 Cao đ ng Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính    a11 a1n     Đặt: A =   = (aij ) ,     m×n     am amn    ( B = b1 bm ) T ( X = x x n ) T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B ( • Bộ số α = α1 αn ) T ( α = α1 ; ; αn ) gọi nghiệm (I ) Aα = B Chương Đ i s n tính 3.2 Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B Gọi ma trận a   11 a12 a1n b1      mở rộng A = A B =        a am amn bm    m1   Định lý Hệ AX = B có nghiệm r (A) = r (A) ( ) Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì: Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm nhất; Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số Chương Đ i s n tính 3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A ma trận vng cấp n khả nghịch Ta có: AX = B ⇔ X = A−1B VD Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp ma trận: 2x + y − z =     y + 3z =    2x + y + z = −1   29 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính 2 −1     −1 −1        Giải A = 0  ⇒ A−1 =  −3         2     −1  1   2 1      −1 Hệ phương trình ⇔ X = A B x  −1 −1   x  −3                 1       ⇔ y  =  −3  ⇔ y  =              2                z         −1 z  −1            −1 x = −3,    Vậy hệ cho có nghiệm y = 6,   z = −1    Chương Đ i s n tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX = B , với A ma trận vuông cấp n • Bước Tính định thức: a11 a1 j ∆ = det A = an anj a11 b1 ∆ j =   (m − 7)x + 12y − 6z = m  −10x + (m + 19)y − 10z = 2m Khi m = hệ   −12x + 24y + (m − 13)z =    có ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = hệ vô nghiệm Chú ý Chương Đ i s n tính −1 ∆2 = −1 Vậy x = ∆1 ∆ ∆2 ∆ = 6, z = ∆3 (thay cột thứ j ∆ cột tự do) VD Giải hệ phương trình sau định thức:   2x + y − z =   y + 3z =   2x + y + z = −1    Giải Ta có: −1 ∆= 1 −1 = 4, ∆1 = −1 = −12 , ∆ c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B ( ) • Bước Đưa ma trận mở rộng A B dạng bậc = −1 (m + 1)x + y = m +  VD Hệ phương trình   x + (m + 1)y =   có nghiệm khi: A m = −2 ; B m ≠ −2 ∧ m ≠ ; C m ≠ ; D m ≠ −2 Toán cao c p A1 Cao đ ng ann Chương Đ i s n tính = 24 , ∆3 = = −4 −1 = −3, y = , j = 1, n Chương Đ i s n tính Nếu ∆ ≠ hệ có nghiệm nhất: ∆ x j = j , ∀j = 1, n ∆ Nếu ∆ = chưa có kết luận Khi đó, ta giải tìm tham số thay vào hệ để giải trực tiếp , ann a1n an bn Chương Đ i s n tính • Bước Kết luận: a1n thang PBĐSC dịng • Bước Giải ngược từ dịng cuối lên Chú ý Trong trình thực bước 1, nếu: có dịng tỉ lệ xóa dịng; có dịng xóa dịng đó; ( ) có dịng dạng 0 b , b ≠ hệ vơ nghiệm 30 ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính VD Giải hệ sau phương pháp Gauss:   2x + y − z =   y + 3z =   2x + y + z = −1  Giải Ta có:   2 −1   2 −1       d →d −   0 3    d1 → 0 3  3     AB =          0 −2  2 1 −1         2x + y − z = x = −3       y + 3z = ⇔ y =  Hệ ⇔      z = −1 2z = −2       ( ) Chương Đ i s n tính VD Giải hệ phương trình tuyến tính:   5x − 2x + 5x − 3x =  4x + x + 3x − 2x =   2x + 7x − x = −     VD Tìm nghiệm hệ  x + 4y + 5z = −1    A x = 15, y = −4, z = ; 2x + 7y − 11z =  3x + 11y − 6z = B Hệ có vơ số nghiệm;    x = 15 − 79α x = 15 + 79α       y = −4 − 21α ; C  D y = −4 − 21α    z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ       Chương Đ i s n tính 3x − y + 2z =  VD 10 Tìm nghiệm hệ   2x + y − 2z =    x =  x =     y = − 2α ; B y = + 2α A     z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ       C Hệ có vơ số nghiệm; D Hệ vơ nghiệm VD 11 Giá trị tham số m để hệ phương trình x + 2y + (7 − m )z =   A m = ±1;  2x + 4y − 5z =  B m = 1;   3x + 6y + mz = C m = −7 ;    D m = có vơ số nghiệm là: Chương Đ i s n tính §4 KHƠNG GIAN VECTOR 4.1 Định nghĩa Cho tập V khác rỗng, xét hai phép toán sau: x + y (x , y ∈ V ) λ x (λ ∈ ℝ , x ∈ V ) Ta nói V với hai phép tốn khơng gian vector thỏa tính chất sau: 1) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , ∀ x , y , z ∈ V ; 2) ∃ θ ∈ V : x + θ = θ + x = x , ∀ x ∈ V ; 3) ∀ x ∈ V , ∃ ( − x ) ∈ V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; 4) x + y = y + x , ∀ x , y ∈ V ; 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y , ∀ x , y ∈ V , ∀ λ ∈ ℝ ; 6) ( λ + µ ) x = λ x + µ x , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; 7) ( λ µ ) x = λ ( µ x ) , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; 8) x = x , ∀ x ∈ V Trong đó, θ ∈ V Chương Đ i s n tính 4.2 Định nghĩa Trong kgvt V , cho n vector ui (i = 1, , n ) n • ∑λu , λ i =1 i i i ∈ ℝ gọi tổ hợp tuyến tính Chương Đ i s n tính VD • Trong ℝ , hệ gồm vector: u1 = (1; –1), u2 = (2; 3) { } độc lập tuyến tính n vector ui • Hệ {u1, u2 , , un } gọi độc lập tuyến tính n (đltt) có gọi vector khơng ∑λu i =1 i i = θ λi = 0, ∀i = 1, n • Hệ {u1, u2 , , un } khơng độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính (pttt) Tốn cao c p A1 Cao đ ng • Trong ℝn , hệ gồm n vector : ui = (0; ; α; ; 0); i = 1, , n; α ≠ { } (thành phần thứ i ui α ) đltt • Trong ℝ , hệ gồm vector: u1 = ( –1; 3; 2), u2 = (2; 0; 1), u3 = (0; 6; 5) { } phụ thuộc tuyến tính 31 ĐH Cơng nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính 4.3 Định nghĩa { • Trong kgvt V , hệ A = u1, u2 , , un } gọi sở V hệ A độc lập tuyến tính vector V biểu diễn tuyến tính qua A 4.4 Hệ vector ℝn a) Định nghĩa Trong ℝn , cho m vector ui = (ai 1, , ain ), i = 1, m Ta gọi A = (aij ) mìn ã Nu kgvt V cú mt c s gồm n vector V gọi kgvt có n chiều Ký hiệu dimV = n Khi đó, kgvt V , hệ có nhiều n vector phụ thuộc tuyến tính { } VD Trong ℝ , hệ A = u1 = (1; –1), u2 = (2; 3) sở ma trận dòng m vector ui b) Định lý • Trong ℝn , hệ {u1, u2 , , um } đltt ⇔ r (A) = m (hạng A số phần tử hệ) n • Trong ℝ , hệ {u1, u2 , , um } pttt ⇔ r (A) < m • Trong ℝn , hệ {u1, u2 , , un } sở ⇔ r (A) = n Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính VD Trong ℝ , xét đltt hay pttt hệ sau: u1 = (−1; 2; 0), u2 = (1; 5; 3), u = (2; 3; 4) { } VD Trong ℝ , tìm điều kiện m để hệ sau sở: u1 = (m; 1; 1), u2 = (1; m; 1), u = (1; 1; m ) { } VD Trong ℝ , điều kiện tham số m để hệ sau c) Tọa độ vector Trong kgvt ℝ n , cho sở F = {u1, u2,…, un } Vector x ∈ V tùy ý có biểu diễn tuyến tính cách n qua sở F x = ∑ αi ui , αi ∈ ℝ i =1 Ta nói x có tọa độ sở F (α1; α2 ;…; αn ) {(1;2;1; 4), (2; 3; m;7), (5; 8;2m + 1;19), (4;7; m + 2;15)} Ký hiệu [x ]F phụ thuộc tuyến tính là: A m = ; B m = −2 ; C m = ; Đặc biệt, E = {u1 = (1; 0; ; 0), , un = (0; ; 0;1)} D m ∈ ℝ gọi sở tắc ℝ n Khi đó, tọa độ vector viết theo dạng quen thuộc Chương Đ i s n tính Chương Đ i s n tính VD Trong ℝ , cho x = (3; −5) sở: F = {u1 = (2; −1), u2 = (1; 1)} ( (ma trận cột vector B1 ) Tìm tọa độ vector x sở F ? d) Tọa độ vector sở khác Ma trận chuyển sở Trong kgvt ℝ n , cho sở: B1 = {ui }, B2 = {vi }, i = 1,2, , n ( Ma trận [v1 ]B [v2 ]B [vn ]B 1 ) gọi ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 Ký hiệu là: PB →B Công thức đổi tọa độ: [x ]B1 = PB1 →B2 [x ]B2 Toán cao c p A1 Cao đ ng ) Đặc biệt Ta có: PE →B1 = [u1 ] [u2 ] [un ] Cơng thức tìm ma trận chuyển ( PB →B = PB →E PE →B = PE →B 2 ) −1 PE →B VD Trong ℝ , cho sở: B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0; −1)} , B2 = {v1 = (2; −1), v2 = (1; 1)} Cho biết [x ]B = (1; 2) Hãy tìm [x ]B ? ……………………………H t…………………………… 32 ... nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a  a   Nếu A =  11 12  detA = a11 a 22 − a12 a21  a  21 a 22    Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i... Đ i s n tính Chú ý 1) det I n = 1, detOn = a11 a12 a13 2) Tính a 21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 ho c a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a... ′ Vậy yx = − Fx′ , F ′ ≠ Fy′ y ′ y ′(x ) = yx gọi đạo hàm hàm số ẩn y(x ) Toán cao c p A1 Cao đ ng ĐH Công nghi p Tp. HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 Chương Phép tính vi