Phòng giáo dục trờng trung học cơ sở ****************** Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo Ng ời thực hiện : Trờng Trung học cơ sở H . - T . tháng 4 năm 2008. A- Phần mở đầu I/ Lý do chọn đề tài: Trong thời kỳ đổi mới của đất nớc thì một trong những yêu cầu của nền giáo dục là phải tạo ra một lớp ngời mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiễn đất nớc. Vậy làm thế nào để phát huy đợc tính chủ động sáng tạo của học sinh đây là một trong những yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng. Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo hớng đổi mới, phơng pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể em cha biết nhằm khơi dậy và định hớng cho các em sự sáng tạo. Tuy nhiên sự h- ớng dẫn chỉ bảo tận tình của ngời thày là rất cần thiết. Nội dung kiến thức về bất đẳng thức đợc trình bày trong chơng IV - Đại số 8 . Đây là một phần kiến thức hay nhng khó đối với học sinh . Bất đẳng thức Cô-Si đ- ợc giới thiệu trong mục " Có thể bạn cha biết". Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá và sử dụng nó. Vậy để giúp các em làm việc này thì trớc hết ngời thày phải nghiên cứu, hớng dẫn về mặt phơng pháp, cung cấp và hớng dẫn cho học sinh thực hiện trên các bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự học, tự nghiên cứu. Đứng trớc yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chơng trình dạy về bất đẳng thức đó là: "Hớng dẫn học sinh một số phơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học sinh khá giỏi lớp 8-9 ) . III- Ph ơng pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm. +áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo. +Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo . +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trờng. +áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh. 2 +Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm sau. IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu +Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng . +Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; 9 diện khá, giỏi. B - phần nội dung I/Bất đẳng thức Cô-Si: 1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số không âm a và b ta có : ab ba + 2 (1) Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu. +Chứng minh: Với hai số a và b không âm ta có : 0)( 2 ba 02 + baba abba 2+ Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b . 2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Ta có : 2+ x y y x Với x.y > 0 Thật vậy : áp dụng (1) với a = y x và b = x y là hai số dơng ta có : 2+ x y y x 2. = x y y x Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra x y y x = x 2 = y 2 x = y (Vì x và y cùng dấu ) *Chú ý: a = y x và b = x y là hai số nghịch đảo của nhau . II/ áp dụng : Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc không hoàn toàn tuỳ thuộc vào cái đích mà bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi nh thế nào ? có những phơng pháp nào ?. 1/Ph ong pháp biến đổi đồng nhất: 3 a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là xuất hiện dạng nghịch đảo. +Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng : 8)1)(1)(1( +++ a c c b b a (1) Giải: Ta có VT = b a c b ++1( )1)( a c c a ++ = 11 +++++++ c a b c b a a b c b a c = )()()(2 b c c b a c c a a b b a ++++++ VP b c c b a c c a a b b a ==+++=+++ 82222.2.2.22 Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra a = b = c . * Với phơng pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau: +Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng : 9) 111 )(( ++++ cba cba . * Bài này mời các em tự thực hiện . +Bài toán 3: Cho x là số dơng, tìm GTNN của : A = x xx 42 2 ++ . -Nhận xét: Với x dơng ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện dạng nghịch đảo. -Giải: Có : A = 2 442 2 ++=++ x x xx x x x Ta có : 4 4 .2 4 =+ x x x x Nên 62 4 ++ x x Hay A 6 dấu đẳng thức sảy ra x x 4 = x = 2 (vì x > 0 ) Vậy A min = 6 x = 2. 4 +Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: 2 + + + + + + + + ba abc ac cab cb bca . - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có: ba bcac ac cbab cb caba VT + ++ + + ++ + + ++ = ))(())(())(( áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có )(2 ))(())(( ba ac cbab cb caba + + ++ + + ++ )(2 ))(())(( )(2 ))(())(( cb ba bcac ca cbab ca ba bcac cb caba + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ Vậy 2. VT 4)(4 =++ cba hay 2VT ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b = c = 3 1 * Mời các em làm tiếp bài toán sau: +Bài toán4 : Tìm GTNN của : B = x xx 3 1615 2 ++ (với x dơng ) . C = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx . Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta đợc : C = 52 256 )52.(4 2 2 ++ +++ xx xx . b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng nghịch đảo. +Bài toán5 : Tìm GTNN của : D = 2 22 )2712)(4816( x xxxx ++++ (với x là số dơng ) . 5 -Nhận xét: Nếu chia ngay thì D = )12 27 )(16 48 ( ++++ x x x x Sau đó áp dung (1) thì dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng x 48 và x 27 . Nên ta phải tìm cách "cào bằng" hai số 48 và 27 . May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích đ- ợc thành nhân tử !. -Giải : Ta có : D = xx xxxx . )4)(9)(3)(12( ++++ = xx xxxx . )36.13)(36.15( 22 ++++ = )13 36 )(15 36 ( ++++ x x x x Việc làm tiếp theo là rất đơn giản ! +Bài toán 6 : Tìm GTNN của : E = 2 22 )12022)(3011( x xxxx ++++ (với x là số dơng ) * Bài này mời các em tự thực hiện . 2/Ph ơng pháp thêm bớt : a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng nghịch đảo. . +Bài toán 1 : Tìm GTNN của : A = xx x 5 1 + ( Với 0 < x < 1 ) . Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dơng. Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai Ta có x x x )1(5 5 5 = Giải : Ta có : A = 55 5 1 ++ xx x 5 55 1 + + = x x x x Ta có 52 )1(5 . 1 2 )1(5 1 = + x x x x x x x x 6 Nên A 552 + dấu đẳng thức sảy ra x x x x )1(5 1 = x 2 = 5( 1 - x ) 2 x = 4 55 Vậy A min = 552 + x = 4 55 . +Bài toán 2 : Tìm GTNN của : B = xx 1 1 2 + ( Với 0 < x < 1 ) Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dới mẫu. Có x x x = 1 2 2 1 2 Còn x x x = 1 1 1 Giải : Ta có B = 31 1 2 1 2 ++ xx = 3 1 1 2 + + x x x x Ta có 22 1 . 1 2 2 1 1 2 = + x x x x x x x x Nên có B 322 + dấu đẳng thức sảy ra x x x x = 1 1 2 x = 12 Vậy B min = 322 + x = 12 . Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng : 1 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + + + + + + abcaccbba +Hớng dẫn: 61 )1( 1 1 )1( 1 1 )1( 1 )1( + + + + + + + + + + + ac abc cb abc ba abc 7 6 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + a ba ac c c ac cb b b cb ba a 6 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + c ac ac c b cb cb b a ba ba a *Tơng tự mời các em giải bài toán sau: +Bài toán 4 : Tìm GTNN của : C = 1 4 3 + + x x (với x > - 1 ) D = 1 2 2 + x x ( với x > 1 ) E = 2 2 2 2 1 )1( + + ++ x x x ( với x 1 ) Hớng dẫn : E = 2 2 2 1 22 )1( + ++ ++ x xx x = 2 2 1 1 )1()1( + ++++ x xx = 2 )1( 1 )1(2 2 2 + + ++ x x b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị). Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng : dcba a d d c c b b a ++++++ 2222 Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d . Khi ấy : b b a = 2 Giải : Ta có : b b a + 2 ab b a 2.2 2 = Tơng tự ta có : + c c b 2 2b 8 + d d c 2 2c + a a d 2 2d Nh vậy : )(2 2222 dcbadcba a d d c c b b a ++++++++++ Hay dcba a d d c c b b a ++++++ 2222 Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c = d . Bài2: Cho a ; b ; c là các số dơng CM rằng : 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Khi ấy : 4 2 cb cb a + = + Giải : Ta có : a cb cb acb cb a = + + + + + 4 .2 4 22 Tơng tự ta có : + + + 4 2 ca ca b b + + + 4 2 ba ba c c Vậy có : cba cba ba c ca b cb a ++ ++ + + + + + + 2 222 Hay : 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + . Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c . * Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau : Bài3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CM rằng: a, . 333 bcacab a c c b b a ++++ 9 b, cba c ab b ac a bc ++++ . 3, Ph ơng pháp tách : Phơng pháp này đợc áp dụng cho loại bài : tởng nh đã có thể áp dụng đợc (1) ngay, nhng dấu bằng lại không thể xảy ra. Do vậy trớc hết chúng ta phải xác định đợc điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng đợc . Loại bài tập này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lợng hơn cho loại bài tập này. Bài 1 : Cho 1000;100;10 cba Tìm GTNN của : A = . 111 cba cba +++++ Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng cba 111 ++ Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 . Khi đó : 1000000 11 ; 10000 1 ; 100 1 === c b b a a . HD giải: Có A = ) 1 1000000 ( 100000 0 999999 ) 1 10000 ( 10000 9999 ) 1 100 ( 100 99 c cc b bb a aa ++++++++ c c b b a a 1 . 1000000 2 1000000 1000.9999991 . 10000 2 10000 100.99991 . 100 2 100 10.99 +++++ = 1000 2 1000 999999 100 2 100 9999 10 2 10 99 +++++ = Bài 2: Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của: B = ) 1 )( 1 ( 2 2 2 2 x y y x ++ . Nhận xét : Ta có B = 2 1 22 22 ++ yx yx Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lợng x 2 y 2 Dự đoán điểm rơi là : 2 1 == yx 10 [...]... dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng Sau đó việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết Cho nên ở mỗi đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải đầu t thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học sinh học tập một cách... Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : Tìm GTNN của: A= a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c c/Triển khai đề tài Trong việc giảng dạy bộ môn toán, ở mỗi đơn vị kiến thức mở , tôi luôn hớng dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức Đặc biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức ở lớp 8 và 9 , xác định đây là phần kiến thức khó đối với học sinh , nhng nó rất... đánh giá học sinh Năm học 2007-2008: - Từ 7/ 2007 đến 10/2007: Chỉnh sửa và hoàn thiện đề tài - Từ 1/ 2008 đến 3/ 2008: Tổ chức dạy cho HS lớp 9 dự thi HSG cấp tỉnh -Từ 4/2008 đến 5/ 2008: Đánh giá kết quả việc thực hiện đề tài D/Kết quả đạt đợc Với việc triển khai đề tài này thì bớc đầu tôi đã thu đợc một số kết quả đáng khích lệ: + Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này... triển khả năng tự học tự nghiên cú cho học sinh Tôi đã triển khai theo từng bớc ,đối với từng đối tợng học sinh Cụ thể : Năm học 2006- 2007: -Từ 7/2006 đến 3/2006 : Giáo viên nghiên cứu hoàn thiện Kết hợp với việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và nhà trờng - Từ 3/2007 đến 4/2007 : Triển khai hớng dẫn học sinh - Từ 4/2007 đến 15/5/2007 : Tổ chức dạy nâng cao cho học sinh khá giỏi... : Cho : a 3; b 4; abc 24 CMrằng : a + b + c 9 4/ Phơng pháp đặt ẩn phụ: Phơng pháp này đợc áp dụng cho các bài toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác tìm GTNN của: A= 4a 9b 16c + + b+ca a+cb a +bc 14 Hd : Đặt Khi đó b + c - a = 2x a + c - b = 2y a + b - c = 2z 2 A = 4 =( thì có : x , y , z dơng và... 9 ( + + ) 4 a b c 2 Còn Vậy A 15 1 dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 2 2 Amin = 15 2 1 2 a=b=c= *Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dơng a ; b ; c ta có : 1 1 1 (a + b + c)( + + ) 9 a b c Nên : a + b + c 3 2 1 1 1 + + 6 a b c Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau Ta sẽ có bài toán mới nếu ta thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dơng thoả mãn: 2 a2 + b2 + c Hoặc:... bài toán sau: Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng CMrằng : a b c 3 + + b+c c+a a+b 2 15 III Hớng khai thác mở rộng: 1/Hớng1: Sử dụng các BĐT hệ quả a/ Ta có : a b + 2 với a b dơng b a a b +1+ +1 4 b a a+b a+b + 4 b a 1 1 (a + b)( + ) 4 a b 1 1 4 + (2) a b a+b b/ Tổng quát hoá bài toán ta có: 1 a 1 b 1 c + (a + b + c)( + + ) 9 với a , b , c là các số dơng + (a1 + a 2 + + a n )( 1 1 1 +... là ba cạnh của một tam giác thì : 1 1 1 1 1 1 + + 2( + + ) với p là nửa chu vi pa p b p c a b c Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c 3 CMrằng: 1 1 1 3 + + a +1 b +1 c + a 2 1 1 1 3 b, + + 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 a, Bài tập 5: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c 1 CMrằng: 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 16 Bài tập 6: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn... tích cực chủ động Có nh vậy thì việc dạy và học mới đạt hiệu quả cao, và trớc hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của ngời lao động mới năng động sáng tạo Tuy nhiên với kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, tôi mong nhận đợc các ý kiến đóng góp của tất cả các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! ngày 5/5/2008 Ngời thực hiện đề tài ý kiến của hội đồng khoa học nhà trờng 18 ... + 2b + c a + b + 2c Bài tập 7: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a 2 + b 2 + c 2 3 Tìm GTNN: P= 1 1 1 + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc Bài tập 8: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : a + b + c = 1 CMrằng: 3 2 + 2 14 ab + ac + bc a + b 2 + c 2 Bài tập 9: a) Cho a 3 Tìm GTNN của A = a 1 a 1 3 Tìm GTNN của B = 2a + 2 b 2009 Bài tập 10: Cho a ; b là 2 số dơng thoả mãn : a + b = Tìm GTNN của: 2008 2008 . phơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo& quot; II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán. minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học sinh khá giỏi lớp 8-9 ) . III- Ph ơng pháp nghiên cứu +Chứng minh bất. minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm. +áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo. +Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si