NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 1 ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO S ÁT HÀM SỐ . 1. Bài toán liên quan đến tiếp tuyến: Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân, với O là gốc tọa độ. Cách giải: Để ý rằng hai trục tọa độ vuông góc với nhau và các đường thẳng tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân tại gốc tọa độ khi và chỉ khi đường thẳng đó tạo với trục hoành và trục tung một góc 45 o nên hệ số góc của đường thẳng chỉ có thể là 1 hoặc −1. Từ đó dễ dàng suy ra hoành độ tiếp đi ểm của tiếp tuyến bằng cách giải phương trình f ′ (x) = 1 và f ′ (x) = −1. Ví dụ 1. Viết phương t rình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1 2x − 1 sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B và tam giác OAB là tam g iác vuông cân tại O với O là gốc tọa độ. Lời giải: Để ý rằng tam giác OAB với O là gốc tọa độ và A, B nằm trên hai trục tọa độ thì đường thẳ ng AB có hệ số góc là 1 hoặc −1. Do y ′ = −4 (2x + 1) 2 < 0 ∀x = 1 2 nên ta chỉ xét phương trình y ′ = −1. Ta có: y ′ = −1 ⇔ −4 (2x −1) 2 = −1 ⇔ (2x − 1) 2 = 4 ⇔      x = 3 2 x = −1 2 Với x = 3 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x + 7 2 Với x = − 1 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x − 1 2 Ví dụ 2. (Khối D-2007-Dự bị) Cho hàm số y = x x −1 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận tại A, B và tam giác IAB vuông cân với I là giao hai đường tiệm cận BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 2 của đồ thị. Lời giải: Để ý rằng hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với hai trục tọa độ. Lập luận tương tự như trên ta có: y ′ = −1 (x − 1) 2 < 0 ∀x = 1 nên tiếp t uyến cần dựng có hệ số góc là −1. Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: −1 (x − 1) 2 = −1 ⇔  x = 0 x = 2 Với x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x Với x = 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x + 4 Ví dụ 3. Viết phươ ng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x −1 x + 1 biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân tại I với I là giao hai đường tiệm cận. Lời giải: Lập luận như ví dụ trên ta cũng có y ′ = 2 (x + 1) 2 > 0, ∀x = −1 và y ′ = 1 (v ì hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song vớ i các trục Ox và Oy). Khi đó xét phương trình: y ′ = 1 ⇔ 2 (x + 1) 2 = 1 ⇔ (x + 1) 2 = 2 ⇔   x = √ 2 −1 x = √ 2 + 1 Với x = √ 2 + 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x Với x = √ 2 −1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 2 − √ 2 Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 3 − 3x 2 + x + 1 với hệ số góc dương sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ là A và B để tam giác OAB là tam giác cân tại O Lời giải: Tương tự như ví dụ trên, tuy nhi ên, yêu cầu hệ số g óc của tiếp t uyến dương nên ta chỉ xét giá trị 1. Như vậy, nếu g iả sử x o là hoành độ tiếp điểm thì y ′ (x o ) = 1. Từ lập luận trên ta đi giải phương trình y ′ (x) = 1 (1) Ta có: y ′ (x) = 3x 2 − 6x + 1 BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 3 y ′ (x) = 1 ⇔ 3x 2 − 6x = 0 ⇔   x = 0 x = 2 Với mỗi giá trị x tìm được ở tr ên ta có phương trình tiếp tuyến tương ứng: x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1 x = 2 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x −1 2. Bài toán liên quan đến cực trị: Bài toán 2. Cho hàm số y = f(x, m). Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có các đi ểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: ta thường chú ý đến điều kiện của tam giác. Chẳng hạn tam gi ác cân, vuông, đều đồng thời các công thức tính diện tích, độ dài trung tuyến, để từ đó tìm ra hướng giải q uyết bài toán. Ví dụ 5. Cho hàm số: y = x 4 − 2m 2 x 2 + 4m + m 4 . Tìm điều kiện của tham số m để a) Đồ thị hàm số có 3 cực t rị và các cực trị này tạo thành một tam giác vuông cân. b) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và các cực trị tạo với nhau thành một tam giác đều. c) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và tam giác tạo bởi ba cực trị có diện tích bằng 32. Lời giải: Dễ thấy hàm số có đạo hàm f ′ (x) = 4x 3 − 4m 2 x = 4x(x 2 − m 2 ) Khi đó phương trình f ′ (x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt:   x = 0 x = m x = −m khi m = 0 Không mất tính tổ ng quát, ta có thể giả sử m > 0 Với m > 0 ta có ba cực trị của hàm số là: A(0; 4m+m 4 ), B(−m; 4 m) và C(m; 4m) trong đó A là điểm nằm trên trục tung. BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 4 A B C x y O H Nhìn trên hình vẽ ta dễ dàng nhận thấy: AH = f (0) − f (m) = m 4 , và HC = BC 2 = m a) Để ý rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A khi AH = HC. Khi đó: m 4 − m = 0 Khi đó  m = 0 m = 1 . Do m > 0 nên chỉ nhận giá trị m = 1. Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B, C và tam giác ABC vuông cân tại A. b) Tương tự như trên. Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:  ACH = 60 o ⇔ AH HC = tan 60 o = √ 3 ⇔ m 4 m √ 3 ⇔ m = 6 √ 3 c) Ta thấy diện tích t am giác ABC: S ABC = 1 2 .AH.BC = AH.HC = m 5 . Như vậy, để diện tí ch tam gi ác ABC bằng 32 ta có ngay: m 5 = 32 ⇒ m = 2. Ví dụ 6. Tìm các giá t rị của tham số m để hàm số y = x 4 −2mx 2 +m−1 có 3 điểm cực trị A, B, C và tam gi ác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 1 Lời giải: Dễ dàng thấy f ′ (x) = 4x(x 2 − m) nên đồ thị hàm số có 3 cực tr ị khi và chỉ khi m > 0. Khi đó 3 điểm cực trị lần lượt có tọa độ là: A(0; m −1), b(− √ m; −m 2 + m −1) và C( √ m; −m 2 + m −1), trong đó A là đỉnh nằm trên trục tung . BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 5 Chú ý rằng tam g iác ABC luôn cân nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên trục tung. Khi đó giả sử I(0; a) là tâm đường tròn thì ta có: R = 1 ⇔ AI = IC = 1 ⇔  (m −1 − a) 2 = 1 ( √ m) 2 + (−m 2 + m − 1 − a) 2 = 1 ⇔  (m −1 − a) 2 = 1 (1) (−m 2 + m − 1 − a) 2 = 1 −m (2 ) Từ (2) thế vào (1) ta được:  (−m 2 + 1) 2 = 1 −m (−m 2 − 1) 2 = 1 −m ⇔  m 4 − 2m 2 + 1 = 1 − m m 4 + 2m 2 + 1 = 1 − m ⇔  m(m 3 − 2m + 1) = 0 m(m 3 + 2m + 1) = 0 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 (do điều kiện m > 0) Giải phương trình trên ta được       m = 1 m = −1 − √ 5 2 m = −1 + √ 5 2 Do điều ki ện m > 0 nên ta chỉ còn hai giá tr ị   m = 1 m = −1 + √ 5 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Ví dụ 7. T ìm m để hàm số y = x 3 3 − 2x 2 + (1 0m − 7)x − 8 3 có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của hàm số nằm về hai phía của đường thẳng d : y = −x − 1 Lời giải: Ta có: y ′ = x 2 − 4x + 10m − 7 (1) Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y ′ = 0 ⇔ x 2 − 4x + 10m −7 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt. ⇔ ∆ ′ = 11 − 10m > 0 ⇔ m < 11 10 Không mấ t tính tổng quát, ta gọi: A(x 1 y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) là các cực trị của đồ thị hàm số trong đó x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình (1) BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 6 và: y 1 = f(x 1 ) = (20m −22)(x 1 + 1) 3 + 1 và y 2 = f(x 2 ) = (20m −22)(x 2 + 1) 3 + 1 A và B khác phía với nhau đối với đường thẳng d : x + y + 1 = 0 khi và chỉ khi:  x 1 + (20m −22)(x 1 + 1) 3 + 1  x 2 + (20m −22)(x 2 + 1) 3 + 1  < 0 ⇔ (x 1 + 1)(x 2 + 1)  20m −19 3  2 < 0 ⇔    m = 19 20 x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1 < 0 (∗) Áp dụng định l ý Vi-et cho phương trình (1) t a có:  x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 = 10m − 7 Khi đó (∗) ⇔    m = 19 20 10m − 2 < 0 ⇔ m < 1 5 Vậy với m < 1 5 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 3. Bài toán liên quan đến khoảng cách: Trong các bài toán này thường thì tìm điều kiện của tham số hoặc chứng minh các kho ảng cách giữa điểm trên đồ thị đến một điểm nào đó hoặc m ột đường nào đó. Tùy trong từng trường hợp cụ thể ta có thể vận dụng các tính chất hình học một cách l inh động để tìm ra phương án giải quyết bài toán. Ví dụ 8. Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) của đồ thị hàm số y = 2x + 1 x −1 (C). Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng các từ đó đến ∆ là ngắn nhất. Lời giải: Chú ý rằng khoảng cách từ một điểm trên (C) đến ∆ là ngắn nhất khi và chỉ khi điểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến song BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 7 song với ∆. Mặt khác, ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) nên ta có: y ′ = 3 (1 − x) 2 ⇒ y ′ (0) = 3 Do đó phươ ng trình đường thẳng ∆ : y = 3x + 1 Gọi A(x o ; y o ) là điểm cần tìm thì x o > 1 và khoảng cách từ A đến ∆ là ngắn nhất. Do đó x o là nghiệm của phương trình y ′ = 3 ⇔ 3 (1 − x) 2 = 3 ⇔   x = 2 x = 0 Do x = 0 < 1 nên ta chỉ còn x o = 2. Khi x o = 2 ta có y o = y(2) = −5 Vậy điểm cần tìm là A(2; −5) Ví dụ 9. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(−2; 0) sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = −x 3 + 3x − 2 đến d là lớn nhất. Lời giải: Xét đạo hàm của hàm số y = −x 3 + 3x − 2: y ′ = −3x 2 + 3. Khi đó y ′ = 0 ⇔  x = 1 x = −1 Từ trên ta có thể lập bảng biến thiên và suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là B(1; 0). Với đường t hẳng d bất kỳ đi qua A(−2; 0), gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d. Khi đó ta có: BH ≤ BA (Cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền) Để BH là lớn nhất thì BH = AH hay B ≡ A ⇒ d⊥MA hay d⊥Ox Vậy d là đường thẳng có phương trình x = −2 Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y = x −m x −2 (với m = 2) có ít nhất một điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành độ và tung độ trái dấ u nhau. Lời giải: Những điểm cách đều hai trục tọa độ nằm trên một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = −x. Hơn nữa hoành độ và tung độ trái dấu nên điểm đó nằm trên y = −x. Giả sử điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu bà i toán thì: BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 8 −x = x −m x −2 ⇔  x = 2 x 2 − x + m = 0 (∗) Phương trình (∗) có ít nhất một nghi ệm khác 2 khi và chỉ khi:  ∆ = 1 + 4m ≥ 0 2 −m = 0 ⇔    m ≥ 1 4 m = 2 Ví dụ 11. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số: y = 2x x + 2 (C) Lời giải: Gọi (C 1 ) và (C 2 ) là hai nhánh của đồ t hị. Giả sử M ∈ (C 1 ) và N ∈ (C 2 ) thì ta có: M  a; 2a a + 2  và N  b; 2b b + 2  với  a > −2 b < −2 −−→ MN =  b −a; 2b b + 2 − 2a a + 2  và y ′ = 4 (x + 2) 2 MN là khoảng cách của hai nhánh đồ thị khi và chỉ khi tiếp tuyến của đồ thị tại M và N song song với nhau và hai tiếp tuyến đó vuông góc với MN. Khi đó ta có: Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M có phương trình: y = 4 (a + 2) 2 (x − a) + 2a a + 2 ⇔ 4x −(a + 2) 2 y + 2a 2 = 0. Từ trên ta có hệ:        4 (a + 2) 2 = 4 (b + 2) 2 (1) (b − a)(a + 2) 2 + 4  2b b + 2 − 2a a + 2  = 0 (2) Từ (1) suy ra b = −4 − a. Thế và o (2) ta được: (−4 −2a)(a + 2 ) 2 + 4  −8 − 2a −2 − a − 2a a + 2  = 0 ⇔ −2(a + 2) 4 + 32 = 0 ⇔ a = 0 (do a > −2) Từ đây suy ra b = −4 nên −−→ MN = (−4; 4) MN = 4 √ 2 BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 9 Ví dụ 12. (Khối B-2003) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + m. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Lời giải: Chú ý rằng nếu hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì AB nhận O(0; 0) làm trung điểm. Gọi hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) là hai điểm nằm trên đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:    x 1 + x 2 2 = 0 y 1 + y 2 2 = 0  x 1 + x 2 = 0 (1) y 1 + y 2 = 0 (2) Xét y 1 + y 2 = (x 3 1 + x 3 2 ) −3(x 2 1 + x 2 2 ) + 2m = (x 1 + x 2 ) 3 − 3(x 1 + x 2 )x 1 x 2 − 3(x 1 + x 2 ) 2 + 6x 1 x 2 + 2m Thế (1) vào (2) ta được: 6x 1 x 2 + 2m = 0 hay x 1 x 2 = −m 3 Từ đó suy ra x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 − m 3 = 0 (∗) Để tồn tại ha i điểm A, B thì phương trình (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m > 0 4. Bài tập đề nghị: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x + 2 2x + 3 biết tiếp tuyến cắt t rục hoành và trục t ung tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân với O là gốc tọa độ. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x + 1 x −1 biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số tại A và B sao cho tam giác IAB cân với I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số y = 2x + 1 x −3 BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 10 Bài 4. Cho hàm số: y = −x 3 + 3x 2 + 3(m 2 − 1)x + 3m 2 − 1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. Bài 5. (Khối D-2007) Cho hàm số: y = 2x x + 1 Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến t ại M cắt hai trục t ọa độ tại A và B để tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 với O là gốc tọa độ. Bài 6. (Khối A-2004-Dự bị) Cho hàm số: y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam gi ác vuông cân. Bài 7. (Khối A-2008) Cho hàm số y = mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 x + 3m Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận là 45 o . Bài 8. (Khối A-2007) Cho hàm số y = x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m x + 2 (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) có hai cực trị A, B và tam giác OAB vuông, với O là gốc tọa độ. Bài 9. (Khối D-2006-Dự bị) Cho hàm số y = x + 3 x −1 . Cho điểm M(x o ; y o ), tiếp tuyến với đồ thị hàm số cắt hai đường ti ệm cận lần lượt tại A và B. Chứng minh M là tr ung điểm của AB. BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG . 1 ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀO BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO S ÁT HÀM SỐ . 1. Bài toán liên quan đến tiếp tuyến: Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. trình tiếp tuyến tương ứng: x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1 x = 2 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x −1 2. Bài toán liên quan đến cực trị: Bài toán 2. Cho hàm số y = f(x, m). Tìm. cụ thể ta có thể vận dụng các tính chất hình học một cách l inh động để tìm ra phương án giải quyết bài toán. Ví dụ 8. Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) của đồ thị hàm số y = 2x + 1 x −1 (C). Hãy