Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết này chứa đựng: 1. Cấu trúc đề thi 2. Phương pháp tối ưu để giải một đề thi 3. Các chủ đề cần ôn tập Và để các em học sinh tiện theo dõi thầy đã sử dụng nội dung của các đề thi đại học từ năm 2005 đến năm 2013 để minh họa cho mỗi dạng toán. LÊ HỒNG ĐỨC DANH THÁI
NHĨM CỰ MƠN CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2 điểm): Hàm số đồ thị a (1 điểm): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b (1 điểm): Bài toán liên quan tới hàm số Câu (1 điểm): Lượng giác Câu (1 điểm): Phương trình, bất phương trình hệ đại số Câu (1 điểm): Tích phân tốn liên quan Câu (1 điểm): Hình học khơng gian Câu (1 điểm): Bài toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số Câu (1 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng Câu (1 điểm): Phương pháp tọa độ không gian Câu (1 điểm): Lựa chọn mở: Giới hạn Hàm số liên tục Tổ hợp Xác suất Mũ lôgarit Số phức Hết NHẬN XÉT: Như vậy: Đề thi gồm 70% kiến thức lớp 12 30% kiến thức lớp 10 lớp 11 Đề thi gồm 10 câu hỏi nhỏ, câu nhận điểm Ở câu để đạt “Mục đích phân loại học sinh” thường thiết kế thành hai phần: Phần 1: Chuẩn kiến thức Phần 2: Chuyên sâu Thí dụ: Tính tích phân: 1 sin x I dx x 1 1 1 dx sin x dx x 1 1 x 1 I1 I2 Dựa theo đề thi Tốn năm 2012 2013 Nhóm Cự Mơn chia đề thành ba mức: Bài tốn mức I: Bao gồm: Giải tích 12: Câu 1, câu 4, câu Phương pháp tọa độ không gian: Câu Lượng giác 11: Câu Bài tốn mức II: Bao gồm: Hình học khơng gian: Câu Phương pháp tọa độ mặt phẳng: Câu Đại số 10: Câu Bài toán mức III: Câu khó Dành cho học sinh giỏi Do đó, dựa vào khả thân em học sinh cần “Xây dựng kế hoạch thực tối ưu” THUẬT TOÁN TỐI ƯU GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN ĐỌC ĐỀ LẦN 1: Tiếp nhận thông tin Xác định câu hỏi đề thi thuộc dạng tốn ? Phác thảo hình vẽ câu 5, câu Và câu cần ĐỌC ĐỀ LẦN 2: Phân tích thơng tin Tư câu hỏi kết hợp sử dụng giấy nháp Với câu chắn giải cần định hình đầu cách diễn đạt vào thi Thí dụ với câu 1.a (A 2013): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3mx m = Cần định hình bước thực tốn “Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba” Thí dụ với câu 1.b (A 2013): Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + 3mx nghịch biến khoảng (0; + ) Cần định hình bước thực tốn “Sự biến thiên hàm đa thức bậc ba miền” Cụ thể: Tính đạo hàm y’ Hàm số nghịch biến khoảng (0; + ) y’ ≤ 0, x(0; + ) dấu “=” xảy hữu hạn điểm Sử dụng kiến thức tam thức bậc hai hàm số Thí dụ với câu (A 2013): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z 11 = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 2x + 4y 2z = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) Cần định hình bước thực toán “Sự tiếp xúc mặt phẳng với mặt cầu” Cụ thể: Xác định thuộc tính mặt cầu (S) với tâm I bán kính R Khẳng định d(I, (P)) = R, suy (P) tiếp xúc với (S) Tọa độ tiếp điểm (P) (S) giao điểm mặt phẳng (P) vi đường thẳng (d) ((d) qua I v vuụng gúc (P)) Với câu chưa chắn giải cho dù biết thuộc dạng tốn lớn cần sử dụng giấy nháp cho hướng: Hướng 1: Thực phép thử Thí dụ với câu (A 2013): Giải phương trình: tan x 2 sin x 4 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Phương trình có chứa tang sin nên định hướng chuyển dạng chứa sinx cosx, cụ thể ta sử dụng công thức: si n x si n x cos x tan x tan x ; cos x cos x sin x sin x cos x 4 Suy ra, nhân tử chung (sinx + cosx) để chuyển phương trình dạng tích Thí dụ với câu (A 2013): Tính tích phân: 2 x 1 I ln x.dx x Ta có biến đổi: I 1 ln x.dx x 1 Đây tích phân dạng I f (x) ln x.dx nên sử dụng phương pháp tích phân phần: u ln x dv 1 dx x Hướng 2: Thực phép phân tích để định hướng Thí dụ với câu (A 2013): Cho hình chóp S S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC 300 , SBC tam giác cạnh a C mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng H cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) B I Hoàn thiện hình vẽ lần đọc A Với H hình chiếu vng góc S BC thì: 1 V SH.SABC SH.AB.AC Với yêu cầu khoảng cách, ta có: d(C, SAB) CB CB d(C, SAB) d(H, SAB) = 2HK, d(H, SAB) CH CH K hình chiếu H (SAB) Thí dụ với câu (A 2013): Trong mặt y phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng M () : x y Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt ( ) hai điểm A B A H cho AB = Tiếp tuyến (C) I B A B cắt điểm thuộc tia Oy O x Viết phương trình đường trịn (C) Hồn thiện hình vẽ lần đọc Tiếp tuyến (C) A B cắt M thuộc tia Oy nên M(0; c) với c > Viết phương trình tham số đường thẳng (MI), suy tọa độ I Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng tính MH, IH so sánh với cơng thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Thí dụ với câu (A 2013): Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn Gọi số tự nhiên gồm chữ số phân biệt là: abc, a, b, c 1; 2;3; 4;5;6;7 a Đếm số phần tử S: n số b Đếm số chẵn gồm chữ số phân biệt: n0 số Khi đó: n0 n Với câu chưa định hướng cách giải bỏ qua sau thuộc nội dung P ĐỌC ĐỀ LẦN 3: Hồn thiện xây dựng kế hoạch thực Đọc chậm từ xuống, kiểm tra lại tính đắn cho câu chắn giải Công việc giúp em học sinh loại bỏ suy nghĩ chủ quan thiếu sót khơng đáng có cách giải tốt Với câu chưa chưa định hướng cách giải lần đọc thứ hai, lần đọc em phát ý tưởng để giải Nếu ghi nháp, cịn khơng tiếp tục bỏ qua Thí dụ với câu (A 2013): Giải hệ phương trình: x x y4 y , (x, y ) 2 x 2x(y 1) y 6y Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ phương trình Đây hệ phương trình khơng mẫu mực có chứa bậc hai bậc bốn x x y4 y (1) 2 x y 2xy 2x 6y (2) Theo kinh nghiệm (1) giải phương pháp hàm số cịn (2) giải phép phân tích đa thức Như vậy, với câu hỏi thường em cần sử dụng phương pháp phân tích để chia nhỏ thành bốn phần Với cách trình bày nháp trên, ta có kế hoạch thực theo thứ tự: Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu THỰC HIỆN Ghi lời giải chi tiết câu theo kế hoạch vào giấy thi Trong thời gian em học sinh cần tập trung cao độ đừng băn khoăn câu chưa giải Tuy nhiên, ghi nhận nôi dung câu hỏi vào não phương thức hoạt động đa nhiệm nên hồn tồn xảy trường hợp em nhận thuộc dạng tốn gặp có phương pháp để tháo gỡ dần Nếu vậy, nghi nhận phần nháp tương ứng tiếp tục quay lại với thi Cần loại bỏ suy nghĩ phải giải đến ghi vào giấy thi, điểm chấm theo thang 0.25, tức đến đâu em nhận điểm đến Do vậy, cần giữ vững lập trường với kế hoạch vạch gặp khó để cách dịng thực tiếp Thí dụ với câu 5.b: “Tính d(C, (SAB))” chưa giải cách khoảng 10 dịng thực tiếp câu KIỂM ĐỊNH VÀ HOÀN THIỆN Đọc cẩn thận lại thi để kiểm định Hoàn thiện phần để cách dịng Thí dụ với câu (A 2013): Ta tiếp tục: Biến đổi phương trình thứ hệ dạng: x x y4 y x 1 x 1 y 1 y 1 f(x) = f(y4 + 1), với f (t) t t hàm đồng biến [1; +) Suy ra: x = y4 + Thay (*) vào (2), ta được: f(y) = Giá trị y Giá trị x Kết luận nghiệm cho hệ phương trình (*) THỰC HIỆN PHẦN TỐN KHĨ Với dạng toán chưa tiếp cận đề thi, em đừng vội dừng bút mà nghĩ tới phương pháp đánh giá giải ngược Thí dụ với câu (A 2013): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: (a c)(b c) 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 32a 32b3 a b2 P (b 3c)3 (a 3c)3 c Với giả thiết biểu thức đối xứng a, b c trung gian nên a b định hướng chuyển đổi hai ẩn x , y , (x, y 0) c c Khi đó: a b (a + c)(b + c) = 4c2 1 1 x 1 y 1 c c (x + y) + xy = xy = (x + y) S a b 3 a b2 P 32 c2 b 3c a 3c 2 a / c 3 b / c a b 32 c c b / c a / c x 3 y 3 2 32 x y y x Trong đó: x y2 (x y)2 xy x y2 2 3 x x 1 1 x 33 , 16 (y 3) 64 64 y y 64 64 y tương tự cho x 3 Từ đó, suy ra: x y xy P 6 2 (y 3) (x 3) S2 5S S S 6 3S 2 2S 12 Bài tốn chuyển tìm giá trị nhỏ hàm số biến S Thí dụ với câu 6: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a2014 + b2014 + c2014 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a5 + b5 + c5 Bài tốn có tính đối xứng nên ta tìm cách xuất a5 từ a2014 Cụ thể: a 2014 a 2014 2014 a 2014 a 2014 1 so a 2014 2009 so 2014 a a 2014 1 1 2014 5 so a 2014 2009 so 5a 2014 2009 2014 Tương tự, cho b2014, c2014 Thí dụ với câu (A 2012): Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P3 xy 3 yz 3 zx 6x 6y 6z Trước tiên, em häc sinh cÇn nhËn thÊy r»ng P gåm hai phần với ba nhân tử có tính đối xứng x y y z z x , 6x 6y 6z Từ đó, định hướng biến đổi: Với 6x2 + 6y2 + 6z2 cần đưa d¹ng (x y)2 + (y z)2 + (z x)2, thĨ : x y2 + y z2 + z x2 = (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 = 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 = 3(x2 + y2 + z2) 2 2 2 6x + 6y + 6z = 2(x y + y z + z x ), Và việc Sử dụng bất đẳng thức b¶n a + b a + b ta chøng minh được: 2 xy yz zx xy yz zx Tới đây, ta nhận ba cặp dạng (3t t), t P XÐt hµm sè f(t) = 3t t trªn tËp D = [0; + ) ta cã: f'(t) = 3t.ln3 > 0, t D Hàm số đồng biến D f(t) f(0) = t Bất đẳng thức cần chứng minh t + 1, t Từ định hướng ta hình thành bước cần thực để nhận PMin = NHĨM CỰ MƠN CÁC CHỦ ĐỀ LUYỆN ÔN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN Câu Hàm số đồ thị a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Hàm đa thức bậc ba (H1) Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương (H2) Hàm phân thức bậc bậc (H3) b Bài toán liên quan tới hàm số Sự biến thiên hàm số miền D Khi đó, với hàm số (H1) chuyển dấu tam thức bậc hai sử dụng phương pháp hàm số Thí dụ với câu 1.b (A 2013): Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + 3mx nghịch biến khoảng (0; + ) Đặc biệt lưu ý hàm số (H3) đơn điệu D cần xác định D, tức phải d có D c Thí dụ với câu 1.b: Tìm m để hàm số: x 1 nghịch biến khoảng (1; + ) y xm Cực trị thỏa mãn điều kiện K (chỉ xảy với hàm số (H1) (H2)) Câu hỏi cần chia thành hai phần để thực hiện: Phần 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phần 2: Thiết lập điều kiện K Thí dụ với câu 1.b (D 2012): Tìm m để hàm số: 2 y x3 mx 2(3m 1)x 3 có hai điểm cực trị với hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) = Thí dụ với câu 1.b (B 2013): Tìm m để hàm số: y = 2x3 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + Thí dụ với câu 1.b (B 2012): Tìm m để hàm số: y = x3 3mx2 + 3m có hai điểm cực trị A B cho OAB có diện tích 18 Thí dụ với câu 1.b (A 2012): Tìm m để hàm số: y = x4 2(m + 1)x2 + m2 Có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Thí dụ với câu 1.b (B 2011): Tìm m để hàm số: y = x4 2(m + 1)x2 + m2 Có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Tiếp tuyến đồ thị thỏa mãn điều kiện K Câu hỏi cần chia thành hai phần để thực hiện: Phần 1: Sử dụng điều kiện K để tìm tọa độ tiếp điểm (x0; y0) Phần 2: Thiết lập phương trình tiếp tuyến: (d): y = y’(x0)(x x0) + y0 Hoặc đảo lại: Phần 1: Giả sử với tiếp điểm M(x0; y0) phương trình tiếp tuyến: (d): y = y’(x0)(x x0) + y(x0) Phần 2: Thiết lập điều kiện K Thí dụ với câu 1.b (B 2008): Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: (C): y = 4x3 6x2 + biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 9) Thí dụ với câu 1.b (D 2010): Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: (C): y = x4 x2 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x 6y = Thí dụ với câu 1.b (A 2009): Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: x2 (C) : y 2x biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy A, B OAB cân O Tìm điểm thuộc (d) kẻ k tiếp tuyến tới đồ thị (C) Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x33x Tìm điểm đường thẳng y = từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x42x21 Tìm điểm trục tung từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: x 1 (C) : y x 1 Tìm điểm trục tung từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) Tính chất tiếp tuyến Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = 2x3 + 3x21 Tìm đồ thị điểm mà hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ 10 Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x3 + 4x2 + 4x + a Tìm k cho tồn hai tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc k Gọi tiếp điểm A, B b Viết phương trình đường thẳng (AB) theo k c Chứng minh đường thẳng (AB) qua điểm cố định Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x42x2 + Hãy viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số hai tiếp điểm phân biệt Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số (C) đường thẳng (d): x 1 (d) : y = ax + b x 1 Tìm điều kiện a, b để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) ? Giả sử điều kiện thỏa mãn Khi (d) cắt hai tiệm cận (C) A, B gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng tỏ tam giác IAB có diện tích khơng đổi Chứng tỏ trung điểm AB tiếp điểm (d) với (C) Khi khoảng cách từ I đến (d) lớn ? (C) : y a b Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: x 1 (C) : y x 1 a Chứng minh tiếp tuyến (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi b Tìm tất điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Tương giao hai đồ thị thỏa mãn điều kiện K Câu hỏi cần chia thành hai phần để thực hiện: Phần 1: Tìm điều kiện giao điểm hai đồ thị Phần 2: Thiết lập điều kiện K Thí dụ với câu 1.b (D 2008): Cho hàm số: (C): y = x3 3x2 + Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > 3) cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB 11 Thí dụ với câu 1.b (A 2010): Tìm m để đồ thị hàm số: (C): y = x3 2x2 + (1 m)x + m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa 2 mãn x1 x x Thí dụ với câu 1.b (D 2009): Tìm m để đồ thị hàm số: (C): y = x4 (3m + 2)x2 + 3m cắt đường thẳng y = 1 bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Thí dụ với câu 1.b (D 2011): Tìm m để đồ thị hàm số: 2x (C) : y x 1 cắt đường thẳng y = mx + 2m + hai điểm A B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh Thí dụ với câu 1.b (B 2010): Tìm m để đồ thị hàm số: 2x (C) : y x 1 cắt đường thẳng y = 2x + m hai điểm A B cho OAB có diện tích Thí dụ với câu 1.b (A 2011): Tìm m để đồ thị hàm số: x (C) : y 2x cắt đường thẳng y = x + m hai điểm A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để k1 + k2 đạt giá trị lớn Biến đổi đồ thị Thí dụ với câu 1.b (B 2009): Cho hàm số: (C): y = 2x4 4x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2 Với giá trị m phương trình x x 2 = m có nghiệm phân biệt Điểm đồ thị Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (Cm) : y = (m + 1)x32(m1)xm + Chứng minh đồ thị hàm số (Cm) qua ba điểm cố định, ba điểm nằm đường thẳng 12 Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (Cm): y = x33mx2 + 3(m21)x + 1m2 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = 2x33x2 + Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua gốc O Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x42x2 + Tìm phương trình đường cong đốii xứng với (C) qua gốc O Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C): y = x 1 x 1 Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua gốc O Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: (C) : y = a b x 2 x2 Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1x Khoảng cách Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số: 2x (C) : y x 1 a Tìm đồ thị điểm cách hai trục tọa độ b Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ M đến Ox hai lần khoảng cách từ M đến Oy c Tìm đồ thị điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ d Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ e Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác (C) cho độ dài AB ngắn Câu Lượng giác Phương trình lượng giác Phương trình bậc cao với hàm số lượng giác 13 Phương trình bậc với sin cos dạng mở rộng a.sinx + b.cosx = c a.sin x b.cos x a b2 sin y a.sin x b.cos x a b2 cos y a.sin x b.cos x c.sin y d.cos y, a b c d Thí dụ với câu (B 2009): Giải phương trình : sin x cos x.sin 2x cos 3x 2(cos 4x sin x) Thí dụ với câu (D 2009): Giải phương trình : cos 5x 2sin 3x.cos 2x sin x Thí dụ với câu (A 2009): Giải phương trình : 1 sin x cos x 1 sin x 1 sin x Phương trình đối xứng a.sin x.cos x b(sin x cos x) c Phương trình đẳng cấp Thí dụ với câu 2: Giải phương trình : cos x 8sin x 6 Phương trình chuyển dạng tích Thí dụ với câu (D 2013): Giải phương trình : sin 3x cos x sin x Thí dụ với câu (B 2013): Giải phương trình : sin 5x 2cos x Thí dụ với câu (A 2013): Giải phương trình : tan x 2 sin x 4 Câu Phương trình, bất phương trình hệ đại số Thí dụ với câu (A 2013): Giải hệ phương trình : x 1 x 1 y4 y (x, y R) x x( y 1) y y 14 Thí dụ với câu (B 2013): Giải hệ phương trình : 2x y 3xy 3x 2y , (x, y ) 2 4x y x 2x y x 4y Thí dụ với câu (D 2012): Giải hệ phương trình : xy x , (x, y ) 2 2x x y x y 2xy y Thí dụ với câu (A 2012): Giải hệ phương trình : x 3x 9x 22 y3 3y 9y , (x, y ) 2 x y x y Thí dụ với câu (A 2011): Giải hệ phương trình : 5x y 4xy 3y3 2(x y) , (x, y ) 2 xy(x y ) (x y) Thí dụ với câu (D 2006): Giải phương trình : 2x x 3x 0, x Thí dụ với câu (B 2010): Giải phương trình : 3x x 3x 14x 0, x Thí dụ với câu (B 2011): Giải phương trình : x x 4 x 10 3x, (x ) Thí dụ với câu (A 2009): Giải phương trình : 3x 5x 0, (x ) Thí dụ với câu (D 2002): Giải bất phương trình : x 3x 2x 3x 0, x Thí dụ với câu (B 2012): Giải bất phương trình : x x 4x x, (x ) Thí dụ với câu (A 2005): Giải bất phương trình : 5x x 2x 4, x Thí dụ với câu (A 2010): Giải bất phương trình : x x x x 1 1, x 15 Câu Tích phân tốn liên quan Tích phân sử dụng bảng nguyên hàm Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng Tích phân sử dụng phương pháp tích phân phần Sử dụng tích phân tính diện tích thể tích Lưu ý: Mỗi tích phân I đề thi thường phân tích I = I1 + I2 với I1, I2 tính theo phương pháp khác Thí dụ với câu (D 2013): Tính tích phân: (x 1) I dx x 1 Thí dụ với câu (B 2013): Tính tích phân: I x x dx Thí dụ với câu (A 2013): Tính tích phân: 2 x 1 I ln x dx x Thí dụ với câu (D 2012): Tính tích phân: / I x(1 sin 2x)dx Thí dụ với câu (B 2012): Tính tích phân: x dx I x 3x Thí dụ với câu (A 2012): Tính tích phân: ln(x 1) dx x2 I Diện tích hình phẳng Thí dụ với câu (A 2007): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Thể tích Thí dụ với câu (B 2007): Cho hình phẳng H giới hạn đường y = x.lnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox 16 Câu Hình học khơng gian Thể tích Khoảng cách góc Bài tốn định tính định lượng Lưu ý: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa khơng gian Oxyz để giải Thí dụ với câu (D 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Thí dụ với câu (B 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Thí dụ với câu (A 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Thí dụ với câu (D 2012): Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD’) theo a Thí dụ với câu (B 2012): Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc điểm A cạnh SC Chứng minh SC vương góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Thí dụ với câu (A 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Câu Bài toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số Sử dụng bất đẳng thức Côsi Sử dụng đạo hàm Lưu ý: Các em học sinh cần sử dụng phương pháp đánh giá để nhận định Thí dụ với câu (D 2012): Cho số thực x, y thoả mãn : (x 4)2 + (y 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy 1)(x + y 2) 17 Thí dụ với câu (D 2013): Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y Tìm giá trị lớn biểu thức xy x 2y P 2 x y x xy 3y Thí dụ với câu (B 2013): Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b c2 (a b) (a 2c)(b 2c) Thí dụ với câu (A 2013): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a c)(b c) 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 32a 32b3 a b2 (b 3c)3 (a 3c)3 c Thí dụ với câu (B 2012): Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x5 + y5 + z5 Thí dụ với câu (A 2012): Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P3 xy 3 yz 3 zx 6x 6y2 6z Câu Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài toán điểm Bài tốn phương trình đường thẳng, đường trịn, elip Lưu ý: Các em học sinh cần tìm chìa khóa cho tốn Thí dụ với câu 7.a (D 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, 3 cho tam giác ABC có điểm M ; trung điểm cạnh AB, 2 điểm H(2; 4) điểm I(1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Thí dụ với câu 7.a (B 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm H (3; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D Thí dụ với câu 7.a (A 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng (d) : 18 2x y A(4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) Thí dụ với câu 7.b (D 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x 1) ( y 1) đường thẳng : y Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P Thí dụ với câu 7.b (B 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, 17 cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A H ; , 5 chân đường phân giác góc A D (5; 3) trung điểm cạnh AB M (0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C Thí dụ với câu 7.b (A 2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng () : x y Đường trịn (C) có bán kính R = 10 cắt hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C) Câu Phương pháp tọa độ khơng gian Bài toán điểm Bài toán phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Lưu ý: Các em học sinh cần nắm vững dạng tốn u cầu cực trị góc khoảng cách Thí dụ với câu 8.a (D 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 2), B(0; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) Thí dụ với câu 8.a (B 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3; 5; 0) mặt phẳng (P) : 2x + 3y – z – = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P) Thí dụ với câu 8.a (A 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, x y 1 z cho đường thẳng : điểm A(1; 7; 3) Viết 3 2 phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với Tìm tọa độ điểm M thuộc cho AM = 30 19 Thí dụ với câu 8.b (D 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; 3; 2) mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (P) Thí dụ với câu 8.b (B 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1), B (1;2;3) đường thẳng x 1 y z () : 2 Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với hai đường thẳng qua AB Thí dụ với câu 8.b (A 2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x 3y z 11 (S) : x y z 2x 4y 2z Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) Câu Lựa chọn mở: Giới hạn Hàm số liên tục Phương pháp nhân liên hợp Phương pháp gọi số vắng để tách L thành hai giới hạn: L = L1 + L2 Thí dụ: Tính giới hạn: 1 x x lim x 0 x Thí dụ: Tính giới hạn: 2x x lim x 1 x 1 Thí dụ: Tính giới hạn: (x 2014) 2x 2014 lim x 0 x Thí dụ: Tính giới hạn: x2 lim x x2 Thí dụ: Tính giới hạn: lim x x 2x x 2x Tổ hợp Xác suất 20 Bài toán đếm số phương án Bài tốn đếm số số hình thành từ tập E Phương trình, bất phương trình hệ tổ hợp Bài toán sử dụng nhị thức Niutơn Thí dụ với câu 9.a (B 2013): Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có màu Thí dụ với câu 9.a (A 2013): Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn Thí dụ với câu 9.a (B 2012): Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Thí dụ với câu 9.a (D 2007): Tính hệ số x5 khai triển đa thức x(1 2x)5 + x2(1 + 3x)10 Thí dụ với câu 9.a (A 2012): Cho n số nguyên dương thoả mãn 5C n 1 C Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Niuton của: n n n nx , x 14 x Thí dụ với câu 9.a (A 2006): Tính hệ số x26 khai triển nhị n thức Niutơn x , biết rằng: x C1 1 C 1 C n 1 220 2n 2n 2n (n nguyên dương, C k tổ hợp chập k n phần tử) n Thí dụ với câu 9.a (B 2007): Tính hệ số x10 khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n, biết rằng: 3n C0 3n 1 C1 3n C2 (1)n C n 2048 n n n n (n nguyên dương, C k tổ hợp chập k n phần tử) n Thí dụ với câu 9.a (A 2008): Cho khai triển: (1 + 2x)n = a0 + a1x + + anxn, 21 n * hệ số a0, a1, , an thoả mãn hệ thức: a0 a1 a n 4096 2n Tìm số lớn số a0, a1, , an Thí dụ với câu (A 2005): Tìm số nguyên dương n sao2n 1 cho: C 2n 1 2n C 2n 1 C 2n 1 2.2 C 2n 1 + 3.2 + (2n + 1).2 = 2005 Thí dụ với câu 9.a (B 2008): Chứng minh rằng: n 1 1 k k 1 k n Cn 1 Cn 1 C n (n nguyên dương, C k tổ hợp chập k n phần tử) n Thí dụ với câu 9.a (A 2007): Chứng minh rằng: 1 22n C2n C2n C2n C2n 1 2n 2n 2n Thí dụ với câu (D 2005): Tính giá trị biểu thức: A 3A n M = n 1 (n 1)! biết C2 1 2C 2C2 3 C2 = 149 (n số nguyên dương, n n n n A k số chỉnh hợp chập k n phần tử C k số tổ hợp chập k n n n phần tử) Thí dụ với câu 9.a (D 2008): Tìm số nguyên n thoả mãn hệ thức: C1 C3 C 2n 1 2048 2n 2n 2n (n nguyên dương, C k tổ hợp chập k n phần tử) n Mũ lơgarit Phương trình, bất phương trình hệ mũ lơgarit Thí dụ với câu 9.b (B 2007): Giải phương trình : x 1 x 2 Thí dụ với câu 9.b (A 2006): Giải phương trình : 3.8x + 4.12x 18x 2.27x = Thí dụ với câu 9.b (D 2006): Giải phương trình : 2x x 4.2 x x 22x 22 Thí dụ với câu 9.b (A 2009): Giải phương trình : log2x 1(2x2 + x 1) + logx + 1(2x 1)2 = Thí dụ với câu (D 2013): Giải phương trình : log x log 1 x log x x 2 Thí dụ với câu (D 2011): Giải phương trình : log (8 x ) log 1 x x 0, (x ) Thí dụ với câu 9.b (D 2007): Giải phương trình : log x 15.2 x 27 log 4.2 x Thí dụ với câu 9.b (D 2008): Giải bất phương trình : log x 3x x Thí dụ với câu 9.b (A 2007): Giải bất phương trình : 2log3(4x 3) + log1/3(2x + 3) ≤ Thí dụ với câu 9.b (B 2006): Giải bất phương trình : log5(4x + 144) 4log52 < + log5(2x + 1) Thí dụ với câu 9.b (B 2008): Giải bất phương trình : x2 x log 0,7 log x4 Thí dụ với câu 9.b (B 2013): Giải hệ phương trình : x 2y 4x 2 log (x 1) log (y 1) Thí dụ với câu 9.b (A 2009): Giải hệ phương trình : log (x y ) log (xy) x xy y2 81 Thí dụ với câu (B 2005): Chứng minh với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất: e x e y ln(1 x) ln(1 y) y x a 23 Thí dụ với câu (B 2005): Chứng minh với x R, ta có: x x x 12 15 20 x x x + + 3 +4 +5 5 4 Thí dụ với câu (D 2007): Cho < b < a chứng minh rằng: b a a b 2 a 2 b Số phức Thí dụ với câu 9.b (B 2011): Tìm phần thực phần ảo số 1 i phức z 1 i Thí dụ với câu 9.b (A 2013): Cho số phức z 3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w (1 i)z5 Thí dụ với câu 9.a (D 2012): Cho số phức z thoả mãn: 2(1 2i) (2 i)z 8i 1 i Tìm mơđun số phức w = z + + i Thí dụ với câu 9.a (D 2011): Tìm số phức z, biết: z (2 3i)z 9i Thí dụ với câu 9.a (A 2011): Tìm số phức z, biết z z z Thí dụ với câu 9.a (B 2011): Tìm số phức z, biết: 5i z z Thí dụ với câu 9.b (A 2011): Tìm mơđun số phức z, biết: (2z 1)(1 i) z (1 i) 2i Thí dụ với câu 9.b (A 2012): Cho số phức z thoả mãn Tìm môđun số phức w = + z + z2 zi z 1 i Thí dụ với câu 9.a (D 2013): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2z (1 i)(z i) 2z 2i Tính mơđun số phức w z2 24 Thí dụ với câu 9.a (D 2009): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z (3 4i) = Thí dụ với câu 9.b (B 2012): Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z 3iz Viết dạng lượng giác z1 z2 Thí dụ với câu 9.b (D 2012): Giải phương trình: z 3(1 i)z 5i tập hợp số phức Thí dụ với câu 9.a (A 2009): Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22 Thí dụ với câu 9.a (B 2009): Tìm số phức thoả mãn: z (2 i) 10 z.z 25 CHÚC CÁC EM HỌC SINH ! Những người học trò đáng mến Những người miệt mài học tập tương lai huy hồng hơn, thành cơng dự định tốt đẹp 25 ... Thí dụ với câu 9.a (B 2012): Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Thí dụ với câu 9.a... “Xây dựng kế hoạch thực tối ưu” THUẬT TOÁN TỐI ƯU GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN ĐỌC ĐỀ LẦN 1: Tiếp nhận thơng tin Xác định câu hỏi đề thi thuộc dạng tốn ? Phác thảo hình vẽ... thực để nhận PMin = NHểM C MễN CÁC CHỦ ĐỀ LUYỆN ÔN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG MƠN TỐN Câu Hàm số đồ thị a Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số Hàm đa thức bậc ba (H1) Hàm đa