sivantran@gmail.com - 01689583116 1. BÀI TOÁN 1: Cách 1: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số. -Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng và cắt (d 2 ) tại B, khi đó B( ) ( ) .AB⇒ uuur -Gọi 1 a ur là vtcp của (d 1 ), ta có ( ) 1 a ur . Bước 2: Vì (d) (d 1 ) nên : AB uuur 1 a ur 1 . 0AB a⇔ = uuur ur (nhớ tích vô hướng) ( ) AB⇒ uuur Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) : : , . x qua A d d y t R vtcpAB z =     ⇔ = ∈      =  uuur Cách 2: -Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ), trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 : qua A P P d      và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : qua A P d P    ∈   * Phương trình mặt phẳng (P 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 : qua A P P d      ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 : : qua A P P vtptn a   ⇔ ⇔  =   r ur * Phương trình mặt phẳng (P 2 ) (mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường thẳng) Viết phương trình mặt phẳng (P 2 ) bằng 2 cách: Cách 1: Chuyển phương trình (d 2 ) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng chùm mặt phẳng. Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d 2 ) ( ) AM⇒ uuuur ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : qua A P d P    ∈   ( ) ( ) 2 2 2 2 : qua A P n AM n a    ⇔     uur uuuur uur uur 2 2 . n AM a   ⇔ = =   uur uuuur uur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : : qua A P P vtptn   ⇔    uur Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P 1 ) và (P 2 ) có dạng: ( ) ( ) ( ) 1 2 : ptmp P d ptmp P      2. BÀI TOÁN 2: “Lập phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt (d 2 )” “Lập phương trình đường thẳng đi qua A, cắt hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )” sivantran@gmail.com - 01689583116 Bước 1: Cách 1: Sử dụng pp chùm mặt phẳng : -Gọi (P) là mặt phẳng qua A chứa (d 1 ), ta có (P) thuộc chùm tạo bởi (d1), có dạng : (P) : m(pt( 1 ) của (d 1 )) + n(pt 2 của (d 1 )) = 0 ( ) : P⇔ Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d 1 ) ( ) AM⇒ uuuur ( ) ( ) ( ) ( ) 2 : qua A P d P    ∈   ( ) ( ) 2 1 : qua A P n AM n a    ⇔     r uuuur r ur 1 . n AM a   ⇔ = =   r uuuur ur ( ) ( ) ( ) : : qua A P P vtptn   ⇔    r Bước 2: Gọi B là giao điểm của (P) và (d 2 ). Khi đó tọa độ của B là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 of d of d pt pt pt P      ( ) x y B z =   ⇒ = ⇒   =  Chú ý: nếu không tồn tại B. Kết luận bài toán vô nghiệm Nếu có vô số nghiệm. Kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng chứa (d) đi qua A. Bước 3: Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) : : , . x qua A d d y t R vtcpAB z =     ⇔ = ∈      =  uuur Gọi 1 a ur là vtcp của (d1), ta có ( ) 1 a ur Từ đó, dễ thấy 1 a ur không cùng phương với .AB uuur Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng. 3. BÀI TOÁN 3: Bước 1: - Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không. - Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : d qua A qua A Q Q Q d vtpta     ⇔       uur Bước 2: Khi đó đường thẳng (d 1 ) chính là giao tuyến của (P) và (Q). 4. BÀI TOÁN 4: “Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)” sivantran@gmail.com - 01689583116 Gọi (d 1 ) là đường thẳng qua A vuông góc với (d) và cắt (d), vậy (d 1 ) qua A và H (H là hình chiếu vuông góc của A lên (d). * Xác định H: Gọi a r là vtcp của (d), ta có ( ) a r Chuyển phương trình (d) về dạng tham số: ( ) : , . x d y t R z =   = ∈   =  Vì ( ) H d∈ , nên H (theo t) ( ) AH⇒ uuur ( ) ( ) . 0 AH d AH a t H⇔ = ⇔ ⇔ = ⇒ uuur r Phương trình (d 1 ), được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 : : qua A d d vtcpAH   ⇔    uuur Dựng (P 1 ) và (P 2 ) thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 : qua A P P d      và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 : qua A P d P    ∈   Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 1 2 d P P= ∩ 5. BÀI TOÁN 5: Mặt phẳng (P) có vtpt ( ) n r Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) : : , qua A d d t R vtcpn     ⇔ ∈       r Vì hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P), do đó: thay các tọa độ của (d) vào (P) ( ) t H⇔ = ⇒ 6. BÀI TOÁN 6: Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng (P). Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A 1 từ điều kiện H là trung điểm của AA 1 . 7. BÀI TOÁN 7: “Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) qua A, vuông góc với (d) và cắt (d)” “Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) “Xác định tọa độ điểm A 1 đối xứng với A qua mặt phẳng (P) “Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng (d) sivantran@gmail.com - 01689583116 Cách 1: Gọi a r là vtcp của (d), ta có ( ) a r Chuyển phương trình (d) về dạng tham số: ( ) : , . x d y t R z =   = ∈   =  Vì ( ) H d∈ , nên H (theo t) ( ) AH⇒ uuur ( ) ( ) . 0 AH d AH a t H⇔ = ⇔ ⇔ = ⇒ uuur r Cách 2: Gọi a r là vtcp của (d), ta có ( ) a r Gọi H(x,y,z) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d), suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) AH AH. 0 H d H d H d AH d a a    ∈ ∈ ∈    ⇔ ⇔ ⇒    =      uuur r uuur r 8. BÀI TOÁN 8: Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng (d). Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A 1 từ điều kiện H là trung điểm của AA 1 . Bài 1: Cho (d 1 ) là đường thẳng: 1 1 3 3 2 2 x y z+ − − = = − và đường thẳng (d 2 ): 1 3 1 1 2 x y z− − = = . Lập phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và (d 2 ). ĐS: 6x-8y+z+11=0 Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ (6;2; 3)a = − r và cắt đường thẳng: ( ) 1 3 : 1 2 , . 3 5 x t d y t t R z t = +   = − + ∈   = −  ĐS: 1 1 3 3 2 5 x y z− + − = = − “Xác định tọa độ điểm A 1 đối xứng với A qua đường thẳng (d) sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với đường thẳng: 2 0 2 5 1 0 x y z x y z + − + =   − + − =  ĐS: 1 2 2 4 7 3 x y z− − + = = − − Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3); (6; 2; 3)a = − − r và đường thẳng (d) có phương trình 2 3 5 0 5 2 14 0 x y x z − − =   + − =  a) Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa A và (d). B)Lập phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua A và vuông góc với vectơ a r và cắt đường thẳng (d). ĐS: ( ) α : 3x+3y+2z-9=0; ( ) 1 2 3 : 5 21 24 x y z+ − − ∆ = = − sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng ( ) 4 0 : 2 2 0 y z x y z + − =  ∆  − − + =  a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua A và vuông góc với ( ) ∆ . b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua ( ) ∆ . ĐS: ( ) : 2 0y z α − + = ; B(0; 3; 5) Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); và đường thẳng: sivantran@gmail.com - 01689583116 ( ) : 3 2 4 x y d z= = + a)Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A và chứa (d) . b) Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d). ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0; ( ) 14 5 8 24 0 : 2 4 15 0 x y z x y z − − − =  ∆  + + − =  Bài 7: Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng: ( ) 3 2 7 0 : 3 2 3 0 x y z d x y z − + − =   + − + =  ĐS: ( ) 1 1 2 : 2 4 5 x y z− − − ∆ = = − Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình: ( ) ( ) 1 2 : 2 , . : 2 2 1 0 3 x t d y t t R P x y z z t = +   = − ∈ − − + =   =  sivantran@gmail.com - 01689583116 a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1. b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định tọa độ điểm K. ĐS: M 1 (-3; 4; -6) và M 2 (9; -2; 12); K(4; 3; 3). Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. ĐS: ( ) 1 : 2 , . 2 x t d y t R z = +   = ∈   =  sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc và cắt đường thẳng (d) có phương trình: ( ) 5 2 0 : 2 1 0 x y z d x y z + + + =   − + + =  ĐS: ( ) 2 1 : 2 0 1 x y z− + ∆ = = Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng: ( ) 7 14 0 : 2 0 x y z d x y z + − − =   − − − =  a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d). b) Tìm phương trình mặt phẳng ( ) β qua B(1; 2; -1) và vuông góc với (d). ĐS: A(0; 0; -2); ( ) β : 4x+3y+z-9=0 Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình: sivantran@gmail.com - 01689583116 ( ) ( ) 1 : 1, . : 2 1 0 2 x t d y t t R P x y z z t = +   = − ∈ + + − =   =  a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 6 . b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d). ĐS: ( ) 1 2 13 3 16 1 9 8 ; ; ; ; ; ; 0; 2;1 5 5 5 5 5 5 A A N     − − −  ÷  ÷     Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng: 2 0 3 2 3 0 x z x y z − =   − + − =  và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0. ĐS: ( ) β : 11x – 2y -15z – 3 = 0 [...]... Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông góc với x −1 y + 2 z = = và cắt đường thẳng Viết phương trình chính tắc của đường thẳng 3 1 1 x + y − z + 2 = 0 (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng: ( d 2 ) :  x +1 = 0 x −1 y −1 z... Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình: x+2 y+2 z = = và điểm M(4; -3; 2) Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm 3 2 −1 M lên đường thẳng đã cho ĐS: N(1; 0; -1) sivantran@gmail.com - 01689583116 ... Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ r a = (6; −2; −3) và cắt đường thẳng (d): sivantran@gmail.com - 01689583116 ( d) : ĐS: x −1 y +1 z − 3 = = 2 −3 6 x −1 y +1 z − 3... Bài 20: Cho 2 đường thẳng 2 x − 3 y − 2 = 0 2 x − 3 y + 9 = 0 ; ( d2 ) :   x + 3z + 2 = 0  y + 2z +1 = 0 ( d1 ) :  a) Chứng minh (d1)//(d2) Viết phương mặt phẳng chứa (d1) và (d2) b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d1) ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2) ... sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) và 2 đường thẳng ( d1 ) : x + y − z + 2 = 0 x −1 y + 2 z = = ; ( d2 ) :  3 1 1 x +1 = 0 Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d1) và cắt (d2) ĐS: x y −1 z −1 = = −1 1 2 ... sivantran@gmail.com - 01689583116 Bài 17: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường 2 x − z − 1 = 0 3x + y − 2 = 0 ; ( d2 ) :  x + y − 4 = 0 y − z − 2 = 0 x −1 y − 5 z = = ĐS: 1 3 0 thẳng: ( d1 ) :  ... Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): ( d ) : x − 2 y −1 z = = 1 2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) b) Tính khoảng cách từ A đến (d) ĐS: x + 2y + z – 1 = 0; 2 2 ... x 3 Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d): ( d ) : = y −1 = z+3 4 a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0; 347 26 . ⇒ 6. BÀI TOÁN 6: Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng (P). Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A 1 từ điều kiện H là trung điểm của AA 1 . 7. BÀI TOÁN 7: “Lập phương trình. a ur Từ đó, dễ thấy 1 a ur không cùng phương với .AB uuur Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng. 3. BÀI TOÁN 3: Bước 1: - Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không. - Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn: (. P vtptn   ⇔    uur Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P 1 ) và (P 2 ) có dạng: ( ) ( ) ( ) 1 2 : ptmp P d ptmp P      2. BÀI TOÁN 2: “Lập phương trình đường thẳng đi qua A,