Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xc định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). 2) f gim trên (a,b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈(a,b) mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). 3) x 0 ∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không nh hay bằng 0. II. Định lý: 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khong (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a f b f a f c b a hay f c b a − − = − = − 2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khong (a,b). • Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b). • Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b). (Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng). B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − + . a) Kho st hàm số khi m=1. b) Xc định m để hàm số đồng biến trên tập xc định. c) Định m để hàm số gim trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số 2 2y x x= − a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y x m − = + a) Kho st và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xc định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. c) Chng minh rằng với mỗi gi trị m hàm số luôn đồng biến trên khong xc định của nó. Bài 4: Chng minh rằng a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2). b) 1 2 x R x e x + ≥ + ∀ ∈ . c) x>1 ln x e x ≥ ∀ . Bài 5 : Chng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 3 2 1 0x x x− + − = ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xc định trên (a,b) và điểm x 0 ∈(a,b) . • Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x) < f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). • Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x 0 ta có f(x)>f(x 0 ) (x ≠ x 0 ). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x 0 ∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Gi sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ) a) Nếu f’(x 0 ) > 0 trên khong (x 0 ; x 0 ); f’(x) < 0 trên khong (x 0 ; x 0 + δ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 1 Chuyên đề 1 : Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 b) Nếu f’(x) <0 trên khong (x 0 - δ; x 0 ) ; f’(x) > 0 trên khong (x 0 ; δ+ x 0 ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nói một cch vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trị. Định lí 2. Gi sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f''(x o ) ≠ 0 thì x o là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. Nói cch khc: 1) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) > 0 ⇒ x 0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x 0 ) = 0, f”(x 0 ) < 0 ⇒ x 0 là điểm cực đại. B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 4 2 2 2 1y x mx m= − + − + (1) a) Kho st và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). Bài 2: Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + a) Kho st hàm số khi m=-1. b) Xc định m để hàm số có hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Kho st hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xc định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khong (1;∞). Bài 4: Cho hàm số 2 2 2 1x kx k y x k − + + = − với tham số k. 1)Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. Bài 5: Định m để hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 6: Cho hàm số 2 1 x x m y x − + = + Xc định m sao cho hàm số. a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai gi trị cực trị tri dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số 3 2 ( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + − a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất c cc tiếp tuyến của đồ thị hàm số ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xc định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cch tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì gi trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) 3) Cch tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 2 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 + Tìm cc điểm tới hạn x 1 ,x 2 , , x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cc số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) a b a b M f x m f x= = B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm gi trị lớn nhất và gi trị nhỏ nhất của cc hàm số: a) 3 2 2 3 1y x x= + − trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y x x= + − . c) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) 2 os2x+4sinxy c= x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) 2 3 2y x x= − + trên đoạn [-10,10]. Bài 2: Tìm gi trị lớn nhất và gi trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9 + + − + + trên đoạn[-1,3]. Bài 3: Chng minh rằng 2 2 6 3 2 7 2 x x x + ≤ ≤ + + với mọi gi trị x. góc bé nhất. ℑ4. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đng: Nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình x= x 0 là tiệm cân đng của đồ thị (C). 2) Tiệm cận ngang: Nếu 0 lim ( ) x f x y →∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình y= x 0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C). 3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →+∞ − = hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0 x f x →−∞ − = hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0 x f x →∞ − = . 4) Cch tìm cc hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. x ( ) lim b= lim[ ( ) ax] x f x a f x x →∞ →∞ = − . B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: 1. Kho st hàm số . 2 4 5 2 x x y x − + − = − 2. Xc định m để đồ thị hàm số 2 2 ( 4) 4 5 2 x m x m m y x m − − − + − − = + − có cc tiệm cận trùng với cc tiệm cận của đồ thị hàm số kho st trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm cc tiệm cận của đồ thị hàm số a) 2 1y x= − b) 3 2 1 1 x x y x + + = − c) 2 3 1 1 2 x x y x + + = − .d) 2 2 1 3 2 5 x x y x x + + = − − PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 3 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 - Giới hạn - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị - Bảng biến thiên 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thc không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)  Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)  Hàm số nhất biến : )bcad( dcx bax y 0≠− + + =  Hàm số hữu tỷ (2/1) : 2 1 1 ax bx c y a x b + + = + (tử, mẫu không có nghiệm chung, ) Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được kho st + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 4 x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến x O I x y O • I x y O • I Dạng 2: hàm số không có cực trị x y O • I x y O • I Dạng 1: hàm số có cực trị Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bng biện luận: Ví dụ 1: 1. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x − = m ( dùng bng 1) 2. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x− = 3m -2 ( dùng bng 2) 3. Biện luận phương trình 3 2 1 3 x x − = 3 2 1 3 m m− ( dùng bng 3) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo cc công thc: • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thc b a S f x dx= ∫ ( ) (I) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] → Ta sử dụng công thc b a S f x g x dx = − ∫ ( ) ( ) (II) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thc [ ] 2 b a V f x dx π = ∫ ( ) (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. → Ta dùng công thc [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:  Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:  Nắm cc dấu hiệu để biết sử dụng công thc (I) hay (II) (có hay không có Ox).  Xc định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).  Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thc f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).  Biết cc bước trình bày bài gii và tính đúng kết qu.  Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:  Nắm cc dấu hiệu để biết sử dụng công thc (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)  Xc định cc cận trên, cận dưới và tính đúng kết qu. Ví dụ 4: (trích đp n kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Gii: (0,75 đ) Ta có: e x = 2 ⇔ x = ln2 Diện tích hình phẳng cần tìm S = ( ) 1 1 ln2 ln2 2 2 x x e dx e dx− = − ∫ ∫ (0,25 đ) = ( ) 1 ln2 2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4 x e x e e− = − − − = + − (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đp n kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x 2 và trục Ox. Gii: Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 5 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Từ đồ thị ta có: 3 3 3 2 3 2 0 0 3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − + ∫ ∫ 3 4 3 0 4 x x   = − +  ÷   = 27/4 ( đvdt) Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Kho st hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xc định m để hàm số có cực trị. b) Kho st hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khc 0) và có đồ thị là (Cm) a) Kho st và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và cc đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Cho hàm số 1 2 + +− = x xx y a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết pttt của (C) tại cc giao điểm của (C) với trục hoành. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số 4 4 2 − +− = mx mxx y a) Kho st và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Dùng đồ thị (C 2 ) gii và biện luận phương trình : x 2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0. c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C 2 ), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1. d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra. Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi cc đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 6 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. B ÀI TậP: Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x = + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x − = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số 3 4 1 x y x + = − . KQ: -28 < a ≤ 0 Dạng 4: Cực trị của hàm số  Yêu cầu đối với học sinh :  Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:  Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.  Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.  Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.  Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: 2 ax bx c y a 'x b' + + = + → không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.  Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x 0 ∈ (a;b) • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . (Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x 0 nhưng hàm số có xc định tại đó).  Hoặc: • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x 0 . • Nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x 0 . Bài tập:1 Định tham số m để: i) Hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x + + + − có cực đại và cực tiểu.Kết qu: m < - 2 hay m > 3 2i)Hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. Kết qu: - 1 < m < 1 3i) Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết qu : ∀m và x 2 – x 1 = 1 Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 7 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 Bài 2: Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Gi sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2.Kết qu : m < 1 Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số? Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau: Bài ton 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C).  Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y 0 = f’(x 0 ) ( ) 0 x x− hay y – y 0 = k(x – x 0 ) (*)  Bước 2: Tìm cc thành phần chưa có x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào (*). Rút gọn ta có kết qu Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x A ;y A )  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) (1)  Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k = − +   =   Bước 3: Gii tìm k và thay vào (1). Ta có kết qu. Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x 0 ( hoành độ tiếp điểm)  Bước 2: Tìm y 0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 . ta có kết qu C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)  Bước 2: Lập và gii hệ pt: ( ) '( ) f x kx m f x k = +   =  ⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết qu Bài tập về PTTT của đồ thị (C ): Bài 1: Cho hàm số y = x 2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR cc tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm cc điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại cc điểm cố định đó. Bài 3: Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 – 2m + 1. Tìm m để cc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 4: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại cc giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = 2 ax -2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại cc giao điểm với trục tung và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y = 2 2 2 1 x x x + + + đi qua B(1;0) Bài 8) Cho hàm số y = x 3 – 3x. Lập cc Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 9) Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 + 5. Lập Pttt kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 10) Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1) Cho hàm số x mx)m(x y +−+ = 2 2 , m là tham số, có đồ thị là (Cm) 1) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Với gi trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2. Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 8 Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 Bài 2) Cho hàm số 2 54 2 − +− = x mmxx y , có đồ thị là (Cm) 1) Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Tìm tất c gi trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xng nhau qua O. Bài 3) Cho cc đường: y = x 2 – 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc đường trên. Bài 4) 1. Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = )1x(2 3x4x2 2 − −− 2. Định m để ptrình : 2x 2 – 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt. Bài 5 : Cho hàm số 1 3 + + = x x y gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho a) Kho st và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm cc điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên c) Chng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xc định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhnh của đồ thị (C) sao cho khong cch giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chng minh rằng S là trung điểm của IJ g) Với gi trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số )4()1( 2 xxy −−= a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2 6 9 4 0x x x m− + − − = Bài 7: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= a)Kho st và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) b) Xc định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khong (1;∞) Bài 8 : Cho hàm số 3 2 5 - 2 3 = + +y x x x a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x 3 -6x 2 -5x+m=0. c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. f) Chng minh rằng đồ thị có tâm đối xng. §1. NGUYÊN HÀM: Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ ( ) a,b a 0∈ & ≠¡ : dx x C = + ∫ 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 9 Chuyên đề 2 : Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12 Th By, 07 Thng Ba 2009 ( ) 1 1 1 , x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ x x e dx e C = + ∫ sin cosxdx x C = − + ∫ 1 ax ax e dx e C a = + ∫ cos sinxdx x C = + ∫ 1 sin cosaxdx ax C a = − + ∫ 2 2 , cos dx tgx C x k x π π = + ≠ + ∫ 1 cos sinaxdx ax C a = + ∫ 2 cot , sin dx gx C x k x π = − + ≠ ∫ 2 1 2 , cos dx tgx C x k ax a π π = + ≠ + ∫ ( ) 0ln , dx x C x x = + ≠ ∫ 2 1 cot , sin dx gax C x k ax a π = − + ≠ ∫ Bài tập: Ghi nhớ: − Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của cc nguyên hàm của những hàm số thành phần. − Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của cc nguyên hàm của những hàm số thành phần. − Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phi biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 1. 4 x dx ∫ 2. (3 1)x dx− ∫ 3. 2 (3 6 1)x x dx+ − ∫ 4. 4 2 ( 5)x x dx− − ∫ 5. 2 3 2 (3 1)x dx x + − ∫ 6. 2 3 ( 3 1)x x x dx+ − − ∫ 7. 2 (3 6 ) x x x e dx+ − ∫ 8. ( 5.3 ) x x e dx− ∫ 9. (3sinx-5cos 1)x dx− ∫ 10. 2 7 (3sinx+2cos ) os x dx c x − ∫ 11. 2 (2 ) os x x e e dx c x − + ∫ 12. 2 5x dx+ ∫ 13. 3 8x e dx − ∫ 14. 1 1 5 dx x− ∫ 15. 2 7 x x dx ∫ 16. 1 7 5 dx x − ∫ 17. sin 5xdx ∫ 18. cos(4 2 )x dx− ∫ 19. 2 sin 3xdx ∫ 20. 2 cos (1 7 )x dx− ∫ 21. sinx sin5xdx ∫ 22. sinxcos3xdx ∫ 23. cos2xcos3xdx ∫ 24. 7 sin .cosx xdx ∫ 25. tan5xdx ∫ 26. 2 tan xdx ∫ 27. 1 ( 1) dx x x + ∫ 28. 2 1 4 dx x − ∫ 29. 2 1 5 4 dx x x− + ∫ 30. 2 1 3 7 10 dx x x+ − ∫ 31. 2 1 9 7 2 dx x x+ − ∫ 32. sin 1 5cos x dx x+ ∫ 33. sin cos x e xdx ∫ Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: 1. 7 (2 )x x dx− ∫ (đặt t= 2-x) 2. 3 4x xdx− ∫ (đặt 4 3t x= − ) 3. 2 1 1 sin dx x x ∫ (đặt 1 t x = ) 4. 2 ln x dx x ∫ (đặt lnt x= ) 5. 2 3 3 3x x dx+ ∫ ( đặt t= 3+x 3 ) 6. 1 x x dx e e − − ∫ (đặt x t e= ) 7. 2 2 (1 ) x dx x+ ∫ (đặt t=1+x 2 ) 8. 3 2 2x x dx+ ∫ (đặt t=1+x 2 ) 9. sin(ln )x dx x ∫ (đặt t=lnx) Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: i) (3 1)sinx xdx+ ∫ 2i) (2 3)cosx xdx+ ∫ 3i) (3 5 )cos 2 x x dx− ∫ 4i) 2 (1 )sinx xdx− ∫ 5i) (2 3) x x e dx− ∫ 6i) 2 ( 4 1) x x x e dx− + ∫ 7i) (2 1) x x e dx − + ∫ 8i) sin x e xdx ∫ (2 3) x x e dx− ∫ Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 10 [...]... ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a M là điểm thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k (0 . + = − − PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 2. Sự biến thi n - Chiều biến thi n, cực - Tính. các công việc H 1 , H 2, …, H n .  Qui tắc nhân: Nếu có m 1 cch thực hiện công việc H 1 , m 2 cch thực hiện công việc H 2 , …, m n cch thực hiện công việc H n (cch thực hiện H i không. nhiều nhất một chc vụ).  Muốn chọn một Ban chấp hành ta phi thực hiện tất c ba công việc: CV1 chọn một bí thư, CV2 chọn một phó bí thư, CV3 chọn ba uỷ viên. CV1: Chọn một đoàn viên trong 25